Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 84
Текст из файла (страница 84)
следующий раздел), являющихся в настоящее время наиболее популярными для расчета течений сжимаемой жидкости. Как и схема Лейта (см. равд. 3.133), все они основаны па разложениях в ряд Тейлора по времени до членов второго порядка включительно и все они эквивалентны схеме Лейта для моделыюго уравнения с постоянным коэффициентом. По сравнению со схемой Лейта для расчета течений несжимаемой жидкости применение разложений по времени здесь значительно усложняется, поскольку вместо одного уравнения имеется система уравнений. Для модельного уравнения при отсутствии вязкости ди>д~+ йди/дх= 0 (5.47) разложение в ряд Тейлора по времени дает дти и"" = и" + дй — „+ — дй' д, + О (б~') (5,48) Член ди/д~ в выра>кении (5.48) дается уравнением (5.47), а вторая производная д'и/дР находится дифференцированием уравнения (5.47): д'и д'и д Г ди > здти — = — й — = — й — ~ — й — ) = — й †.
(5.49) ды дхд> дх х дх ) дх' ' Рассмотрим теперь одномерные уравнения (4.66а) для течения невязкого газа (5.50) где У и Р— векторы, определенные формулами (4.66б) и (4.66в). Разложение в ряд Тейлора по времени будет иметь тот же впд +зь д1 + 2 сн д1' +О(б~)' теперь нельзя найти непосредственно из уравнения (5.50). Поэтому разло>кение уравнения (5.50) необходимо дополнить записью его в виде — +А — =0 дС дь> д> дх (5.53) и производные д(//д~ даются уравнением (5.50). Однако вторые производпые (5.52) 5.ДБ. Схема Лакее — Векдраффа Збт где А — матрица размером 3 Х 3, что в развернутом виде будет выглядеть так: д 111 д/З, дУр дсзз д, +Ап д +'41з дх +А11 дх — — О, д ГЗ1 ю доз дсзз — +Ам д +Ам д +Лез д —— -О, дгзз дс1~ дСз доз — + Аз1 — + Лз — + А.
— = О. дз дх - дх 'з дх (5.54а) (5.54б) (5.54в) Элементы Л1 этой матрицы определяются как элементы матрицы Якоби А,„= ОР1/ди.. (5.55) Из уравнений (4.666) и (4.66в) имеем (/з = ри (5.56) Р+ ри' (5.57) Тогда уравнение неразрывности др + д(ра) де дх (5.58) получается нз уравнения (5.54а) при (5.59) А11= 0 Лм — — 1, Л1з=О. Эту строку матрицы А определить просто; сложнее определить две другие строки, так как впд членов, содержащих Р и входящих в Рз и Рм зависит от принятого уравнения состояния.
Дальнейшее рассмотрение проведем для совершенного газа,описываемого уравнением (4.56): Р = (у — 1НЕ, — '/з риз). (5.60) Введем обозначение т = ри и перепишем это уравнение состояния в виде Р— (у — 1)[Е, — / пз /р), (5.61) ' 3Х Скемьз с неявной искусственной вязкостью а выражения (5.56) и (5.57) в консервативных переменных р, пз и Е5'. (/з = т (5.62) т — ! тз И= (5.63) (5.64б) (5.65в) тз 3 — — (у— 2 т' 1) —,, (5.665) А = — "'=' ~ттЕ зз = доз дЕ т — ! тз1 2 р'1 тт р (5.66в) Таким образом, матрица А будет иметь вид с О 1 Π— ((3 — у)/2] те/рз (3 — у) оз/р у — 1 — упзЕе/рз+ (у — 1) з/рз уЕу' — з/з(у — 1) !из/ре уеп/р (5.67) Прн помон!и этих формул можно определить элементы матрицы Якоби А! = дРз/д(/ .
В результате получаем Ап= — = — =О, дР~ дзп (5.64а) дП, ор дГ~ до дГ! дт Аз, — — —. — — —.' = О, дР, д:п Ои, дЕе дГ2 д 3 — т п|зз 3 — т Ам = — = — )(т' — 1) Е. +, — ) = — —,, (5.65а) ди, др! р~ — 2 р дГ д Г 3 — т т'т А„= — = —. !ь(у — 1) Е, + — з! = у — 1, ди, дЕ,( 2 р дГ, д 1 утЕ, т — ! т'1 ттЕе ди, др ~ р 2 р'1 р' + + т,, (5.66 а) ДД5, Схезга Лахеа — Вендраффа 369 Теперь можно обратиться к разложению Тейлора по времени (5.51), причем вторые производные здесь определяются следующим образом.
Для 1-й компоненты (г' имеем дУ! дУ, дУг дУз — — =А —.+ А — + А!а — —— д! !' дх 'здх здх дР! дУг дР! дУз дР! дУз дР! = — — + — — + — ' = —, (5.68) дУг дх дыз дх дУз дх дх (5.69) Но дР! дР! дУг дР! дУг дрг дУз + + д! дУ д! дУ д! дУ д! дрг дрз дрз = — Ап д — Лм дх — Азз дх (5,70) и поэтому де У! д Г дР, дР дрз т '(Лз! + Лг! + Азз — ). (5.71) дез дх Г дх дх дх )' Теперь для 1-й компоненты У разложение (5.51) можно записать так: (/! = (/! — 5! — + — И вЂ” зьАз! — + л-з! л дР! ! з д Г дрг дх 2 дх ь ' дх + А!з — х + зз дх 1+ О (оГ ) 1=1,2,3, (5.72а) или, более компактно, так: У = Π— !!! — + — й!з — А— ла! л дР ! з д Г дрт дх 2 дх ! дх)' (5.72б) — + О(Л .21 дх ~! — 2Лх (5. 73) и для членов типа д(Лндр!/дх) /з)х д рЛ дР, '1 Азеггг (Рг+! — Рз!1дх — А! га(Р! — Рз-гйдх дх~ дх~! ах + О(лхз) = 2а' 1(А!а!+ А,)(ре,! — Р!) — (А,-1-А,,)(Р,.
Р! !)1+ О (Ьхз). (5.74) Схема Лакса — Вендроффа состоит в применении центральных разностей по пространственным переменным в разложении (5.72). Опуская для простоты индекс 1, будем иметь в е-й узловой точке 5.5. Схемы с неявной искугсгвеилой вязкостью 370 Дополнительное осредпение, проведенное следующим образом '): Л;,пз = Л ((/"„нз) = АИи,"+ (/чг )/2], (5.75) пе снижает порядка ошибки аипроксимации, равного 0(Л(з, Лхз). Второй порядок аппроксимации по времени важен для расчета некоторых нестационарных задач (см. Эмери [1968]).
Уг~рамлсяие Показать, что для одного уравнения (5Л7) с й = й = сопз1 схема Лаков — Венлроффа (уравнения (5.72) — (5.74) ) сводится к схеме Лейта (равд. 3.1 13). Как и в схеме Лейта (равд. 3.1.13), в схеме Лакга — Вендроффа в нестацпонарном случае отсутствует искусственная диффузия, однако из-за наличия ненулевых коэффициентов при производных дз(//дхз и д4(//дх' имеются дисперспонпые ошибки третьего порядка и ошибки, обусловленные затуханием, четвертого порядка (Рихтмайер и Мортон [1967]). Для стационарных решений анализ, аналогичный проведенному в раза. 3.1.13, показывает, что стационарное решение зависит от Ай Данная схема дает гораздо более резкие скачки (т.
е. меньшие толщины скачков), чем другие схемы, однако дает и больший всплеск за скачком. Ланс и Вендрофф [1964] объясняют это тем, что все схемы высокого порядка аппроксимации по времени должны давать осцилляции за скачком; см. также по этому поводу работу Фрегденхила [!969], посвященную решению линейного модельного уравнения (5.47). (Представляется, что для многошаговых неявных схем это не имеет места; см.
разд. 5.5.7.) Для уменьшения всплеска и для получения удовлетворительных результатов при наличии в течении сильных скачков необходимо ввести явную искусственную вязкость в какой-либо форме (Лакс и Вепдрофф [1960, 1964], Рихтмайер и Мортон [1967]), Рассматриваемую схему можно распространить на случай большего числа пространственных переменных; например, вдвумерном случае она будет иметь вид (/ = и" — Л( — — й( — + — б( — [А — 1+ л~-~ л дг дО ! З д Г дсд дх ду 2 дх [. дх 1 (5.76) ') Можно было бы провести осреднение иначе, а именна положив Лг, „,=(Л,+ Л„,)/2=["А((7",)+ Л(и",.„)1/2.
Оба способа обеспечивают нужную аппроксимзпию, однако Абарбанель н Цвас [19691 указали на прсдпоыительность выражения (5.75) из соображе. ний консервативности; кроме того, в атом выражении требуется меньше ариф. метнческих действий. 5.5.5. Схема Лекса — Векдроффа где А и  — надлежашпм образом определенные матрицы размером 4 Р,'4. При этом, однако, схема становится весьма громоздкой и неэкономичной; Эмери [1968] отмечает, что в этом случае схема Лакса — Вендроффа требует вчетверо больше мапшнпого времени на один пшг по времени, чем схема Лакса. Кроме того, в этой схеме проявляется неустойчивость, обусловленная пелппейпосеью.
Линейный анализ устойчивости (основанный на предположении о постоянстве элементов матрицы А; см., например, Парлетт [1966], Берстейп [1965, 1966]) показывает, что схема безразлично устойчива в точках торможения потока (и = и = О) и в звуковых точках ()с = а, или М = 1). Берстейн [1965, 1966] и Томмен [!966, 1967] устаповилп, что нелинейные эффекты вызывают переход этой безразличной устойчивости в неустойчивость. В проведенных Берстейпом расчетах стационарного положения отошедшей ударной волны перед затупленным телом неустойчивость зарождалась в области точки торможения и в области резкого изменения кривизны затупления, где располагается звуковая точка. Этот автор обнаружил, что введение предложенного Лаксом н Вендроффом [1964] явного затухания четвертого порядка пе дает эффекта, однако введение явной искусственной вязкости второго порядка типа Русанова (см.
равд. 5.4.3) стабилизирует расчет, а также уменьшает или исключает всплеск за скачком. Платой за это является уменьшение порядка ошибки аппроксимации. Бсрстейн аналитически показал, что достаточным условием устойчивости в случае дозвукового течения является выполнение неравенства С < 1/(2з72 ), (5.77) что вдвое отличается от обычного условия С(1/1/2. Однако опыт расчетов показывает, что достаточно обычного условия и что даже опо может быть превышено на !бега; см.
также Эмери [1968]. Гари [1964] впервые применил схему Лакса — Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме и нашел, что волны разрежения рассчитываются прп этом более точно. Моретти рассмотрел двумерный вариант схемы в некопсервативных переменных (см. равд.
6.2). В этом случае не было необходимости вычислять элементы матрицы А, а вторые производные находились перекрестным дифференцированием (так же, как для линейных модельных уравнений). Моретти сочетал методику выделения скачков с этой схемой продвижения решения по времеви (см. равд. 6.2). Уоткинс [!970] показал, что методику выделения скачков можно также легко сочетать со схемой Лакса — Вендроффа в неконсервативных переменных, по крайней з72 Зд, Сксмы с нсяанод искдсстосннод вязкостью мере для одномерных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
