Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Трудности, связанные с методами выделения скачков, уже обсуждались выше. В случае фиксированных эйлеровых сеток эти методы не являются успсшнымн. Использование их в преобразованной системе координат будет обсуждаться в гл. 6. В общем случае наиболее эффективным методом расчета скачков является их искусственное размазывание, так чтобы пх толщина б, составляла от Збх до 5бх. При этом утрачиваются детали течения внутри скачка, но выполняются законы сохранения при переходе через скачок. 5.3. Размазывание скачков при помощи искусственной диссипации Идея введения в уравнения члена с искусственной диссипацией для размазывания скачков была впервые высказана фон Нейманом [!944) и опубликована в открытой печати фои Ней- д4Н.
Схема фан Неймана — рихтмайера маном и Рихтмайером [1950]. В их методе и в других, выдвинутых позже, к уравнениям добавляется явный член с искусственной вязкостью. Он выбирается таким образом, чтобы искусственная вязкость была существенна только в областях сильного сжатия потока, т. е. в местах формирования скачков. Впе области скачка влияние искусственной вязкости пренебрежимо мало, что отличает этот метод от метода с использованием больших значений р (малых значений Ке) в уравнениях для вязкого газа, как это делали Ладфорд, Полячек и Зегер [1953]. Альтернативным подходом являетси разрабо~ка таких конечно-разносзпых схем, в которых размазывание скачков осуществляется автоматически, без явного введения в уравнения членов с вязкостью.
Такие методы будем называть методами с неявной искусственной вязкостью или методами с неявным демпфированием. В некоторых изэтих методов для стабилизации сильных разрывов может потребоваться введение также явной искусственной вязкости. Первые расчеты скачков с введением неявной искусственной вязкости были выполнены Ладлоффом и Фридманом [!954]. Как при явном, так и при неявном введении искусственной вязкости схема должна быть <диссипативпой» в математическом смысле (Рихтмайер и Мортон [1967]), должна подавлять коротковолновые возмущения в большей мере, чем длиииоволновые.
Это свойство является необходимым условием того, чтобы конечно-разпостпая схема удовлетворяла условию роста энтропии при переходе через скачок уплотнения, автоматическя запрещая сушествовапие скачков разрежения (см., например, Овчарек [1964]). К счастью, это условие легко (даже непроизвольно) удовлетворяется. 5.4. Схемы с явной искусственной вязкостью БА.1. Схема фои Неймана — Рихтмайвра В 1950 г.
была опубликована классическая работа фон Неймана и Рихтмайера, в которой была выдвинута идея явного введения искусственной вязкости. Для стабилизации расчета одномерного распространения ударной волны в певязком газе прп использовании пеконсервативной формы уравнений в лагранжевых псременных эти авторы ввели искусственную добавку в давление. Однако понять этот метод проше, если интерпретировать этот добавочный член как член с вязкостью; интерпретируя этот член как член с объемном вязкостью йа, получаем очевидное обобшсние па многомерный случай.
В эйлеровых переменных рассматриваемый подход излагается следующим образом. Возьмем одномерные уравнения, 346 Дй. Схвлгы с явной искусственной вязкостью получающиеся из системы (4.42) — (4.47) при р=-О, ио й О. Заметим, что л а/и - — = ав. Гсе ройосйоо роио1. Коэффициент ав представляет собой коэффициент диффузии, равный величине, обратной числу Рейпольдса, построенному нс по коэффициенту вязкости ро, а по коэффициенту объемной вязкости ко. Тогда из системы (4.42) — (4.47) будем иметь (5.7а) (5.7б) ри йи Р + ргге — ил— дх ди и (Ев+ Р) — иви —. (5.7в) Феи Нейман и Рихтмайер предложили для кв выражение а = р (Д, Лх)т( ди/дх ), (5л8) где Ьо — подбираемая постоянная порядка единицы').
В урав- нения добавлялся член ') Постоянная Ь| играет роль, аналогичную роли длины пути перемешпааиия а модели Прандтля турбулег1тиого пограничного слоя (Шлнхтинг 11968)). о/, = — аа ди/дх, (5.9) который, как видно из уравнений (5.7), эквивалентен дополнительному искусственному давлению. Идея этого подхода следующая. Мы никоим образом не стремимся рассчитывать сколь-нибудь точно течение внутри ударной волны, а интересуемся только существенно иевязким течением по каждую сторону этой волны. Если значение коэффицпегпа искусствеипой диффузии выбра1ю просто постояииым и достаточно большим, чтобы подавить осцилляции за скачком, то «скачок» в численном решении может размазаться ца 50 плп 100 ячеек сетки.
В то же время соотношения Рэикияа — Гюгоиио поперек скачка будут выполнены безотносительно к деталям диссипативиого процесса, протекающего внутри скачка (см. любой курс газовой динамики). (Например, соотношения Рэнкипа — Гюгонпо могут быть записаны для сложной модели взаимодействия скачка с пограничным слоем в сверхзвуковом з47 б 4.! Схема фон Неймана — Ригтмайера днффузоре, причем размер области этого взаимодействия может быть равен нескольким футам.) Преимушество задания а, в виде (5.8) состоит в том, что диффузионный процесс прп этом определяется величиной д1(ди/дх)']/дх вместо величины д(ди/дх)/дх.
Соответственно дпссипация имеет место на более коротких расстояниях. Конечно, в области течения вне скачка возникает ошибка, однако если градиенты в этой области малы, то ошибка невелика. Значение коэффициента (Ь1Лх)' в уравнении (5.8) выбирается таким образом, чтобы независимо от интенсивности ударной волны (скачка давления) она имела бы постоянную толщину, измеряемую в размерах ячейки сетки. При таком выборе коэффициента искусственной диффузии толщина скачка получается от ЗЛх до 5Лх (см. рис.
5.1, б). Толгципа скачка 6, определяегся, конечно, приблизительно (как и толшина пограничного слоя). Если определение толщины скачка проводи~ь по величине его наклона, то 6. — ЗЛх, Для обеспечения устойчивости требуется небольшое усиление условия Куранта С (1. Розепблют показал (см. Рпхтмайер и Мортон (!967]), что размывание волн разрежения не обязательно, и поэтому большинстно исследователей использует формулу (5.8) только при и(би/бх) ( ( 0 и полагает сс, = 0 при и(би/6х) ) О, Конкретное значение Ьг выбирается после проведения опытных расчетов в результате компромисса между двумя желательными свойствами: минимальной толщиной скачка и минимальной амплитудой осцилляций за скачком, которые не могут быть полностью устранены.
Различные схемы, обсуждаемые в последуюшнх разделах, имеют своей целью достижение этих желательных свойств, причем некоторые схемы имеют определенные преимущества. В этой связи важно отметить пять основных моментов. (1) Если берутся одномерные уравнения в консервативной форме и в них в каком-либо виде имеется днссипация, то при переходе через скачок соотношения Рэнкпна — Гюгонио будут удовлетворяться, так как они основаны на законах сохранения массы, количества движения и энергии. Поэтому независимо от использованной схемы .в результате расчета получается правильное значение скорости скачка '). Это было численно подтверждено Лонгли [!960].
(2) В многомерных задачах в случае скачка, располагающегося под углом к линиям расчетной сетки, условия Рэнкина— '1 Это идеализация. На самом же деле пока конечная толпгииа скачка ие станет постоянной при стапионарном режиме, скорость скачка определяется нестрого, что особенно заметно для методов первого порядка точности по Лх. Звз о,4. Схемы с явной искусственной вявкостью Гюгонио нв обязательно точно выполняются. Прп размазывании скачка градиент нормального потока количества движения может распространяться в направлении, касательном к скачку.
Это нарушает основное газодинамическое предположение, которое необходимо для вывода соотношений Рэнкина — Гюгонио для косого скачка нз соотношений Рэнкина — Гюгонио для прямого скачка (см. любой курс газовой динамики). Поэтому скорость косого скачка будет неточной и на косых скачках в стационарном решении не будут выполняться условия при переходе через скачок. (3) Осцнлляции за скачком присущи явным схемам с использованием аппроксимаций второго порядка по пространственной переменной; эти осцилляции возникают из-за нарушения характеристических свойств уравнений сверхзвукового течения (см. обсуждение данного вопроса в равд. 5.5.2).
(4) Можно видеть, что на эйлеровых сетках толщина скачка б„определенная по выходу на параметры течения вверх и вниз от скачка, должна превосходить размер одной ячейки расчетной сетки. Если параметры течения меняются на участке от 1 до 1+ 1, то положение скачка к, не может быть определено точ. нее, чем с ошибкой ~Лх/2. С вычислительной точка зрения невозможно различить два скачка, если оба опи расположены между ~'-й и (с+!)-й точками. При С (1 скачок за один шаг по времени перемегцается на расстояние меньшее, чем Лх, а С могло бы быть выбрано так, что скачок прп этом останемся между точками 1 и 1+ 1. Но тогда скачок вообще не будет перемещаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
