Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 73
Текст из файла (страница 73)
4.1. Основные трудности В задаче о двумерном течении совершенного газа имеется четыре зависимые переменные: две составляющие скорости и две термодинамические величины. В случае несжимаемой жидкости при решении уравнения количества движения и уравнения неразрывности не требуется привлекать уравнения энергии для исключения одной термодинамической величины — температуры. Здесь давление можно исключить перекрестным дифференцированием и ввести вихрь. Затем обе составляющие скорости исключаются за счет введения функции тока, и в итоге остаются два уравнения [параболическое и эллиптическое) для днух искомых функций — вихря и функции тока.
В случае же течения сжимаемой жидкости уравнение энергии необходимо для решения остальных уравнений, а функция тока в нестационарном случае не определяется. Здесь приходится иметь дело с системой четырех дифференциальных уравнений в частных производных '). ') Если предположить, жо коэффпппепты переноса н удельные тепло. емкостп постоянны, то уравпекия удобно записать через вихрь и эптропкю, кзк зто слолзко в рзоото Цянь Сюэ.сопя [1958].
далее, для более ограни. чеккото класса задач [без учета вязкости ялп эпплопроводкостк и прп отсут. стаяв ударных волн) можно считать знтропкю погтояяяой, что ведет к исключению одной кскомой фуякпкя, Одпзко этот подход яе кспользоввлся тт~яроко ярк численном решении задач газовой лппзмпкк. Согласно другому подходу, развитому в работе Гольдттпз с соавторами [!969), уравнение экергкп, включающее члены с теплопроводкостью. звмеяяют уравнением перекосз энтропии и таким образом жертвуют сохрзнеквем эпергяв для сохраненття энтропии. 4.3. Традиционная форма уравнений З!б 4.2. Традиционная форма уравнений Уравнения неразрывности и количества движения для плоского течения мы приведем в их традиционном размерном виде (см. Шлихтинг [1968]), а уравнение энергии запишем так, как это сделано в книге Овчарека [1964] ') (см.
также любой обычный курс газовой динамики, например Шапиро [1953], Липман и Рошко [1957], Чепмен и Уолкер [197!]). Мы рассматриваем совершенный газ, т. е. считаем, что внутренняя энергия и явчяется только функцией температуры Т, но свойства газа могут быть переменными (черточками сверху, как н ранее, обозначаются размерные величины). Предполагается, что объемные силы отсутствуют, а объемная вязкость и учитывается (до не. которых пор) в коэффициенте л = и — а/з)ь.
Итак, указанные уравнения будут такими: до+а (ру)=б, д[ (4.!) р — "+У.й — 1) (Р У)=б. П[ (4.2) (4.3) (4.4) ~) Вместо малоизвестной у нас книги Овчарека [!964], на которую неоднократно ссылается автор, читатель может каждый раз обращаться к отечественным источникам, например к следующим книгам: Кочин Н. Е., Кибель и. й., Розе Н. В. Тсорстнческая гидромеханнка.
В 2-х частях. — 6-е изд, асправл. и доп. — Мл гэизматгиз, 1963; Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х томах. — З.е изд., перераб. — М.: Наука, 1976. — Прим. ред. Уравнения для сверхзвукового течения невязкого газа имеют гиперболический тнп. Конечно-разностные уравнения должны в определенной мере учитывать область зависимости исходных дифференциальных уравнений, что приводит к знаменитому условию устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Наиболее серьезные вычислительные трудности, присушие расчету сверхзвуковых потоков, связаны с наличием ударных волн. В пределе при больших числах Рейнольдса ударные волны являются разрывалли в решении. Наибольшие усилия специалистов в этой области были направлены на то, чтобы научиться «размазывать» эти разрывы, сохраняя при этом точность расчета на некотором расстоянии от разрывов.
Мы рассмотрим также некоторые методы с выделением скачков, где эти разрывы сохраняются. 4ой Консервативная форма уравнений 317 +.3. Консервативная форма уравнений Уравнения движения невязкой сжимаемой жидкости в консервативной форме были выведены Курантом и Фридрихсоы [1948), однако практически их впервые использовал Лаке [1954) для построения консервативной разностной схемы. Если традиционные дифференциальные уравнения преобразованы таким образом, что основными искомыми переменными становятся консервативные величины р, ри, ро и Е, (величина, которая будет определена ниже), то применение к таким уравнениям консервативных конечно-разностных схем обеспечивает сохранение массы, количества движения и энерп1и, Соотношения Рэнкииа — Гюгонио для прямого скачка') основаны только на этих законах сохранения и не завися~ от деталей внутренней структуры скачка, Отсюда следует, что все устойчивые аппроксимирующие консервативные разностные схемы, примененные ') Некоторые расчеты (Кенпер [19?Об]) были проведены с заменой уравнения (4.4) уравнением для давления др Г др др = = — [ и — + д — + ур??[, д1 дх ду (4,6) где т = с;/с.
— отношение удельных теплоемкостей. При выводе этого урав- нения использовалось уравнение состояния совершенного газа Р= рот. (4.6) Уравнение (4.4) является более общим и более употребительным, так что мы в этой книге будем иметь дело только с ним, ') Значением торможения или полным значением называется то значение какой-либо газодинамической величины, когорое получилось бы при переходе течения обратимым образом в состояние покоя ') См., например, Овчарек 11964] или любой другой куре газовой динамики. Здесь ~) /)/И = д/дг+ йд/дх+ пд/ду — субстанциональная производная, ?Т = Ч Ч вЂ” дивергенция скорости, е, = е + Рз/2— внутренняя энергия торможения') на единицу массы, г) — вектор потока тепла, Т вЂ” тензор полных напряжений.
Для определения этих величин необходимы дополнительные соотношения. В компоненты тензора Т входят как давление, так и вязкие напряжения. Гравитационная постоянная, используемая Шлихтингом [1968], в приведенную систему пе введена явно, но неявно она включается в принятую здесь систему единиц. 4.3. Консервативнал форма уравнений 3! в к уравнениям в консервативной форме, удовлетворяют соотношениям Рэпкина — Гюгонио и, следовательно, дают правильные условия на разрыве '). В работе Лонгли [1960] были опробованы четыре различные разностные схемы, и прн этом оказалось, что пз-за использования уравнений в консервативной форме все они дают правильные значения скорости скачка. Гари [1964] показал, что применение схемы Лакса — Вендроффа к уравнениям в неконсерватпвной форме приводит к значительным погрешностям в величине скорости скачка (хотя волна разрежения рассчитывается несколько точнее).
Многие последующие расчеты подтвердили, что применение уравнений в консервативной форме дает более точные результаты при расчете течений со скачками (не считая схем с выделением скачков, которые будут обсуждаться виже). Это легко понять, рассматривая стационарный прямой скачок. Ошибка аппроксимации конечно-разностных уравнений зависит от величины отброшенных высших производных при разложении в ряды Тейлора. В переменных р, и, и, Т наличие скачка вызывает разрыв в решении, в то время как в консервативных переменных решение непрерывно (однако на движущихся и косых скачках и консервативные переменные также могут претерпевать разрыв). Еще одним преимуществом использования уравнений в консервативной форме является то, что в этом случае конечно-разпостные уравнения можно интерпретировать как интегральные законы сохранения для контрольного объема, равного ячейке разпостной сетки, как это обсуждалось в гл.
3 (разд. 3.1.3). При такой интерпретации нет необходимости в каких-либо предположениях о непрерывности функций. Поэтому интегральные формы предпочтительнее, н многие полагают, что все физические законы следует записывать в интегральной форме, Конечно-разностные аналоги уравнений Навье — Стокса в интегральной форме выведены в работах Лллена [1968] и Рубина и Прейзера [1968, 19?О]. Для устранения громоздкости опустим черточки над размерными величинами и в уравнениях, связывающих размерные величины, будем ставить над знаком равенства букву р, Уравнение неразрывности (4.!) уже записано в консервативной форме. Консервативную форму других уравнений можно получить путем преобразований, подобных следующим.
Рассмот- '1 Отметим, что использование исходных уравнений в консервативной форме само по себе пе обеспечивает сохранение массы, колгпстпа движении п энергии; необходимо также, чтобы сам конечно-разностиый метод был консервативным. 4.8. Конеервотивнан форма уравнениа рим следующие члены уравнения количества движения в направлении х: д (рн) д (рии) д (рио) д) дх ду др д(ри] д(ро) дн ди ди =и —.+и — +и +р — +ри — +ро — = д( дх ду д) дх ду = и [ д) + Ч (рЧ)1 + р и ' (4'7) Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения неразрывности (4.1); поэтому ~~и о д(ри) + д(рии) + д(рио) " д(ри + Ч ((ри) ц Г)( д( дх ду д) Подставляя (4.8) в (4.2), получаем уравнение количества движения в направлении х в консервативной форме: = — д — Ч.((ри) Ч)+ д [2р д +о01+ д [)х (д +дх))' (4.9а) плп сокращенно О (ри) " др д( = д Ч При)Ч)+ ') +))2' (4.96) Уравнение количества движения в консервативной форме в на- правлении у выводится аналогично: + д [2Р д + И)1, (4,10а) (4.
1Об) — „+Ч ЦЧ)=Ь,, д) (4.1 1) где член 5) состоит из компонент градиентов давления н вязких напряжении, стоящих в правой части уравнения (4.9б). Теперь нли сокращенно — = — д — Ч Про)Ч)+):)в+)~~. д (ро) " дР В уравнениях (4.9) и (4.10) переменные и н о заменены консерватпвнымп переменнымп ри и ро. Теперь в уравнении количества движения в направлении х основной переменной является количество движения ри. Чтобы подчеркнуть это, перепишем уравнение (4.9б), введя обозначение ) = ри: 4 Э Канаараатааная форма урааненаа зао совершенно ясно, что уравнение для переменной / представляет собой уравнение переноса.
Это уравнение аналогично уравнению (2.10) для вихря, и на него можно распространить все рассуждения разя. 3.1.3 о свойстве консервативности. Мы полу шли консервативную форму, содержащую д(ри)/д) из некоисервативной формы, содержпцей ди/дй так как последняя чаще употребляется в литературе. В действительности же основной является именно консервативная форма, а нсконсервативная просто следует из пее. Достаточно вспомнить, что второй закон Ньютона записывается в консервативной форме, т. е. через производную д(ри))д), и только будучи скомбинированным с законом сохранения массы (с уравнением неразрывности), приводится к пеконсервативной форме н записывается через ди/дб Все эти замечания справедливы и для уравнения энергии, к рассмотрению которого мы сейчас переходим. В уравнении энергии в консервативной форме консервативной величиной будет являться удельная (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
