Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Эти способы перечислены в подписи к рнс. З.ЗО. Первые четыре способа были опробованы как со схемой <чехарда», так и со схемой с разностями против потока, последние же три способа были опробованы только со схемой с разностями против потока. В качестве тестовой задачи была выбрана задача об обтекании обратного уступа при Ке = 1О, когда на входной границе задавался профиль Польгаузена,. соответствующий течению в пограничном слое с параметрами б//г = 1 и Л = О, а на твердой стенке задавалось условие прилипання.
(При ббльшнх Ке результаты мало зависели от выбранного способа расчета.) Способ 1 уже был описан. Здесь рассматриваются разрывные значения ~„полученные из граничного условия (ЗАЗ5) на твердой стенке. Такую постановку граничных 'условий предло- 260 ЯЗ.
Граничные условия жил Ричардсон [1910[, а для расчета вихря ее реализовали Том и Апельт [1961), Роуч и Мюллер [!970[, Кейкер и Уайтло [!970). Способ 2 был разработан Кавагути [1965[ в предположении, что функция тока»р симметрична относительно точки С. Здесь в двух точках на стенке определяются фиктивные значения функции тока»[»', а именно»р'„» /,=ф»..,., и»ры и вихрь в точке С находится из уравнения Пуассона (3.365) с учетом этих фиктивных значений тр". Фактически (»с„/с+1) Р ° ° ° °,и ° 'зч ° (»'с+1 „/с) ~7ТЯБ ь у~ а Рис. З.ЗО. Семь различных способов определения значения вихря в угловой точке.
1) разрывные значения: ьа — — 2»Р»с,/с+,/(ЛУ)', ЬЬ вЂ”вЂ” 2»Р»с».», /,/(йх)'1 2) симметрия»р относительно угловой точки С: ьс = 2»р»с, /с+»/(Ьу)'+ 2»р»се»,/с/(ох)~' 3) среднее от значений на стенке: йс»р»с,/с+»/(Лу)'+»р»с+»,/с/(Ьх')1 4) стенка, наклоненная под углол» 46'» ь 2»рр/(Лр)'1 6) отрыв потока в точке С: йс О; 6) отрыв потока в точке ГП 4ь= в все=2»р»с,/се»/(су) ' 7) значение на с~вике перед точкой С: ьс = 2»р»с /с~-»/(ду)5 в данном способе величина »„ в угловой точке определяется так, как будто эта точка является внутренней точкой, причем здесь згз»р = ьс вычисляется с учетом условий прилипания и = = и = О. В том случае, когда Ах = Лу = Л, данный способ эквивалентен другому способу, предложенному Ричардсоном [1910) для закругленного угла, в котором трс и Лр находятся с помощью интерполяции в точке Р на прямой, проходящей через точки (/с,/с+ 1) и (»с+1,/с).
Способы 3 и 4 также испытывались для скругленного каким- либо образом угла. В способе 3 рассматривается одно значение для вихря в угловой точке, равное среднему арифметическому значений вихря на стенках, т. е. в точках А и В, Это дает величину Гс, равную половине значения ~„ полученного в способе 2. То же самое значение может быть получено из уравнения Пуассона (3.365), записанного для угловой точки, при условии, что тр = 0 в точках (»с — 1,/с) и (»с,/с — 1).
Такая интерпретация предлагалась рядом авторов (см., например, Гри»»спэн [1969а]), причем считалось, что условие для величины ~, имеет второй порядок точности. Такая интерпретация неправомочна; поскольку конечно-разностпая форма лапласиана, на которой основано уравнение (3.365), несправедлива в угловой точке, нет оснований предполагать, что в точке С вторая производная З.Ви2.
угловые точки даф/дх' непрерывна по х илн дтф/дуа непрерывна по у, поэтому вывод уравнения (3.365), проведенный с помощью разложения в ряды Тейлора, неприемлем для угловой точки С. Отметим, что пятиточечная схема для лапласиана )/ятр справедлива в точке С только при условии непрерывности производных даф/дха и датр/дуа при переходе через точку С, или, что эквивалентно, при условии непрерывности дп/дх и ди/ду. Но односторонний предел при стремлении к С вдоль границы В 2, когда х : х„ в силу условия прилнпания на стенке В 2 приводит к равенству ди/дх = 0; аналогично ди/ду = 0 вдоль В 5 '). Поскольку ", = ди/ду — ди/дх, ясно, что из непрерывности производных датр'дха и д'тр/дуа в точке С следует, что !., = О.
Отсюда можно прийти к заключению, что если и можно вычислить т)атр в точке С, то этого делать не надо, а можно сразу однозначно записать с, = О. В способе 4 условно считается, что стенка в узле (тс,/с) имеет наклон 45' и формула (3.435) применяется в точке Р (рис. 3.30, б), где значение трл находится с помощью интерполяции по значениям тр',)сч.! и ф„е!,;с.„, '). При р =Лх/Лу= 1 эта формула сводится к условию ьс = 2тргсч.!, тс к!/Лра, или ьс —— = трчс.„!, )г.„!/ЛЯ, где Л = Лх = Лу.
Способы 5 и 6 основаны на введении искусственного отрыва потока в угловой точке, где его можно ожидать. Легко видеть, что для непрерывного потока вихрь равен пулю в точке отрыва (или в точке вторичного присоединения потока). В способе 5 рассматривается одно значение ь„ которое равно нулю, в способе 6 рассматриваются два значения вихря в угловой точке, причем в точке В принимается ~ь = О. В общем случае такой отрыв лучше не вызывать искусственно, а давать возможность ему проявляться в результате решения, поэтому ни один из этих двух способов не считается правильным.
(Как ни странно, этн способы не эффективны даже при искусственно вызванном отрыве, см. Роуч и Мюллер [1970].) Способ 7 предложили Хын и Макано [1966). Идея заключается в следующем; поскольку разделяющая линия тока (предполагается, что она отрывается от угловой точки) почти параллельна степке, расположенной выше по потоку.
от угловой точки, то следует брать одно значение вихря с,„ равное велитпп!е с,. Хын и Макапо применяли для вихря на стенке условие второго порядка точности (3.439) в отличие от рассматриваеь!ого нами условия первого порядка (3.435), Способ 7 приводит по существу к таким же результатам, как и способы 2 и 4. ') Простой апалпя профиля скорости и окрестности точки С прн ди/ду=о покатынает, по ато условие абсурдно. ') Прн р ) 1; селя р ( 1, то фе нахощпся прн попон!я пнтерполянпп по точкап ис + ! !с + П и ис + 1.
ч') дд Граниеные уелоеил 262 Если применяются сетки второго типа (равд. 3.3.3) и пяти- точечная схема для лапласиана ЧаЬ в уравнении переноса вихря, то точка С, расположенная в вершине выпуклого угла, не требует специального рассмотрения. Если же для Чаь берется девятиточечная схема, то для Гс,ус 1 зс»11се1 определения Г» на сетке второго ° и ° типа могли бы использоваться л! способы, аналогичные способам !г л 2, 3 и 4. — ° — е--~- ° ° О'Лири и Мюллер [1969) й,12 ~ также применили постановку разрывных значений вихря Ь, в ° ° угловой точке, подобной точке С а иа рис. 3.22, а также в угловой точке, расположенной в вершине тупого угла в 135' на квадратной сетке, как показано на рис.
3.31, а. В последнем случае значение вихря в точке А (3.499) 2~2 можно брать для составления разности во внутренней точке ((с, )с + 1), а значение вихря в точке В 2»Р~»+ь м»л Ф~» ьь 1»ь~ ьь= але = ле ° ° (3.500) ° ° — для составления разности во внутренней точке ((с + 1, 1с). рие З.ЗП Вихрь на выпуклом угле Такие постановки разрывных в 135' и на задней кромке панской значений ~ в угловой точке рекомендуются в задачах о течении около передней пли задней кромок бесконечно тонкой плоской пластинки; здесь, как показано на рис. 3.31, б, рассматриваются три значения вихря ь», ь» и ь». (Если не предполагается симметрия течения, то, очевидно, на разных сторонах пластинки необходимо задавать различные значения ь.) В связи с втой задачей отметим, что Иосидзава [1970] (а также другие авторы; см. равд.
6.4) численно решал задачу о течении в окрестности передней кромки плоской пластины, используя уравнения Нннье — Стокса в параболиче дЗ.Г2. углосьм тоти ских координатах (Ч,т1), оптимальных для расчета быстрорастущего пограничного слоя. Далее он перешел к новой зависимой переменной О = — Ь Я' + П'), что устранило сннгулярность на передней кромке. Несмотря на то что сравнительное качество каждого из рассмотренных выше семи способов дискутабельно, очевидно, что подходы, основанные иа определении ь, при помощи произвольной экстраполяцпи по значениям во внутренних точках, некорректны п могут привести к неустойчивости, З.ЗЛЯ. б. Сходимость и точность в вершине выпуклого угла Специальные вопросы, связанные с численным решением уравнений эллиптического типа в окрестности выпуклого угла, обсуждали Вудс [1953], Вазов [1957], Лаасонен [1958а, 1958б] и другие авторы.
Для того чтобы продемонстрировать сходимость решения разностного уравнения в случае конечного числа разрывов функции ь, Лаасонен [1958б] рассматривал решение уравнения Пуассона, записанное в интегральной форме при помощи функции Грина (см. Вейнбергер [1985]). Доказанная им теорема требовала, чтобы решение дифференциального уравнения для ь было кусочно непрерывно и чтобы разрывы находились между узловыми точками сетки. Второе из этих условий не удовлетворяется в наших разрывных постановках для ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
