Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Решение преобразованных уравнений осложняется из.за неортогональности Х и У. Координата г,(0) ударной волны, разумеется, находится в результате решения, поэтому и само преобразование координат меняется в процессе построения решения. Завнсящая от времени величина га(0) находится путем расчета пространственного положения ударной волны ио соотношениям Рэнкииа — Гюгонио поперек скачка, начиная с некоторого предположительного начального значения. (Узловая точка Х = 1 находится непосредственно позади ударной волны,) Вся вычислительная процедура довольно сложна, но получающиеся результаты окупают затраченный труд. Ввиду того что ударная волна рассматривается как разрыв непрерывности, погрешности, связанные с размазыванием ударной волны (см.
436 6.2. ПреобразоВания координат равд. 5.3 — 5.5), отсутствуют. Кроме того, точность повышается за счет совпадения поверхности тела с координатной линией, (Значения в точках, лежащих на границе тела, вычисляются при помощи нестационарного метода характеристик.) Даже на грубых сетках достигается очень высокая точность, что принодит к вполне приемлемому времени счета. Достаточно точные результаты могут быть достигнуты дзже при одной узловой точке между телом и ударной волной, что можно сопоставить с решениями, полученными с помощью одпополосного метода интегральных соотношений (см.
Хомич и Джордж [!970]). Де Сова с соавтор:ми [1971] при расчете обтекания воздухозаборннка двигателя примснялп тороидальные координаты. К сожалению, главные достоинства метода Моретти часто указываются неверно. Моретти не применял консервативных уравнений, и часто утверждаюг, что расчет течений с выделением ударной волны с помощью преобразования Моретти предпочтительнее расчета с помощью консервативных уравнений. На самом деле метод Моретти должен противопоставляться не схемам с консервативными уравнениями, а подходу с размазыванием ударных волн (равд. 5,3). Успех применения метода Моретти зависит главным образом от выбранного преобразования, связанного с выделяемой ударной волной, и от точного учета условий на поверхности тела, а не от отсутствия свойства консервативности использованных уравнений н даже не от варианта конечно-разностной схемы, принятой для расчета во ннутренних точках.
Так, например, Барнуэлл [1971] рассчитывал трехмерную задачу обтекания с отошедгцсй ударной волной, применяя и преобразование Моретти, и разновидность схемы Браиловской (равд. 5,6.3), основанную на консервативных уравнениях. Ксерикос [1968] в такой же трехмерной задаче применял преобразование Моретти в сочетании со схемой Лакса (равд. 5.5.4) для внутренних точек; Ли [1971] рассчитывал осесимметричное обтекание затупленпых тел с химическими реакциями по схеме Мак-Кормака (равд. 5.5.6). Томас с соавторами [1971] также использовал в трехмерной задаче преобразование для ударного слоя, применяя при этом схему Мак-Кормака для продвижения решения по одной пз пространственных координат.
Вместо того чтобы противопоставлять методы выделения скачка и методы размазывания скачка (сквозные методы), следует воспринять лучшее, что в пих есть. Выделение скачка можно применять для повышения точности расчетов в случае относительно простой головной ударной волны, в то время как сквозные методы можно применять во внутренних точках для улавливания не предполагавшихся заранее скачков плн систем висячих скачков сложной формы типа полученных в расчетах Катлера и Ломекса [1971], б.2 Лрообразооаиия коордииаа 437 Следует также заметить, что в методе Моретти для внутренних точек, как и во всех схемах Лакса — Вендроффа, при решении стационарных задач с меньшнмп единицы числами Куранта для потока на выходе проявляется влияние зависяи4ей от гз! схемкой искусственной вязкости (Роуч 1197!в]; см.
также приложение Ь). Гоииду 11967] рассматривал выделение скачков с преобразованием типа Моретти. В статье Ксернкоса (1968] приведены результаты расчетов головной ударной волны н ударной волны перед раструбом («юбкой») иа теле. Эта работа рекомендуется для ознакомления с подробностями расчета положения ударной волны и расчета точек на центральной линии (» = О) для несимметричных течений. Павлов [1968б] также применял преобразование ударного слоя (6.17а) при расчете течений вязкого газа с малыми числамп Рейнольдса. Мигдал с соавторами (!969] использовал преобразование типа (6.17а) для отображения сопла на прямоугольную область.
Лапидус (1967] рассматривал преобразование, отображающую область между произвольной входной границей н телом на прямоугольник. Он показал, что подобные преобразования сохраняют консервативность. Онже (1971] также применял метод Моретти выделения скачков, При помощи преобразования типа (6.17) Браиловская (1967] отображала на прямоугольную область окрестность угловой точки с расширением потока, кроме того, вводилось логарифмическое сгущение (что эквивалентно экспоненцпальному растяжению) для достижения большего разрешения вблизи стенки; расчет во внутренних точках осуществлялся по схеме Браиловской (равд. 5.6.3). Аналогичную подвижную сетку в ударном слое (а пе преобразование координат) в сочетании со схемой Годунова (см, равд. 5.5.8) применяли для расчета невязкого двумерного обтекания затуплениых тел Годунов с соавторами 11961], Макнамара 11966, 1967], Мессон с соавторами 11969], Тейлор и Мессон (1970].
Другой подход к расчету разрывов на эйлеровой сетке продемонстрировал Макнамара ]1966, 1967]. В рассмотренном им случае разрывом являлась контактная поверхность, образовавшаяся прн взаимодействии двух косых скачков. Осесимметричная эйлерова сетка периодически подстраивалась для прослеживания движения этой контактной поверхности.
Неточность в виде появления точки возврата у ударной волны вблизи ее пересечения с линией тока торможения имела место из-за отсутствия согласованности при расчете движения сетки. Разработка методов расчета скачков и контактных разрывов продолжает привлекать большое внимание исследователей. !38 д Р Иоеоброзоаоиия коордииат е-аг д,р а! — — — =1, аЬ дт' ЛХ (6.! 8) а не впд — ат (~ 1. Кроме того, можно ожидать, что система дф от (6.15), (6.16) будет сходиться иначе, чем система (6.1!), (6.!2). (2) Граничные условия и в особенности соотношение для вихря на стенке (ель равд.
3.3.2) необходимо переформулировать в преобразованных координатах. (3) Консервативность может быть утеряна или по меньшей мере интерпретироваться иначе. (4) Прн преобразовании координат могут появиться (пли, наоборот, исчезнуть) особые точки. (5) Увеличение разрешения не всегда влечет за собой увеличение точности, что особенно существенно прн наличии ошибок аппроксимации граничных условий; см.
замечания в равд. 3.3.1. (6) Волновые свойства решений могут искажаться из-за ошибок, обусловленных затуханием, фазовых ошибок и ошибок, обусловленных неразличимостью. (7) Машинное время продвижения решения на один шаг возрастает. (8) Преобразования типа преобразования Моретти для ударного слоя неприменимы к задачам, в которых скачки развиваются при слиянии непрерывных волн сжатия в течении вязкого газа, как это происходит в задаче о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем. Не представляются такие преобразования целесообразными и в задачах со сложными систсмамн отраженных и пересекающихся скачков, ') Этк общпе заме~акая кркмекомы также к к растажеквю сеток.
Пытаясь моделировать обтекание кожи дельфина, Калугин и Панчук (1971) применяли преобразование, совмещающее координатную линию с движущейся волнообразной стенкой. Когда параметры задачи меняются в широком внтервале, разрешение может также быть улучшено преобразованием искомых функций. Моретти и Аббетт !1966б) рассчитывали течения сжимаемой жидкости, вводя новые зависимые переменные Р = =!п Р и р = 1и р; аналогичные преобразования применяли Скала ц Гордон (1967). (Другие преобразования зависимых переменных будут обсуждаться в равд.
6.3.) При проведении преобразования растяжения необходимо иметь в виду следующие моменты '). (1) Преобразование оказывает влияние на устойчивость и сходимость. Например, для непреобразованного уравнения (6.10) справедливо одномерное условие устойчивости но числу Куранта иЛ1/Лх ( 1, а для преобразованного уравнения (6.!4) оно принимает гпц б.у Преобразования координат 439 Х=1— 1 1+ сх (6.19) Прн с ) 0 и х ) 0 преобразование отображает полубесконечную область 0 - х < оо па область 0 < Х (1, а при с < 0 и х ( 0 отображает полубескопечную область — о ( х( 0 па область 0 ( Х ( 1.
Пусть с!Х с дс !1+сх)' ' дзХ вЂ” 2сз 6= — = с!хз (1+ сх)з ' (6.21) тогда д; г'дф дй дф д.", т 1 — '= — а !х — — — — — "]+ — Ч 9, д! 'х ду дХ дХ ду,] ке Чф=ь, з д , дз д' Ч =д — +аз — + —. дХ дХ' ду' Цель подобных преобразований состоит в том, чтобы в ко- нечно-разностных уравнениях можно было применять аналити- ческие граничные условия на бесконечности (см. замечания в разд. 3.3.10 и 3.3.11). Поэтому в своей задаче Ван и Лопгуэлл [1964) могли ставить условие однородного потока на входной границе и условие полностью развитого течения Пуазейля на выходной границе. Моретти [1969а, !969б] также одобрял по- добные преобразования.
Силле [1969[ рассмотрел три класса отображений бесконечных областей на конечные, причем каж- дое из пих имело удобное явное обратное отображение; Х,=, [О, ) [01!, ихз+ 1 К,=1 — е '", [О, оо] — [О, 1], Хз —— 1)г (ах), [ — со, со) [ — 1, 1] (6.25) (6.26) (6.27) ') Отображение бесконечной области на конечную при помощи преобразовании ! = ехр( — З), где й — зллнптвчсская координата, проводилось и до етого; см., например, Чушкин П. И. Расчет обтекания профиля и тела вращения в дозвуковом потоке. — В кнл Вичислительная математика, зй 3.— М; Изк-во ЛН ГГСР, 1958.
с. 99-.119. — Пгпгхс псд. Итак, мы рассмотрели преобразования конечной области на конечную. Другим широко распространенным типом преобразований является отображение бесконечной области на конечную, впервые, кажется, примененное Ваном и Лонгузллом [1964) '). Прп помощи стационарных уравнений онн рассчитывали задачу о входе потока в воздухозаборник, причем спстема координат (х, д) выбиралась так, что х = 0 в плоскости входа в трубу, а затем координата х преобразовывалась по следующей фор- муле б 2 Праабразааания координат 440 (здесь а и Ь вЂ” произвольные положительные постоянные).
Силлс [1969] обсуждал также формулы для преобразования производных и обратные преобразования; он заметил, что преобразования, основанные иа функциях агс18 х и ег! х, хотя и дают нужные отображения, но не удобны для приложений. Мета и Лаван [1968] использовали преобразование 1+ (ь (а (х+!!2)] (6.28) 1 + Щ (а(2) которое отображает [ — со, О] на [О, 1] с точкой перегиба при х= — '/ь Лаван с соавторами [1969] отобразил [ — ао, +со] па [О, 1] при помощи преобразования Х = [1+ Ф(ак)]/2. (6.29) Мнгдал с соавторами [1969] преобразовал поперечную координату сопла прп помощи преобразования типа (6.17а) так, чтобы сопло отображалось на прямоугольную область; кроме того, в этой работе область от х = 1 (срез сопла) до к = — аа была отображена на область Х ен [0,1] прн помощи преобразования -тк Х= а — ах(х (6.30) Х, = — 1/х, Ха — — 1)(1+ х)2, Хз= — е ", (6.31) (6.32! (6.33) для камсдого из которых с(Х/с(х ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
