Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 69
Текст из файла (страница 69)
д7.2. Освоенное уравнение 295 3.7.2. Основные уравнения Уравнения количества движения в консервативной форме можно записать так: аи а(и) а( ) д(+ ах + ау до д(ио) д(о') д( дх ду Эти уравнения «консервативны» для количества движения так же, как и уравнение (2.10) «консервативно» для вихря.
Продифференцировав уравнения (3.580а] и (3.580б) н сложив результаты, получим уравнение Пуассона для давления, аналогичное ранее выведенному уравнению (3.525): Лхр =— д' (и') д' (ив) ав (о') д(З + дх' дх ду ду' д( где 0 — дивергенция скорости, т. е. ди до В= — + —. дх ау' (3.581б) Очевидно, что член 5н в уравнении (3,581) равен члену 5 в дифференциальном уравнении (3.525). Приведенное уравнение Пуассона обладает замечательным свойством, которое впервые было рассмотрено в Лос-Аламосской лаборатории (Харлоу и Уэлч 11965), Уэлч с соавторамц [1966)) при разработке известного метода маркеров н ячеек (метод МАС). Это свойство состоит в том, что в уравнении Пуассона (3.58!) нужно рассчитывать члены, содержащие О, хотя уравнение неразрывности (3.509в) дает О = О. Из-за несовместимости граничных условий или из-за недостаточной степени точности итерационного решения уравнения Пуассона конечно-разностный аналог й, как правило, не равен нулю, т.
е. йс) чьО. Члены уравнения (3.581), содержащие О, можно было бы приравнять нулю, не меняя при этом порядка величины ошибки аппроксимации, однако поскольку уравнение Пуассона решается итерационными методами, ошибка будет накапливаться. В результате в уравнениях количества движения появляются не только ошибки, но и возможно возникновение неустойчивости, связанной с нелинейностью. Надлежащий расчет членов, содержащих 7д, может устранить эту неустойчивость. Производная по времени д0/д( должна быть определена с помощью разностной формулы, а которой принимается )ренн = 0 гуа Д7.
Л(етоды реоиенин уравнений днк физических аеременньтх независимо от того, какие конечно-разпостные выражения взяты для ди/д( и до/д(. (Тогда в случае применения разностей вперед по времени получается 80)д( = — Рт,))тМ.) Неустойчивость, связанная с нелинсйпостью, и средства ее устранения впервые были рассмотрены Харлоу и Узлчем [1965]. (аналогичное поведение отмечали и другие авторы, применявшне метод маркеров и ячеек, например Паньяни [1968], Гозйн и Притчетт [1966], Слотта с соавторами [1969], а также Чен с соавторами [1969], пользовавшиеся модифицированным методом маркеров и ячеек.
В более общем случае неустойчивость, связанную с нелипейностью, для других пестационарных решений исследовали Херт и Харлоу [1967] (мы рекомендуем читателю ознакомиться с их работой). Донован [1968,1970] и Путре [!970], которые брали несколько отличные уравнения и такую же, как в методе маркеров и ячеек, структуру разностной сетки, обнаружили аналогичное поведение решения (см. разд. 3.7.4). Уравнения, которые решали последние авторы, получаются преобразованием при помощи уравнения неразрывности (3.509в) следующих производных, входящих в уравнения (3.380): дги д г до х дго (3.582 а) дх' дх ~ ду) дхду ' д ( д ) д д .
(3.582б) Кроме того, эти авторы полагали также в уравнении (3.581) Р = 0 в членах, содержащих пространственные производные от Р. В результате они получили систему уравнений д(иг) д(ио) др 1 / дги дго д(+ дх + ду дх + йе ч.дуг дхду)' до д (ио) д (о') дР 1 д'о о'и (3.583а) (3.583 б) дг + дх + ду ду + йе ч дх' дхду)' д' (и') дг (ио) д' (о') д!) Яг!г — — — — 2 дх' дх ду дуг д( (3.584) Если исходить нз указанных выше работ, то могло бы показаться, что в уравнении (3.58! а) член Уг0 не столь важен, как член д0/дй Однако поскольку в конечно-разностной форме уравнение неразрывности не выполняется точно, не будут выполняться точно и конечно-разпостные аналоги соотношений (3.582), Таким образом, в уравнениях (3.583а) и (3.583б) соответствующие диффузионные члены не будут консервативны. Уильямс [1969] также сохранял член дР/д(, примения схему «чехарда» для производной по времени совместно со схемой Аракавы (равд.
3.1.21). Так как он использовал прямой метод решения уравнения Пуассона, ошибка, связанная с итерационными мето- 8.7.3. Граничные условия для физических переменных 297 дами, для уравнения (3.58!а), записанного в цилиндрических координатах, была равна нулю. Можно построить методы, в которых условие 77 = 0 выполняется тождественно, т. е.
в которых сохраняется масса (объем); см. Пиачек и Уильямс [1970]. откуда следует, что до до ] до ду 7 ду [7 ~ ау[7 пз (3.586) Значит, эту величину можно вычислить по ее известному значе- нию во внутренней точке ! — 1. Применяя уравнение неразрыв- ности в точке 1 — '/ь определяем (3. 587) 3,7.3. Граничные условия для простейших физических переменных Граничные условия вдоль стенки с прилипанием имеют следующий простой впд: и,=О и и =0 для всех моментов времени. Это, очевидно, дает большое преимушество при использовании неявных схем, поскольку для граничных условий не требуется дополнительного итерационного процесса. Одпако успешное применение неявных схем при решении уравнений, записанных для физических перемепных, сталкивается с некоторыми трудностями, связанными с нелинейной неустойчивостью уравнения для давления (Азиз [1966], Азиз и Хеллумс [1967] ), которую можпо устрапитен сохраняя член дР/д! в уравнении (3.581а) или в уравнении (3.584).
Заметим, что в случае прилипания скорость в угловой точке прн обтекании выпуклого угла будет однозначна. Условие скольжения можно ставить вдоль верхней границы или вдоль стенок со скольжением. Для параллельной осн х стенки со скольжением о, = 0 и (вероятно) ди/ду[„= О. Для узла, принадлежащего стенке, из последнего условия (в случае пространственных разностей со вторым порядком точности) получаем и = и +ь В вершине выпуклого угла прп условии скольжения значение скорости будет многозначным.
На входной границе (см. рис. 3.22) составляющая скорости и часто задается в виде и(у) = (/о. Составляющая скорости о часто полагается равной нулю или для нее ставятся более «мягкие» условия до/дх = 0 или оь; — — оа ь как это делает Слотта с соавторами [1969). Аналогичное условие для о на выходной границе (Слотта с соавторами [1969]) дает О7 = Ог (3.585) 29З З.7. Методы решения уравнений длх физинеских переменных С учетом равенств (3.687) по известным значениям во внутренних точках находится с точностью второго порядка значение ц на выходной границе: Ьх ц,;=ц,,— — (р~ ь !„., — ог ь ! 1). (3.588) 2Лу Из-за выбора сетки в методе маркеров и ячеек индексы в уравнении (3.588) часто оказываются иными.
В более общем случае, применимом к обоим типам сеток, формулу (3.588) можно переписать в следующем виде: бх цл !=ц, ь; — — (пе ь !~на — пг 1; щ). (3.589) Для давления, как и в разд. 3.5, ставится условие Неймана. Путре [1970[ полагал Р = сопз1 на входной и выходной границах и задавал перепад давления Р,„— Р„„.
В рассматриваемой нм задаче о гндродинамическом подпятнике это было оправдано. Для составляющей скорости и на входной н выходной границах ставилось условие дц/дх = О. С учетом уравнения неразрывности это означает, что дц/ду = О, н из условия р =0 следует, что ре, = р„. = О. Не ясно, будет ли решение сходиться при таких условиях, наложенных на составляющие скорости, если для давления ставятся менее жесткие условия. 3.7,4. Метод марнвров и ячеек Методу маркеров н ячеек (метод МАС), предложенному в работах Харлоу и Уэлча [1965) и Уэлча с соавторами [1966), присущи следующие четыре отличительные черты: применение уравнений для простейших физических переменных (составляющие скорости и давление), специфическая конечно-разностная схема, специфическая структура ячейки, введение частиц-маркеров.
Такая форма уравяеннй и пх смысл уже обсуждались в связи с уравнениями (3.580) — (3.581). Разностная схема для уравнений количества движения основана на разностях вперед по времени и центральных разностях по пространственным переменным. Подобная схема была рассмотрена в разд. 3.1.1 и последующих разделах; ее устойчивость обсуждалась в разд.3,1.5 и последующих разделах. Эта схема безусловно неустойчива для течений невязкой жидкости. Однако разностные уравнения в методе МАС несколько отличаются из-за структуры ячейки. Структура ячейки в методе МАС показана на рис.
3.33. Давление определяется в центре ячейки, как, например, Рс,~ или Ррьь, Составляющая скорости и определяется в середине левой и правой сторон ячейки как циаме г и ц; ыкр Составляющая ско- 3.7.4. Метод маркеров и ячеек 299 Рис. 3.33. Система ячеек и позиции для расчета в методе маркеров и ячеек. шаге пространственной сетки. Например, прн расчете производной по времени л+1 л ди ~ ди ~ из+из т — и,+щ ~ дт ~ +ця,! а" ~рыла, г (3.590) член дР)дх ~";+из, т вычисляется следующим образом: др (л Рл Рл 3Х ~,+ зат ак (3. 591) а ЧЛЕНЫ ВИДа дти/дХз ~лент ~ НаХОДЯтСЯ таК: деи (л ит„зтз à — 2из, щ + и, дхз ~2 ья т Лхз (3.592) (в правой части формулы верхний индекс и опущен). При расчете производной 3(") ~" 7,ь, - с, дх ~2+на 1 дх (3,593) рости о определяется в середине верхней и нижней сторон ячейки как опт+па И от,т тЫя. Во всех точках, где зто возможно, конечно-разностные аналоги производных по пространственным переменным находятся при помощи центральных разностей на одном ЗОО 8.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
