Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(Поскольку эта схема не применялась для расчета течений не- вязкого газа, она обсуждается лишь в настояшем разделе.) Нагель строил эту схему только для уравнений, описывающих возмушения (см. равд. 6.4) неконсервативных переменных р, и, о и г(, где Π— полная энтальпия. Представляется, что эта схема пригодна и в случае консервативных переменных, и мы будем ее описывать именно так. Запишем в виде 863 Схемы дяя аллрокеимаиии ллелов е вявкоетыо 389 (5.111) вательность 12 этапов, каждый из которых выполняется во всех узлах сетки (1, /). В результате предыдущего двенадцатиэтапного расчетного цикла известны величины Отделы1ые этапы расчетного цикла проводятся в следующем порядке: л+щ л 61 брл 1 р =р+— 2 И Ел+112=Ел+ и бел ~~ И 3.
= — «(Рц) ~~и, (ро)"~~~1; — рц ббл+1)а 6Е л «л1-1И Елм1Ц ( )л+1И ( )л+1и'[. И 6) 6 лепв 5. Р" =Рл+ Л1 6Ел+1И 5. Е," =Е,"+ Л1 ( ц) +1 ( ц) Э1Л ! 61 6(ри)л 2 И )л+1 ( )л+1ц ! лг 6 (Ро) 2 61 9 (р ) = (р ) « +' Ел" ( )ле' ( )л+' 19 — «Е () () 1. л+Зц )лЬ1ц + 6 (ри)л И ( „)л+ьд ( )ль112+ Л б (ро)л И Аналогичная схема была рассмотрена Рождественским и Яненко [1958[.
Нагель пользовался следующими условиями устойчивости; Л! ( 1.5 Лх/а, (5.112а) Л( ( Лх/ф2! ц [ (5.1! 2б) Л! < Лх'Йе/2, (5.1!2в) Лг < у Лх/[(у — 1)[ц [[. (5.112г) Хотя Нагель проверял эти условия в экспериментальных расчетах течения в пограничном слое, было бы разумно заменить 390 б 7 Граничные условия для течений сягижаелгой жидкости первые два условия обычным условием по числу Куранта, а в условии (5.112в) коэффициент '/з заменить на '/ч для более обшего класса течений. Сакураи и Ивасаки [!970] применили явную схему метода чередующихся направлений Саульева (см.
равд. 3.1.17) для представления диффузионных членов при расчете одномерных задач, однако влияние конвективных членов на устойчивость при этом осталось невыясненным. Заметим, что многие исследователи гиперзвуковых течений вязкого газа предпочитают неконсервативную форму уравнения энергии (с переменной Т вместо переменной Е,) для того, чтобы при вычислении температуры и затем давления избежать появления разности двух больших чисел (полная энергия минус кинематическая энергия). 5.7. Граничные условия для течений сжимаемой )нидкости Замечания, сделанные в равд.
3.3.1 по поводу особой важности численных граничных условий, относятся равным образом и к течениям сжимаемой жидкости. Рассуждения здесь будут основываться на некоторых основных положениях, полученных в равд. 3.3 для течений несжимаемой жидкости, однако некоторые аспекты будут присуши лишь течениям сжимаемой жидкости, Наиболее сложной границей является, как это ни странно, простая стенка. 6.7.1. Стенка с условием скольжения Сначала рассмотрим уравнения течения невязкого газа и соотвстствуюшие им условия скольжения '), Граничные условия на стенке для сплошной среды требуют, чтобы поток был параллелен стенке, т.
е. чтобы нормальная скорость здесь равнялась нулю. Другие переменные не задаются в качестве граничных условий. Например, было бы неправильным задавать Т„ в случае уравнений течения невязкого газа '). ') Условия скольжения соответствуюг отсутствию вязких членов в диф. ференпиальных уравненяях, описывающих течения сплошной среды. Этот же термин употрсбляегся также в случае вязких течений, когда поток вблизи стенки перестает удовлетворять гипотезе о сплошности средьг. Уайтхед и Дэвис 119б91 разработали аналитическую формулировку граничных условий для подобных течений го скольжением, включая перенос массы (вдув) через стенку.
') Нельзя такгкс задавать дТ)ду. )хак известно, предположение об адиабатнчности стенки согласуется с уравнениями течения невязкого газа. Однако стенка аднабатиша и поток тепла Оч = й(дТ)ду)), = О не потому, что дТ)ду = О, а гготохгу, что й = О аа Д Стенка с дслонпел скопаненпа 391 Было бы полезно моделировать услоьня скольжения па стенке прн помощи уравнений вязкого течения. Это соответствует учету вклада от вязких членов в ячейках, отстоящих от стенки более чем на один ряд, н предположению, что толщина пограничного слоя меньше Лу.
Представляется, что наложение дополнительных условий о равенстве нулю градиентов У и Т было бы достаточно для (4, гое1) определения решения и зто решение моделировало бы в некотором смысле стенку со скольжением, однако в настоящее время справедли° ° вость подобного подхода не (1,тп-1) ясна (см. обсуждение данного вопроса в равд. 3.3.2). Ф (1, и) б.7.1. а. Стенка оо скольжением в расчетной сетке первого типа В расчетной сетке первого типа узловые точки лежат на поверхности стенки, как это изображено на рнс. 5.2, а. Для конкретности будем предполагать, что стенка расположена на прямой у = сопз( так же, как граница В 2 на рис.
3.22. Наиболее распространенным способом постановки тра- Рис. Зз Стенки и Рааоичных Расчетничных условий являетея так ных сетках. а — стенка в расчетной сетке первого типа, о — стенка в раназываемый способ отражения. счетной сетке второго типа. Здесь вводится дополнительный ряд фиктивных точек для 1 = щ — 1, расположенный внутри стенки, как это показано на рис. 5.2,а, Затем в этих точках рассматриваются фиктивные значения переменных при помощи антисимметричного отражения о и спмметрнчного отражения других переменных, а именно ом г — — — о еб 1„ г = + 1„+ь 1= р, и, Е, или Т.
(о.113) Дополнительно налагается условие о = О при 1 = ал Новые зависящие от времени значения 1 вычисляются при помощи стандартных конечно-разностных аппроксимаций, используемых во внутренних узловых точках (~',тп). Выражения (5.1!3) являются условиями симметрии и, очевидно, справедливы для линии симметрии В 1 на рис. 3.22. 392 й.7. Граничные услоеил для течений сжинаеной жидкосса Однако в общем случае стенка не является линией симметрии. Моретти [1968а, 1968б] настаивал на том, что граничные условия с отражением ошибочны.
В его интерпретации эти условия вводят дополнительные граничные условия вида д)/ду = 0 для (= р, и и Е„фактически переопределяющие задачу. Однако значения в узловых точках ш — 1 можно интерпретировать как чисто фиктивные, введенные лишь для удобства, чтобы в граничных точках ы использовать стандартные аппроксимации, применяемые во внутренних точках. Для ответа на вопрос о том, правильны ли условия отражения (5.113) и каков характер возникающих при этом ошибок, надо проанализировать их с учетом используемых здесь уравнений. Во-первых, условие о =О, конечно, правильно. Далее, рассмотрим для невязкого газа неконсервативную форму уравнения количества движения (4.3) в проекции на ось у; до до до 1 дР— = — и — — о — — — —.
д( дх ду р ду ' (5.114) Так как о(х) („= О, то до/дх)„= О вдоль прямолинейной стен- ки, и уравнение (5.144) сводится к равенству дР/ду) =О. (5.115) Способ отражения (5.113) дает Р, = Р +! и, следовательно, бР/бу~ = О, что точно согласуется с уравнениями течения не- вязкого газа. Возьмем далее уравнение количества движения в проекции на ось х. Из неконсервативной формы уравнения (4.2) для певязкого газа будем иметь ди ди ди ! дР (5.116) де дх ду р дх ' д (рис) ( (рио)ие, — (рис)о, рыч.1иы+,ооч., — ри+,ии ю( — оы+,) Ьу 2Лу 2Лу +' Ф 0 в общем случае. (5.117а) йу Величина оо+!-е.О при уменьшении Лу и может показаться, что применение способа отражения согласуется с уравнением На стенке о = 0 и, следовательно, второй член уравнения (5.116) должен быть равен нулю, Рассмотрим результат применения способа отражения (5.113) к соответствующему члену консервативного уравнения (4.55), а именно к члену д(рио)/ду, На стенке 37.С Стенка с условием скольжения 393 (5.1!6), однако более тщательное рассмотрение показывает,что о(рис) ! (риш «, (ри)„,.«, [о„+ до(ду и«ду+ О (Ауе)! ву [,„ау ду (ри) +ь а ~ + О (Лу)' (5'117б) На стенке со скольжением до/ду!и ФО, если только стенка не является линией симметрии.
Таким образом, из уравнения (5.1!7б) следует, что возникающая здесь ошибка сохраняется и при Лу- О, и поэтому способ отражения, применяемый на стенке и на расчетной сетке первого типа, математически не согласуется с исходной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Сравнительные расчеты, проведенные Моретти [1968а, 1968б) показали, что, как н следовало ожидать, применение более грубой сетки ведет к большему росту граничной ошибки.
Решение системы конечно-разностных уравнений с ошибочными граничными условиями может давать приближение к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных в некотором полезном смысле, однако в математическом смысле в этом случае аппроксимация отсутствует: при Лх — «-О решение системы конечно-разностных уравнений не стремится к решению исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Любопытно, что математики нв обращали внимания на применение таких ошибочных граничных условий.
Только сравнительно недавно появились статьи о глобальном влиянии подобных переопределенных граничных условий, см, Крейс н Лундквцст (1968] и Ошер (19696). Удобный способ отражения можно до некоторой степени спасти, применяя его к уравнениям неразрывности и энергии и принимая специальные меры для обращения в нуль члена д(рио)/ду в уравнепии количества движения в проекции па ось х. Это даст непротиворечивые граничные условия на прямой стенке. Важная и интересная проблема аппроксимации граничных условий возникает при использовании способа отражения на криволинейной стенке, которая представляется ломаной из прямолинейных отрезков длины Лз.
Способ отражения снова дает ЬР/Ьп = О, однако правильное значение градиента давления на стенке для стационарного потока со скольжением должно быть дР/дп ! =(и'+ о')/г, (5.118) где г — местный радиус кривизны. Таким образом, хотя конечно-разностные уравнения во внутренних точках аппроксимнруют исходные уравнения в частных производных н ломаная стенка аппроксимирует криволинейную стенку при Лх- О, граничные Ззт 5.7. Гроппчные угловая для течений гжпмаемой жидкоста условия, полученные по способу отражения, не аппроксимнруют точных граничных условий и, следовательно, аппроксимация решения исходных уравнений в целом не будет иметь места. Результаты Катлера и Ломекса [1971] показывают увеличение расхождений экспериментальных и расчетных данных при увеличении кривизны стенки, очевидно, из-за того, что на стенке берется нулевой градиент давления вместо значения, требуемого формулой (5.118).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
