Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 78
Текст из файла (страница 78)
разд. 3,!.5.д). Физически опо означает, что за одпп шаг по времени звуковая волна ие должна проходить расстояние, большее размера ячейки. Таким образом, условия ус>ойчпвости для расчета течений сжимаемой жидкости часто получаются при помощи анализа модельного уравнения (5.1) с заменой числа Кураита для течеиия несжимаемой жидкости С = [и[Л1,гЛх числом Кураита для течения сжимаемой жидкости С = ([и[ + а) Лг>Лх.
Эта аиалогия распространяется и иа случай больших возмущеиий давлепия, причем скорость звука заменяется скоростью ударной волны (см. разд. 5.4.1). Этот метод исследования устойчивости часто приводит к тем же результатам, что и строгий матричный метод псследоваиия устойчивости, и дает по крайней мере необходимое условие устойчивости. Более ограипчительиые условия необходимы, например, в случае использования коиечпых разпостсй против потока (см.
равд. 5.5.1), и зто понятно, поскольку в таком случае коиечио-разиостиые аналоги коивективкых членов и члеиов с градиентом давления получаются по различным схемам. Примеиеииый выше прием ие проходит также для иеявиь1х схем (см. следующий раздел). В случае течения сжимаемой жидкости размерность задачи влияет иа условие устойчивости. При Лх = = Лу = Л применение одиомериого метода одиовремепио для всех измерений обычно меияет условие (5.4а) следующим образом; 34! 5.дЗ.
Использование неявных схем пениями течения вязкого газа, рассчитал ламинарные течения газа около плоских пластин и пластин с уступами. Он нашел, что для обеспечения сходимости ошибок аппроксимации и для точности стационарного решения должно выполняться ограничение, наложенное на шаги пространственной сетки. Для потока, приблизительно параллельного оси х, оп требовал, чтобы оу/бх ( !ь !хм, (5.5а) где рм — угол Маха, нм = агс з!п (1/М), (5.55) или (что эквивалентно) чтобы бх/бр ~ )хуМз — 1. (5.5в) Если этот критерий нарушается, то около входной границы потока возникают нереально высокие давления (частиое сообщение).
В случае решения гиперболической системы уравнений для невязкого газа методом характеристического типа, в котором решение продвигается по слоям на фиксированной сетке, это условие является, конечно, не чем иным, как условием Кураита — Фридрихса — Леви (см. Курант, Фридрихе и Леви [1928]). Однако в литературе описаны устойчивые и достаточно точные решения, в которых этот критерии ие выполняется. Известно также, что подобное условие возникает для более простых уравнений из-за постановки специальных граничных условий (Чорни, частное сообщение).
К настоящему времени точный статус этого критерия не установлен. Представляется, что опыт Гудрича может иметь отношение н к граничным задачам, но это не обязательно. б.1.3. Использование неявных схем Почти все расчеты практически важных многомерных задач о течениях сжимаемой жидкости, опубликованные к настоящему времени, проводились при помощи явных схем.
Пекоторые из многошаговых схем (равд. 5.5.7 и 5.6.3) можно интерпретировать как итерационные приближения к неявным схемам, однако в действительности оказывается, что проведение лишь одной итерации дает лучшие результаты, чем проведение нескольких итераций. Построению неявных схем для гиперболических систем уравнений посвящены ранние работы Вендроффа [!960], Анучгпзой [1964] и Гари [1964]. В работе Браиловской с соави торами [!970] отмечена причина пессимизма относительно использования неявных схем: многие неявныс схемы, безусловно устойчивые в применении к модельному уравнещио (5,1), не 342 дд методы часиганого раатгта ударных аолн яоллюгсч таковыми в применении к системе уравнений, оиисы.
вающих течение сжимаемой жидкости. Это подтверждается опытом Шредера и Томсена (1969); они построили неявную схему для многомерных гиперболических уравнений, которая по- прежнему требовала ограничения С (1. Полежаев [1966, 1967) рассчитал течения сжимаемо~о газа при помощи метода чередующихся направлений, при котором устранялось ограничение иа шаг по времени, связанное с диффузией, по явная аппроксимация членов с градиентом давления приводила к сохранению условия С ~ 1. 1урли и Митчелл также рассматривали метод чередующихся направлений [1966а) и впоследствии [1966б) для двумерных гиперболических уравнений разработали безусловно устойчивую схему метода чередующихся направлений, основанную на девятигочечиом шаблоне, применяемом на обоих слоях по времени. Однако эта схема ие была опробована иа нелинейных задачах и на реальных газодинамических расчетах.
Сварц и Веидрофф [1969] ирп помощи нелинейно неявной схемы, используя итерации на каждом шаге ио времени, рассчитали одномерную задачу о распространении ударной волны. Представляется, что эту схему трудно обобщнуть иа случай двух или трех пространственных переменных. Хотя в будуп!ем неявные схемы расчета течений сжимаемой жидкости могут приобрести важное значение, однако в настоящей книге мы будем рассматривать только проверенные явные схемы.
5.2. Методы численного расчета ударных волн Вместо того чтобы следить за ударной волной и пытаться решить, когда из волн сжатия сформируется ударная волна, предпочтительнее просто «включить» уравнения и предоставить ударным волнам развиваться естественным образом. Трудность заключается в том, что толщина прямого скачка б, в реальных вязких газах при фиксированном числе Прандтля Рг меняется как 1/Ке, и для течений с болыпимн числами Рейнольдса может случиться, что б, ( Лх.
При этом за скачком развиваются осцилляции, как показано на рнс. 5.1, а. Эти осцилляции на конечной эйлсровой сетке отражают физический процесс, посредством которого кинетическая энергия упорядоченного движения теряется ири уменьшении скорости при переходе через скачок и диссиипрует во внутреннюю энергию благодаря столкновению молекул (Рихтмайер п Мортон [1967)). Но в расчетной модели узловые точки сетки, в некотором смысле являющиеся «вычислительнымн молекулами», расположены слишком редко. Если 1Яе = 0 и если в конечно- 50 0 100.0 1500 1750 |009 150.0 1750 500 15.0 15.0 12.0 1|.0 '0 О 12 О 1а О 9.0 9.0 В.а 7.0 69 В.а 5,0 БЯ 4.0 50 5.0 2.0 1.0 5.0 2.0 1.0 00 50.0 'ОЧ О 150.0 1750 0.0 50 0 100.0 15|.Р '75.0 г Рис| 5.1. Расчет распространения ударной полны прн М = 3 на зйлсровой сетке при помощи двухшаговых схем Лакса — Вендроффа с максиматьным числом Куранта 0.95.
По оси абсцисс отложено расстояние, по оси ординат— давление. Ударная волна распространяется слева направо. Показаны распределения давления через равные промежутки времени. (Заимствовано из работы Тайлера [197011 а — двухшаговая схема Рихтмайера, Ь| = 0; б — модифицированная схема Мак-Карнака, Ь, =0; в — двухшаговая схема Рихтмайера, Ь| =О!5; г — модифицированная схееа Мак-Кормака, Ь| =0325 15.0 |2.0 |.а 10.0 90 ва 7.0 ба 5.0 4.0 5.0 2.а 1.0 5.2. 31етоды численного расчета ударных волн 343 19.а 12.0 11.0 ша 90 ва 7.а 60 :0 20 10 З Л Размазмсанис скачков 344 разностной схеме нет искусственной вязкости, то не будет и механизма диссипации, посредством которого кинетическая энергия могла оы превратиться во внутреннюю, и поэтому возникают осцилляции. При 1/1(е чь 0 в некоторых случаях оии могут затухать, но для большинства практических расчетов метод оказывается неудовлетворительным.
Заметим, что усреднение осцилляций не дпет правильной величины скорости ударной волны (Рихтмайер [1957[). Только в случае течений с малыми чнсламц Рейпольдса расчет скачков пе представляет собой особой проблемы. Прн б, = =2бх для прямого скачка Кранко [1965[ обнаружил лишь незначительные осдплляцпи. Скала и Гордон [1967) не встречали никаких трудностей прн расчете скачка с Яе а-40 иа мелкой сетке с двадцатью узловыми точками, расположенными в пределах скачка, Проблема расче~а скачков облегчается также в случае косых скачков (более слабых, чем прямые) и при наличии твердых стенок с условиями прилипанпя па нпх.
В эйлеровых переменных невозможно брать особенно мелкую сетку вблизи скачка, так как его положение заранее неизвестно. В лагранжевых переменных с перестройкой ячеек развивающийся скачок может быть рассчитан на мелкой сетке. Этот подход плодотворен в случае одномерных задач (Рпхтмайер [1957]), таких, как распространение плоской или сферической ударной волны, ио трудноосуществим для многомерных задач (Год [1960[). Макнамара [1966, 1967[ разработал метод выделения разрывов в подвижной эйлеровой сетке, которая периодически подстраивается для слежения за контактными разрывами и скачками. Будучи в целом успешным, метод с подвижной сеткой приводит к некоторым ошибкам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
