Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Данная схема довольно сложна, однако любые разрывы в течении (включая и контактные разрывы) трактуются в ней более фпзнчно, чем в схемах с искусственной вязкостью. Двумерный вариант схемы применяли Годунов с соавторами [1961] и Мессоп с соавторами [1969]. Мессон [1968] численно решал по этой схеме пространственные задачи по упрощенным уравнениям (в предположении малости поперечных потоков). Макнамара [1966, 1967] применял модифицированный метод Годунова. Первый предварительный шаг осуществлялся здесь при помощи липеаризованного решения задачи о распаде разрыва (слабого) на подвижной двумерной зйлеровой сетке, периодически подстраивасмой под перемещение контактного разрыва. Макнамара указывает, что неточность формы скачка, состоящая в появлении у пего точки возврата вблизи проходящей через точку торможения линии тока, вызвана несогласованностью при расчете движения сетки.
Гурли и Моррис [1971] брали для расчета одномерных ударных воли схемы <классики» (см. разд. 3.1.18) перво~о и второго порядков точности. Русанов [1970], а также Берстейн и Мирин [1970, 19?1] рассматривали схемы третьего порядка для течений с ударными волнами. Лакс [1969] описал схему Глимма для решения уравнения Бюргерса, интересную с методической точки зрения, Алгоритм переноса с коррекцией потоков (алгоритм ГСТ), первоначально разработанный Борисом [1971], был затем улучшен и обобщен (Бук, Борис и Хейн [1975]) и в результате превратился в мощный метод расчета скачков и других областей с большими градиентами.
На первой его стадии используются различные схемы, например схема Лакса — Вендроффа, схема с донорными ячейками, схема «чехарда», в которые включена явная или неявная искусственная вязкость. На второй стадии, называемой антидиффузнонным шагом, диффузионные ошибки частично уничтожаются (и почти полностью уничтожаются в областях вне скачка в улучшенном варианте алгоритма). Главной особенностью этого алгоритма является ограничение 382 Я 8 Члены с елзкостмв величины антпднффузнонных поправок, так чтобы они не вносили новых экстремумов в решение. Применение алгоритма к сложным задачам, например к расчету магнитогпдродинамических ударных волн илп к задаче о развитии неустойчивости па границе раздела двух жидкостей, привело к впечатляющему успеху, Представляется, что в будущем эта ньше совершенствующаяся методика найдет широкое применение.
Как было отмечено ранее, любая из схем расчета течений несжимаемой жидкости, описанных в равд. 3.1 и 3.7, пригодна и для исследования течений сжимаемой жидкосзн. Если в схеме имеется некоторая искусственная вязкость, зависящая от времени, то схему можно иримепять и для расчета течений сжимаемого газа прн условии, что ударные волны слабы и/илн что имеется достаточная физическая вязкость (малые числа Рейнольдса).
Особо отметим здесь двухшаговую схему Браиловской (равд. 3.!.16) и схему Крокко (рачл. 3.!.12), которые будут обсуждаться в слелующем разделе, посвященном аппроксимации вязких членов, 5.6. Члены с вязкостью в уравнениях течения сжимаемой жидкости В этом разделе мы рассмотрим способы аппрокспмацпиописывающпх физическую вязкость н теплопроводность членов уравнений Навье — Стокса лля сжимаемой жидкости. Эти же способы приголны н лля аппроксимации членов с явной искусственной вязкостью, обсужлавшнхся в равд. 5.4.
Из-за большого числа различных вязких членов такие способы практически приводятся на примерах простых модельных членов, чтобы продемонстрировать основные идеи, не путаясь в многочисленных верхних и нижних индексах. 6.6.!. Аппроксимации производных по пространственным переменным Все вязкие члены в уравнениях (4.63) составлены из производных вида (5.97) или аналогичных производных, в которых х заменены на у и у на х, причем )' и д — различные комбинации безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности, составляющих скорости и некоторых констант. В простейшем случае на одном 383 б.б.2. Оба<не соображения шаге по времени для производных можно взять аппроксимации д [ ду 1 [[ ду«ду[;,; — [[ ду«ду[с дх [<< ду.)<,«2лх «(У -<. < ю 2<4 <, <-<) [<-<, <(У« — ,««У<-<, «-<) 4лхлу + + 0(Лх', Лу') (5.98) и аналш.ичную формулу для д [[<)д/дх) /<«у, а также д ( ду 1 [[ ду/дх!< па; — [[ ду«дк[с дк [ дх [<,« Лх [, <л,(у„<,— у,,)[Лх — [,.
п,,(у,— уе < .)«'Лх Лх + 0(Л. Я). (5.99) Лх к + (х). Если [ постоянно по пространству, то (5.98) сводится к (3.12), а (5.99) — к (3.14). Если [" переменно, то члены вида )««,,«в (5.99) могут быть вычислены одним из днух обычных способов. Например, если [ = [к и зависит от температуры, то можно считать либо 'ьИт< )+ Цт<+< «)з«2, (5 !00) либо Р, и у=тть,+Т... «)«<21 (5.101) Обе этп формулы дают второй порядок точности и обе консервативны для диффузионной величины д. Если принят линейный закон зависимости вязкости от температуры, т. е. в уравнении (4.62) <о =1 и, значит, [ = Т, то обе формулы будут алгебраически эквивалентны.
Однако при использовании закона Сазерленда (4.60) или уравнения (4.62) при <а Ф! применение формулы (5.100) при хранении [<, «в одном массиве может сэкономить значительное количество машинного времени (см, обсуждение этого вопроса в равд. 7.1). 5.6.2. Общие соображения Полный линейный анализ устойчивости конвсктивных и диффузионных членов в уравнениях Навье — Стокса очень сложен, и подобные попытки предпринимались только в одной или двух работах и только для простейших разностных схем. Поскольку в данном случае паши интересы сосредоточены на задачах с сильными ударными волнамн, которые в основном определяются невязкпмп членами, в настоящее время принято проводить дб Чяеяьз с вязкостью анализ устойчивости только для уравнений течения невязкого газа и надеяться, что влияние добавленных вязких членов будет мало.
Эта тенденция интересна тем, что она повторяет тенденцню, существовавшую десять или двадцать лет назад. Тогда интересовались задачами распространения тепла и полагали, что добавление коивективпых членов не влияет на устойчивость (см., например, Рагхтьзайер [1957])').
В действительности важны как невязкпе, так и вязкие члены, однако обычно анализ устойчивости слишком сложен. Опыт исследования простого модельного уравнения (2.!8) показывает (см. гл. 3), что не всегда можно анализировать вязкие и невязкие члены по отдельности, а затем просто брать наиболее ограничительное пз полученных условий устойчивости.
Добавление вязких членов может превратить неустойчивую схему (например, схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным из разд. 3.!.4, 3.1.5) в устойчивую, и наоборот (схема «чехарда» из равд. 3.!.6). Однако раздельное проведение анализа устойчивости может дать некоторые наводящие соображения для дальнейшего численно~о экспериментирования. Кроме того, опыт расчетов Чена [1968], Аллена [1968], Аллена и Чена [1970] показал, что анализ устойчивости модельного уравнения (2.18) может дать ценные сведения об устойчивости расчета по полным уравнениям Навье — Стокса, по крайней мере в случае применения явных схем.
Есть также указания на то, что при анализе устойчивости можно пренебречь членами со смешанными производными типа (5.98). Кенцер [1970] показал, что члены с!и смешанными производными не оказывают влияния на устойчивость, по крайней мере в пределе при Лх-»О. В отличие от подобно~о вывода, сделанного выше для конвективных членов, представляется, что данный результат вытекает пз опыта расчетов при конечных Дх О. По крайней мере такой опыт показывает, что если члены со смешанными производными и порождают какие-либо ограничения, связанные с устойчивостью, то оии перекрываются другими условиями для устойчивости. Конечно, это может оказаться неверным для всех схем, которые могут быть созданы в будущем в), однако сейчас это позволяет пам значительно упростить изложение, уделяя внимание только аппроксимациям модельных членов вида д[[я/дх)]/дх и [(дхд/дхх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
