Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В настоящей главе мы очень кратко рассмотрим некоторые особенности других систем координат и расчетных сеток, а также уравнения движения жидкости, отличающиеся от уравнений Навье — Сзокса. Мы не будем углубляться в изучение этих вопросов из-за недостатка места и времени (а иногда и из-за того, что они ие слишком интересуют автора и он недостаточно в них компетентен). Единственная цель настоящей главы состоит в том, чтобы разьяснить некоторые понятия и указать дополнительную литературу по этим вопросам.
При этом мы предполагаем, что читатс.ть уже знаком с предметом изложения. Основная идея настоящей главы, несомненно, заключается в том, что обсуждение систем координат, расчетных сеток и уравнений, описывающих течение жидкости, является очень важным. (Например, переход от декартовых координат к сферическим далеко не тривиален.) Как и при аналитическом решении задачи, разумный выбор системы координат и возможных упрощений уравнений часто предопределяет успех.
6.1. Специальные расчетные сетки Самое простое видоизменение прямоугольной расчетной сетки получается при изменении шага сетки в одном направлении в определенной узловой точке. Как правило, это делается для получения более высокой разрешающей способности сетки (н по возможности более точного решения) в той области, где градиенты параметров потока изменяются быстрее, например в пограничном слое. Для иллюстрации сказанного рассмотрим простейший способ перехода от шага Лх1 между узламп сетки к шагу Лх, в некотором узле ~ = т (рис. б.), а). 426 б.б Спеииальяые расчетные сетки Заметим, что если величина Лхз/Лхг С< 1, то точности представления в точке пт ухудшается до первого порядка малости относительно Лх, (см., например, Блоттнер и Роуч 1!9711).
Выражение для второй производной получается умножением равенства (6.2) на з' = (Лхз/Лхг)' и сложения полученного результата с равенством (6.1): зг) ( — Лх, (1 — з) + —, ~ Лхз+ — —.„~ Лх-(Лх — Лх,) + д( ~ + О (Лх'), (6.6) + О ПЛхз бх' Лх, бх ~ Лх — Лх,), Лхз), (6,7) Для того чтобы последнее выражение имело первый порядок точности в точке г' = ьн должно выполняться равенство з = = О(1 — Лх'-,). Сальвадори и Барон [1961] провели через точка т, гп+ 1 и пч — 1 параболу и получили следующее выражение в конеч. йых разностях: бз( ) 2 з)„,з ~ — (1+ з) ( +(м 1т з(з+1) Лх' (6.
8) 2 Соответствующее выражение для первой производной дается формулой (6.5). Причину более высокого порядка ошибки аппроксимации этих формул легко объяснить при помощи рассмотрения контрольного объема, как зто требуется сделать в следующем упражнении. Упражнение. Проведя границы ячеек между узловыми точками рис. 6.1, и, показать, что при з « 1 точка т удалена от центра ячейки. При з -ч 0 точка гп приближается к правой границе ячейки Можно несколько улучшить физическую интерпретацию, однократно меняя не шаг сетки Лх, а размер ячеек Лх, как показано па рис.
6,1, б. При этом нужны выражения для производных как в точке т, так и в точке (т + 1) = и. Эти выражения аналогичны уже полученным. Упражнение Показать, что полученаые выше формулы для б(гбх и бз()бхз консерватннны Из приведенных выше выражений следуе~, что при быстром изменении шага сетки формальный порядок ошибки аппрокси- В д Спсцпальиьге расчетные сетки 427 мации на самом деле не улучшается, а ухудшается ').
Так, Краудер и Дальтон [1969) провели численный эксперимент с пятью различными сетками с локально меняющимся шагом и пришли к выводу, что для рассматриваемой нми частной задачи наиболее точные результаты дает расчетная сетка с постоянным шагом (см., однако, Блоттнер и Роуч [1971]). Напомним также о явлении отражения волн от места изменения шага сетки, упоминавшемся в равд.
5.4,4, Однако при расчетах было обнаружено, что потеря точности всего решения, особенно при изолированном изменении шага сетки, не столь велика, как это следует из формулы для ошибки аппроксимации (см., например, Мак-Кормак [1971], Шаве и Ричардс [!970), Магнус и Иосихара [1970) ). Хотя вопрос окончательно пе исследован, по уже ясно, что обычно предпочтительный метод повышения локальной разрешающей способности сеткц зак.почается в преобразовании координат, которое будет рассматриваться в равд.
6.2. Но прежде мы рассмотрим еще ряд вопросов, связанных с расчетнымп сетками. Геометрические схемы для одновременного изменения величин обоих шагов Лх и Лу рассматривались в работах Синнота [1960], Ранчела с соавторами [1969], Гиллнса п Лиропа [1969», Кейкера и Уайтло [1970), Даусона и Маркуса [!970). Бахвалов [1959] использовал мелкую сетку с формулами второго порядка у границ, стыкующуюся с грубой сеткой с формулами более высокого порядка во внутренних точках. Преимущества однократного изменения размера ячеек по сравнению с непрерывным изменением обсуждались в работе Робертса [1971). Проблемы стыковки сеток для схемы Лакса — Вендроффа (равд.
5.5.5) рассматривал Саймент [1968). Спеньер [1967] рассматривал методы чередующихся направлений (равд. 3.1.16 и 3.2.6) на сетках с меняющимся шагом. Бердсли [1971] применял полярную сетку с постоянным шагом по углу н с параболическим изменением шага по радиусу; в случае невязкой жидкости для решения уравнения вихря около точки г = 0 здесь потребовались некоторые модификации. Изменение пространственной сетки для решения, развивающегося во времени, часто оказывается желательным для более подробного описания областей с резко меняющимися в пространстве градиентами. Преобразование решения уравнений из ') Схемы коиечио-разпоствого представдсзшя коивсктивиых члсиов, ко.
торые имеют первый порядок точности па равиоисрвых расчетвых сетках (коиечиые разности против потока). ае ухудшаются при измеиеиии шага сетки, в то время как схемы представлеиия диффузионных членов ухудшаются. Для получения второго порядка точности требуются четырехточечиые формулы (см. Саусвслд [)946)). Пирсон [!9681 использовал тректочечиые формулы иа сетках с автоматическв изменяющимся шагом дая квазиод. номерного расчета распростраиеиия ударной волны. 428 б.!. Сггеииальные рпсчетпме сетки одной сетки в другую называется перестройкой ячеек.
Перестройка ячеек сама по себе может изменить решение, внося, например, сглаживающий эффект (в некотором роде искусственная диффузия) пли ошибки, связанные с нарушением консервативности. Разработка машинных про~рами, осуществляющих перестройку ячеек в зависимости от развития во времени решения, является важной н интересной проблемой (см. в этой связи работы Месона и Торна [1970], Батлера [1971] и Кроули [1971]). Рис.
82. Точки нерегулярной гранины на прямоугольной сетке. Приведенные выше формулы, применимые в случае переменных стх и Лу, использовались также для описания нерегулярных границ на прямоугольной сетке. Как показывает рпс. 6.2, для того чтобы значения в смежной с границей точке (й /) согласовывались с значениями в точках Ь1 и (гт, требуются формулы с меняющимися величинами гхх и с!у. Эта процедура предложена давно и иногда дает, по-виднмому, вполне удовлетворительные результаты (см., например, работы Сальвадорн и Барона ]!961], Томана и Шевчика [1966], Синглтона ]1968], Техейры [1966] н Даусона и Маркуса ]1970] для сеток в декартовых координатах, а также работу Лизена [1964] для цилиндрической функции тока при нерегулярной границе).
Однако мы настойчиво рекомендуем воздерживаться от этой процедуры по следующим причинам, (!) Формальный порядок ошибки аппроксимации, как показано выше, увеличнваезся. Заметим, что для произвольной искривленной границы типа крылового профиля (Синглтон [1968]) н общем случае в равномерной сетке может обнаружиться не- 429 Дк паениаесные расчетные сесна которая виутреиияя узловая точка, располо>ке>шая очень близко к границе; при этом величины сГхе/с>х> и Луч/Лд> становятся весьма малыми и, слсдователыю, формальиый порядок ошибки аппроксимации сушествеино возрастает. (2) Скорость сходимости уменьшается (Техейра [19661), и часто бывает трудно определить оптпмальиые релаксацпоипые параметры (разд. 3.2.4, 3.2.6, 3.2.7).
(3) Условия устойчивости могут стать весьма жесткими. Заметим, что обычпое ограничение по числу Кураита дает неравенство с» ( Лх/и (или его двумерный аналог). Голи уменьшать величипу с>х возле граиицы, то максимум величины 61 может быть ограипчеп этим локальным условием. Если имеются границы с условиями прплппаипя, то ограничение, накладываемое иа коивективиые члены, может и пе быть чрезмерным, так как величипа и такнсе локально мала; однако для вязких членов и для границ со скольжением эти локальные условия, по-видимому, будут играть решающую роль. (4) Программа становится более сложной, и поэтому увеличивается как затрачиваемое па ее составление время, так и вероятность появления ошибок. Проблемы аппроксимациоииой сходимости решепий эллиптических уравнений при перегуляриых граипцах иа прямоугольных сетках обсуждались в работах Турайсами (1969а, 19б96).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
