Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 91
Текст из файла (страница 91)
следующими из дифференциального уравнения неразрывности и имеющимн вид ди/ду) = 0 и о =О. Действительно, с точностью первого порядка из условия дп/ду~ = 0 следует, что и„+~ = О. Однако из рис. 5.3 интуитивно ясно, что подобное условие не может быть достигнуто при расчете; в результате решение расходится '). Ситуация еще более усложняется при расчете течения вдоль уступа (граница В 5 на рнс. 3.22). Основной причиной неудач схемы с односторонними разностями вблизи точки отрыва потока является отсутствие переноса массы вдоль стенки, поскольку всегда 6(ри)/бхгом = О. В то же время применение метода контрольного объема показывает,что ячейка с центром (й ю) на рис.
5.3 может терять или приобретать массу только через границу гп + '/з. Эту ситуацию можно ') В подобной сптуаиии сходимость может быть достигнута за счет вве. денни члена с искусственной диффузной массы, как н схеме Русзпова (равд. 5.4 3). тогда конаективный поток массы, уносимый нз узловая точки на стенке, при отрыве может быть сбалансирован притоком ее в эту узловую точку за счет яскусственной диффузии Но точность такого способа и даже его аппроксимирующие свойства соанительны, 400 б.7.
Грани сные условия для течений сжил~асмой жидкости изменить, переопределив поток массы, параллельный стенке, для прилежащих к стенке ячеек. В обозначениях, указанных на О О О ~'-1, се О й' Рис. 5.4. Возможная интерпретация скоростей у стенки с условием прилн- пания в расчетной сетке первого типа.
о — стенка, б — внутренняя точка. рнс. 5.4, а, получим (с применением центральных разностей) следующее значение потока массы на границе между ячейками: (рн)с-Нт а, рс-пт,мне-~йьее ~2(РК + рс-Н и> с-иа,ме =',с ( + р )и. (5.131) где и..е и ='7,(и +ис)='/я('/,и,, „+, + '/,ис е,), (5,132) Аналогичная формула имеет место и для нсый, . Этот способ является аппроксимирующим, устойчивым и консервативным да.
же в случае отрывных течений (Роуч и Мюллер [!968, 1970[, Скоглунд и Гей [1969[), Однако вычисления во внутренних н в прнстеночных ячейках проводятся здесь не единообразно. Такой расчет потоков в пристеночных ячейках был бы согласован 401 д7 д Стенка е прилипанием с расчетом потоков во внутренних ячейках (рис. 5 4, б) при применении следующей формулы; и, = ~/,(~/4(и,, +, + 2и,, + и...) 1 + ' 4(и, 7~, + 2и,, + ис ..)). (5.133) Но подобный способ расчета для внутренних точек приводит к тому, что поле скоростей получается неточным и сглаженным. Устойчивые решения дают другие аппроксимации. В частности, широкое распространение получила аппроксимация условия дР(ду~ = О равенством (5. 134) Р =Р„эн Тогда р„находится через Т из уравнения состояния (4.51).
Может показаться, что эта аппроксимация основана на приближении теории пограничного слоя, где поперек пограничного слоя принимается дР7ду ж О (см. Шлихтинг (1968]). В действительности же это гораздо менее жесткое условие, так как постоянство Р предполагается не поперек всего пограничного слоя, а только поперек прилегающего к стенке подслоя толщиной Ьу. Этот способ дает возможность получать устойчивое численное решение как для течения в безотрывном пограничном слое (Курцрок и Мейтс (1956)), так и для течения с отрывом потока, вызванным взаимодействием ударной волны с пограничным слоем (Мак-Кормак [1971) ). Впоследствии Мак-Кормак повторил свои расчеты при более точных граничных условиях и фактически не обнаружил различия в результатах (личное сообщение).
Хотя этот способ привлекает своей простотой и в некоторых случаях дает достаточную точность, в общем случае его рекомендовать нельзя. Во-первых, он не консервативен. Во-вторых— и это более существенно — он дает аппроксимацию решения исходных дифференциальных уравнений в частных производных в некотором смысле, но не аппроксимацию в строго математическом смысле, т. е.
решение конечно-разиостпых уравнений при Лх †« О не стремится к решению исходных дифференциальных уравнений с точными граничными условиями. Более того, при взаимодействии сильной ударной волны с пограничным слоем, при малых числах Рейнольдса, при возникновении отрыва и при наличии сильно искривленных стенок может теряться всякое соответствие между решением конечно-разностных уравнений и исходных уравнений в частных производных.
Нет необходимости применять этот способ, поскольку имеются другие, хотя и несколько более сложные, способы, обеспечивающие аппроксимацию задачи, 402 д К Граничные условия для течений сжимаемой жидкости Очевидно, что такие искусственные приемы, как произвольная экстраполяция значений р или Р на стенку, не обоснованные физически даже в качестве приближенного приема, не обе. спечивают консервативность и аппроксимацию.
Кроме того, в общем случае они неустойчивы при расчете отрывных течений. Мы рекомендуем проводить расчет р около стенки в расчетной сетке второго типа, а затем значения р, полученные на стенке, использовать для нахождения градиента давления около стенки в расчетной сетке первого типа. Полностью эта методика будет изложена в равд. 5.7.2,в.
б.7.2, б, Стенка с прилипанием в расчетной сетке второго типа (5. 135) (5. 136а) (5.! 36б) Рн = Рн»1 и„=и „,, "н пн»1 Линейная интерполяция по значениям (5.136) ист = О. Если задана температура стенки Топ то в принятой линейной интерполяцией имеем Т„='ЫТ е, +Т ), дает и„=О и соответствии с (5.!37) (5.138) откуда Те =2Т, — Таян Условия прилцпания на стенке для скорости могут быть поставлены и в расчетной сетке второго типа, но с ухудшением точности. Практически удобно частично использовать способ отражения. Непосредственное применение способа отражения приводит здесь к серьезным ошибкам, однако из способа отражения мы будем брать лишь методику, которая позволит удобно ставить некоторые нз точных граничных условий; другие же граничные условия будут ставиться явно, не соответствуя способу отражения.
Таким образом, способ отражения здесь будет играть роль лишь некоторого приема программирования, и мы согласны с Моретти [1968а, 1968б] в том, что этот способ не заслуживает названия «принцип»с Определим сначала по способу отражения функции в фиктивных точках внутри границы и исследуем влияниетакогоопределения на члены уравнений сохранения. Это исследование покажет, для каких членов способ отражения дает неправильный результат и, следовательно, какие члены должны быть рассмотрены отдельно. Согласно способу отражения для стенки с прилипанием, показанной на рве.
5.2, б при ш + '/ь имеем 4ОЗ 5.7.2 Стенка с прихипиниел Если же задано число Нуссельта )к(п = (Т „, — Т )/Лу, (5,139) то получим Т„=Т.„— Лу Н . (5. 140) а (Рио).„= а — ~Р.„(~, ) ~ 4 +0(Лу')1, (5.141) что опять является аппроксимацией точных граничных условий, так как член в квадратных скобках стремится к пулю при Лу- -~0. Ошибка аппроксимации для составляющей количества движения в направлении у может даже быть меньше; действительно, в стационарном случае уравнение неразрывности — + — + =0 др д (ри) д (ри) де дх др (5,142а) для стенки с прилипанием сводится к условию (5.1426) Далее, (5.143) или (поскольку о„= 0) (5.144) Таким образом, ошибка аппроксимации первого порядка в выражении (5.123) в стационарном случае будет равна нулю.
Можно показать, что ошибка аппроксимации в стационарном случае имеет вид — (ро )и+, = а '(р "~ в4 ( ~ е ~ ~ + 0 (Лу~) ~, (5,145) ст где в фигурных скобках стоит ошибка в величине потока по нормали к стенке составляющей количества движения в направлении у. Хотя ошибки в определении потоков количества движения, даваемые выражениями (5.14!) и (5.!23) илп (5.!45), являются Комбинация соотношений (5.!35) и (5.!366) дает нулевой поток массы в направлении у при ге + '/, для случая стенки со скольжением.
Но в случае стенки с прилипанием потоки в направлении у составляющих количества движения в направлении х и в направлении у будут получаться с ошибкой. Следуя выводу выражения (5.123), получаем 404 б 7. Граничные условия длл течении сжимаемой жидкости приемлемыми, их можно избежать. Можно рекомендовать изменить выражения в точке то+ 1, явно положив соответствующие потоки равными нулю. Как показывает следующее ниже упражнение, аналогичное положение справедливо и для уравнения энергии. Упражнение, Рассматривая уравнение энергии, показать, что способ отражения дает правильное нулевое значение потока величины Е, + Р в на.
правлении у на стенке только в частном случае адпабатвческой стенки (Л(п = О). (Для более общего аида температурных условий иа стенке этот поток следует явно полагать нулевым.) Применение стандартных конечных разностей с отраженными значениями функций не дает также правильной величины градиента давления дР/ду] +ь В случае расчетной сетки второго типа рекомендуется обратиться к односторонним конечным разностям для дР/ду, что, к сожалению, дает аппроксимацию градиента давления лишь первого порядка: — ' + 0(ду). (5 146) бу )м-~-г йу Была показана устойчивость этого способа даже при отрывных течениях (Аллен (1968], Аллен и Чен (1970], Роуч и Мюллер ]!968, 1970]).
Аллен ]!968], Скоглунд и Гей ]!968] предложили рассчитывать градиент давления по уравнению составляющей количества движения в направлении у, записывая его через односторонние конечные разности; однако не представляется, что этот способ быстро ведет к цели. Аллен 11968] применил улучшенный способ расчета конвек. тивных потоков около степки с прилипанием в расчетной сетке второго типа. Он обнаружил, что в задаче обтекания обратного уступа, показанного на рис. 3.22, на верхней части уступа (граница В 5) иногда могут возникать отрицательные значения плотности. Эта теадеицня усиливается при уменьшении числа Рейнольдса и при измельчении сетки ').
Аллен объясняет это неточностью расчета по линейной интерполяции потока массы в примыкающей к стенке ячейке (ячейка го + з/з на рис. 5.2,б). Величина (ро) )ст =0; кроме того, в стационарном случае пз уравнения неразрывности следует, что д(рп)/др]ст = О. Отсюда видно, что вблизи степки рп изменяется по квадратичному, а не по линейному закону. Поэтому Аллен ввел квадратичную интерполяцию для рп, выбирая не значения в трех узлах сетки, а значение в двух узлах сетки гг + 1, тп + 2 и известное значение ро на стенке ы + '/м т. е, положил (Рп)оезз = /з] (Ро)м„, + 3(ро),„+, — (рп)„еиз1, (5.147) ') Роуч и Л(юппер 1!9701 не обнаружили отрицательным значений плотности, возможно, из.за грубости расчетной сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
