Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 67
Текст из файла (страница 67)
По определению йо Е= с,(т, — т,) (3.545) (3.546) Но се то се (тките) ср а йо -2 так йо (3.547) "отце где а — скорость звука, /ге — газовая постоянная и у = С /С,. Далее, С,1;а 1 "о тле йе т(с,— с„) м,' (т — 1)м', ' (3.548) 1 ! (3. 549) е (т — 1) или Е= (т — 1) м', (т,/т, — В (3.550) Следовательно, Е- 0 при Мо-э.О для Т~/Те) 1. Но если разность температур, которую можно записать в виде Т~/Та — 1, настолько мала, что Е будет велико прн любом малом, но стационарное поле температур можно получить при помощи прямых неитеративных методов, например при помощи метода расчета распространения вектора ошибки (равд.
3.2.8), Уравнение, аналогичное уравнению (3.543) без диссипативного члена Ф, можно использовать также для решения простейшей задачи о диффузии двухкомпонентной смеси, описываемой элементарным законом Фика; см., например, Берд с соавторами [1960). В этом случае Т заменяется концентрацией, а число Пекле Ре числом Шмидта. 287 3 да Прсдсгаилснис диссинасианаа щунннип отличном от нуля М, и т ~ 1, то роль диссипативного члена будет велика.
Заметим, что при Е = 0 в уравнении (3.543) можно Т заменить на — Т, а зто означает, что решения для убывающей температуры аналогичны решениям для повышавшейся температуры. Однако прн Е '= О такие решения будут различаться из-за положительно определенной диссипативной функции. 3.6.3. Нонечно-разностное представление днсснпатнвной фуннции Поскольку и = дф/ду и о = — дф/дх, уравнение (3.544) можно переписать в виде Э=2[(~ сз ) +(~ н )~+(д и — н с), (3.551) или (3. 552) Применяя обычные конечно-разностные формулы с централь- ными разностями по пространственным переменным (равд.3.1.1), определим Ф со вторым порядком точности 0(Ахи,бу'): 1 ) Ес+ь с+~ — Е;+ь с-1 — тс ь с4~ + 4с 4 1. асад + ~Ес с+1+ Ес с 1 — 2$с с Ес+~ с+ Ес 1 с — 2$с с ~и йхи (3.553) нйи (3.
554) где Ь' — источниковый член в уравнении Пуассона для давления (3.525). Это точное соотношение было бы удобным при уже вычисленных ~ и о', но получаемая таким образом функция Ф не всегда может оказаться положительно определенной, Ошибки аппроксимации могут привести к появлению отрицательных значений функции «и+ 5. Такие ошибки, как правило, малы, но появление отрицательных значений Ф может смутить и ввести в заблуждение.
Однако при вычислении функции Ф на стенках с условием прилипания зто соотношение может быть полезным Поскольку Ф вычисляется только во внутренних точках и никогда не вычисляется на границах, пет необходимости приме. нять где-либо односторонние разности. Выражение (3.553) сохраняет положительную определенность диссипативной функции, Легко показать, что имеет место следующее интересное соотношение: аб. Рис гег гюемрагурм и конггентраигггг при построении графиков на ЭВМ. Поскольку на стенке при условии прилипания 5 = О, мы имеем г1г ~г (3.555) т. е.
здесь Ф вЂ” опять положительно определенная функция. 3.6.4. Граничные условия для температуры и нонцентрации Граничные условия для температуры аналогичны граничным условиям для вихря, за исключением условий на стенках, где онп проше. Вернемся к обозначениям, принятым на рис. 3,22. Температуры стенок могут быть фиксированы, например равны характерным температурам.
Так, можно положить, что в задаче с подогреваемым основанием уступа Т(В5)= — 1, Т(В2)=0, (3 556) а в задаче с охлаждаемым основанием уступа Т(В5)=0, Т(В2)=!. (3. 557) Т~~~ =Т + ~ ~ Лп+ ~ — р —,~ Лггз+ 0(Лгг'), (3.558) дт ~ 1 от или — ~= Ми — (Т „, — Т )(Лп+ 0(ЛП). дТ (3.559) Чтобы поставить условие адиабатичности на стенке, положим Ми=О, илп Т.= Т„„. (3.560) Если для решения уравнения (3.543) применяются явные схемы, то это условие просто используется после вычисления Т гг во внутренних точках, т. е.
принимается, что Т" "' = Т"~.'г. Если же применяются неявные схемы, то условие (3.560) необходимо ввести в схему для расчета внутренних точек так же, как это Возможны, конечно, любые другие распределения температур вдоль стенок, например вдоль границы В 5 можно задать Т(гс, 1') = 1(у). Граничные условия для температуры на стенке можно задать в виде условия Неймана, т. с. задать градиент дТ~дгь В безразмерных переменных дТ)дп = Хц, где Мц — число Нуссельта, которое соответствует безразмерной интенсивности теплопередачи. Наиболее обычным видом граничного условия является случай адиабатической стенки, когда Кц = О.
Если же число гчц не задано, то его интересно вычислить в процессе решения. На сетке первого типа разложение в ряд Тейлора дает З.б.4. Граннянам уалоатая дла температуры и коняентрарии лзэ сделано в схеме Миякоды (3.529) при решении уравнения для давления, При вычислении градиента на стенке особенно важно, чтобы его конечно-разностное представление было согласовано с конечно-разностной схемой, используемой во внутренних точках. Если вычисленные значения температур во внутренних точках рассматривать просто как известные величины, то в случае адиабатичсской стенки для обеспечения условия дТ~дп = 0 можно брать экстраполяцию высокого порядка точности.
Один из возможных вариантов формулы для определения температуры на адиабатической стенке имеет следующий вид: (3.561) Т„= 4Т, ~ — 3Т яа. Однако такое представление не является численно адиабатическим. Для определенности рассмотрим стенку, параллельную оси к при 1 = 1, Тогда в точке (й ш +! ) градиент потока тепла дается членом К'Т~18 а, который определяется равенством (3,562) По схеме с центральными разностями получаем Ьтт т + т., — Зт. (т — т, )ИУ вЂ” (г — т; дРУ рта — й (3.563) Такая запись дает возможность понять смысл члена д'Т!дуа, являющегося градиентом потока тепла в точке (й 2).
Используя терминологию, принятую в методе контрольного объема (разд, 3.1.2), можно сказать, что ина представляет собой поток тепла, вытекающий из узла 1 (на стенке) и втекающий в узел 2. Таким образом, для того чтобы стенка была численно адиабатической, ды должно быть равно нулю, что приводит к условию Ть, = Тьв Значит, если не выполнено условие Т, = Т„,~ь то в вычислительном алгоритме возникает передача энергии между стенкой и жидкостью. Экстраполяции высокого порядка для условия дТ(ду~ = 0 будут численно соответствовать адиабатической стенке только тогда, когда они согласованы с разиостным аналогом высокого порядка, принятым для д'Т(дуа в точке (й рр + 1).
При интерпретации формального порядка величины ошибок аппроксимации этих выражений имеет место широко распространенное заблуждение. Из уравнения (3.559), казалось бы, следует, что число Нуссельта находится только с первым порядком точности. Но это заблуждение. Если, как указано выше, во З.Б, Раенет телаератпры и каннентракии 990 внутренних точках используются соответствующие конечно-разностные представления, то уравнение (3.559) будет давать алгебраически правильную интенсивность теплопередачп в безразмерных переменных, которая фактически получается в результате решения при заданной температуре стенки. Однако если на стенке ставится условие адпабатичностп (3.560), то стенка будет численно адиабатической, т.
е. будет отсутствовать передача энергии от стенки к жидкости. В этом случае число Нуссельта определяется точно и является задаваемым параметром задачи, подобно числу Рейнольдса. Тогда вопрос о формальной оцшбке аппроксимации будет состоять не в том, насколько точно определяется число Нуссельта, а в том, насколько точно рассчитана температура на стенке при заданном числе Нуссельта. Записывая равенство (3.559) в виде Т „, = Т + Хц Лп + О (Лп'), (3. 564) убеждаемся, что температура на стенке определяется со вторым порядком точности. Для нахождения поля температур с граничными условиями Неймана можно бы.чо бы брать и сетку второго типа, изображенпую на рис.
3.24. Задание числа Нуссельта на стенке дает возможность определить температуру Т;„, в узле, находящемся внутри стенки, нри помощи формулы Ты, — — Тра — Иц Лп. (3.565) Тогда численно условие адиабатичности удовлетворяется постановкой условия Т„ , = Тна Но если рассматривается случай, когда на стенке задается температура Т, то линейная интерполяция дает Ты, = 2Т вЂ” Тта', (3.566) полученный при этом результат будет иметь первый порядок точности, н здесь возможно появление ошибки, связанной с нарушением ограниченности решения (см, обсуждение граничного условия на стенке для вихря в разд.
3.3.2). Распределение темнературы на входной границе В 4 потока (рис. 3.22) должно быть задано. Форма этого распределения, конечно, произвольна, но особенно простым и разумным является распределение, соответствующее автомодельному решению в пограничном слое на входной границе (Шлихтинг [19681).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
