Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(3) Если для сходимости ья проводится количественная про. верка, то должна быть учтена возможность неустойчивости, связанной с расчленением решения во времени; такую неустойчивость нельзя обнаружить при проверке сходимости по любому 268 3.4 Критерии сходилсосги и наналвнвсе услоеиа критерию, основанному на величине вида 1(,"ва — ьо~, где р— некоторое четное число.
(4) Скорость сходимости различна как для разных функций, описывающих течение, так и для одной п той же функции в разных точках области течения. Если известна функция с наименьшей скоростью сходимостп итераций, то проверку можно проводить только по этой функции; в противном случае следует проверять все переменные.
(Обычно скорость сходимостп для вихря Ч меньше, чем для составляющих вектора скорости, для которых в свою очередь скорость сходимостн меньше, чем для функции тока ар, из-за операции дифференцирования.) Рискованно также проводить проверку по какой-либо переменной только в одной точке: параметры течения в разных областях задачи могут сходиться с существенно различпымп скоростями.
Например, при использовании стационарных методов с «комби1гированными итерациями> (см. равд. 3.1.22) было обнаружено (Текстор (1968), Текстор с соавторами (1969) ), что скорость сходимости для функции ф"4' меньше, чем для вихря ~а+г1 противоположное явление наблюдается при использовании нестационарных методов. В задаче об отошедшей ударной волне давление в точке торможения сходится гораздо медленнее плотности в той же точке, а это означает, что в качестве переменной для проверки сходимости пе следует брать плотность. (5) Величина в должна зависеть от величины шага сетки; если шаг сетки уменьшается, то соответственно должно уменьшаться е.
(6) В формулировке любого утверждения, относящегося к критерию достижения стационарного значения ь (как долго решение должно устанавливаться илн какой критерия по а должен выполняться), лучше использовать соответствующее физическое время г, а не помер итерации п. Например, критерий (3.501) может выполняться на любой стадии расчета п при любом е просто за счет выбора достаточно малого М. Более осмыслсн критерий гпах ~ с.сг+гг — ~' ~ < е, (3.504а) где Г = 7((уо/ь), для задач с преобладающей копвекцией (Ке» 1) или критерий гпах) "вг — ~,",( < е, где г' = 7(ч!ьа) = Г/Ве, для задач с преобладаюгпей диффузией (Ке « 1); см.
равд. 2.4. Точно так же сообщение, что решение получено при и = 1000, несет мсныне информации, чем указание для этого решения максимальных значений г или г', которые, конечно, зависят от принятой в методе величины И. 84. Кригерни сходнмосги и нональньае «словил 269 Сон и Ханратти [1969[ оценивали стационарное значение коэффициента сопротивления для сферы, графически представляя зависимость Со от 1!4ьааа и экстраполируя иа 1/4ьаа» = О. Никаких подробностей, касающихся экстраполяции онн не приводили, но в действительности проведение такой экстраполяции по лекалу или на глазок», вероятно, так же справедливо, как и любая другая процедура, хотя ни одна из этих процедур неповторима.
(7) Наконец, сходимость численного метода в целом, включая расчет граничных точек, особенно рекомендуется проверять на крайне грубой сетке, но с такой точностью решения, которую допускает длина машинного слова. Использование грубой сетки с несколькими стандартными внутренними точками обычно позволяет получить решение с «машинной» точностью за приемлемое время. Затем тест может быть повторен с существенно отличными начальными условиями и желательно с «противополо>кным» первому случаю направлением счета в итерационном процессе. Если два таких решения согласуются, то можно утверждать (хотя и не строго, но по крайней мере с чистой совестью), что данный метод сходится.
Имеются и некоторые другие способы проверки сходимости, которые целесообразно рассматривать для каждой задачи. Том [1933[, а также Том и Апельт [1961[ предложили критерий сходимостн, основанный на величине «невязки» (см. равд. 3.2.3 и 3.2,4). Вообще говоря, даже для линейных уравнений такой тип проверки может оказаться ненадежным; см. Форсайт [1970]. Браун [1967) отметил, что в задаче тепловой копвекции температуры и скорости переноса тепла (которые представляют наибольший интерес) сходились задолго до того, как сходились скорости течения; убедившись в сходимости по скоростям, в дальнейшем он мог прекращать итерационный процесс раньше, как только устанавливалось поле температур.
Брили [19?О[ проверял сходимость итераций для (а[сне')»+ при решении уравнения Пуассона, определяя значение вихря на стенке ь„ на каждой итерации ф и проверяя выполнение условия Л'~ ( аь Этот чувствительный и рациональный тест для ар обладает также и тем преимуществом, что алгоритмически вычисления имеют такой же вид, как в тесте для расчета неявного граничного условия на стенке Лаь ( ег. Для того чтооы этот второй тест имел смысл, очевидно, должно выполняться условие е1 ( ег, 'Брили [1970) положил е1 = 'бег.
Роуч и Мюллер [1970) наряду с другими авторами обнаружили, что существенный выигрыш машинного времени может быть достигнут за счет применения гр бой величины критерия, скажем е = 10-4, при решении уравнения Пуассона на 270 34 Критерии еходияоети и начальные уставил существенно нестационарном этапе и последующего его уменьшения до 10 — ' при подходе к стационарному решению.
Другой общепринятый прием заключается в том, чтобы итерационный процесс для уравнения Пуассона заканчивать либо тогда, когда шах (три' ь.' — хрх, 1( ( е, либо при А ) А ... полагая, .1 возможно, й,,х = 50, Торранс [1968) применил этот прием и отметил, что при приближении к стационарному решению критерий итерационной сходимости для уравнения Пуассона легко удовлетворялся при й ( й .. Далее он вновь решал уравнение Пуассона только на (и+ р)-м слое по времени, где ! + (йыхх + Ьсх) /4, ПРИЧЕМ )Ехх х1ИСЛО ИтсрацИй нх, трсбО вавшнхся для сходнмости решения уравнения Пуассона при предыдущем его итерировании на слое и !).
Следовательно, поле скорости при решении уравнения переноса вихря остается «замороженным» в течение р шагов по времени, что приводит к существенной экономии машинного времени. Многие из сделанных выше замечаний о итерационной сходпмости приложимы также и к понятию аппроксижаг)ионной гкодимости. После того как на разностной сетке с величиной шага Л! получено решение конечно-разностного уравнения, можно рассчитать другое решение на сетке с Лз = Л1/2, где Л, может быть любой из величин Лх, Лу и Л! (если эти величины равны, то пм равна и Л!). Затем сходимость проверяется по равенству (3.505) Г (Лз) = ~ (Л!) + е и т. п. Конечно, о сходимости можно судить по графику, изображающему решение в зависимости от Л или от !/Л. Далее вычисляется разность между ~(Лз) и Т(Л1), и она служит той величиной, по которой можно судить о сходимости, но это суждение остается субъективным.
Выбор величин в обычно определяется имеющимся машинным временем и объемом памяти машины. Как правило, при решении дифференциальных уравнений в частных производных нерационально уменьшать величину шага сетки даже до величины Лз = Л!/4; в действительности обычно рассчитывается только одно решение; оно и публикуется — хорошее ли оно или плохое.
Было бы прекрасно, если бы мы могли с уверенностью хотя бы качественно представить поведение параметров течения исходя из решения, полученного ') Предположим, например, что й,„= 80, н допустим, что нтераднонный процесс прн решении уравнения Пуассона на слое по времени и = 1000 сходился прн й,„= 18 итераций. Тогда р = 1+ (80+!8)!4 = 18, поэтому уравненне Пуассона для хр можно не решать заново вплоть до слоя и = 1018. 84 Критерии стодииости и накальные условия 271 на грубой сетке; иной раз это возможно, но такая практика опасна. Например, Бургграф [1968[, решая задачу о течении жидкости внутри замкнутой прямоугольной области с подвижной стенкой, обнаружил противоположные тенденции в движении центра вихря в зависимости от числа гсе для решений, полученных на грубой и мелкон сетках.
Стоит отметить, что скорость сходимости решения в случае схем второго порядка точности с ошибкой аппроксимации О (Л') подчиняется квадратичному закону, а в случае схем первого порядка точности с О (Л) — линейному закону, поэтому о реальной сходимости легче судить в случае схем второго порядка точности. Здесь стоит вспомнить о известном способе, называемом экстраполяционным методом Ричардсона ') (Ричардсон [19101; Шортлн и Уэллер [1938[; Сальвадори и Барон [!961)) и служащем для оценки окончательной аппроксимационной сходнмостн разностного решения в схемах второго порядка точности.
Пусть ~ — истинное решение дифференциального уравнения в частных производных с вычислительными граничными условиями, т. е, ~= !ип ~(Л). Тогда ошибка, допущенная в решении л-»е ~(Л~) в некоторой точке (хмуь11), может быть записана в виде ряда Тейлора Е1 = ~ — ~ (Л~) = аЛг + ЬЛ[+ (3.506) Если Лг = (1/р)Ль где р — некоторое целое число, то можно получить разностное решение Р(Лг) в той же точке хь уь 7~ н записать ошибку в виде Ег = » — «(Л ) = иЛг+ 5Лг+ (3,507) Исключая из этих двух разложений а, получаем аппроксима- цию более высокого порядка; » (Лг) ! (гг /д )г + О [Л!Лг, Лгг (3.508а) и при Лг = Л1/2 имеем 1=~/,1(Л,) — ~/,1(Л,)+ О(Л«), (3. 508 б) Неудобство, связанное с этим методом, заключается в том, что практически нет ни путей для нахождения коэффициентов прн Л» и при членах более высокого порядка, ни способов ') Этот прием известен под названием «экстраполяция к пределу», «продолжепима позкод к пределу» и «итерационная экстрапояяиия».
д4. Критерии сходалости и начальные условия установить, является лн сходимость монотонной по Л'). Если сходимость не монотонна, то экстраполяпия Ричардсона может привести к оценке й, худшей чем ь(Л!). Экстраполяционные методы могут привести также к увеличению как ошибок округления (Берджес [1971]), так н ошибок в итерационном процессе. Для того чтобы оценить аппроксимациопную сходнмость решения по шагу сетки, не меняя этого шага, можно провести пересчет задачи по схеме другого порядка точности, Том и Апельт [1961] предложили при Лх = Лу пересчитывать оператор Лапласа (ьвф в уравнении Пуассона и ьгз(/гхе в уравнении переноса вихря) при помощи оператора, построенного на пятиточечном двагональном шаблоне (см.
равд. 3.2.10), который имеет порядок точности О ( Хгг2Л), или при помощи других шаблонов для лапласиана. Пересчет с помогцью схем первого, второго и четвертого порядка точности, рассмотренных в равд. 3.1, предполагает то же самое. Заметим, что соответствующим образом должен быть изменен п порядок точности граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
