Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Фромм также опробовал линейную экстраполяцию для постановки нь на выходной границе и обнаружил, что такое условие обладает дестабилизирующим свойством в случае явных схем для уравнения переноса вихря. Автор настоящей монографии, применяя явные схемы, получил аналогичный результат. В дальнейшем, применяя метод последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона, Кемпбелл и Мюллер [1968] и Роуч и Мюллер [1970] с успехом ставили условия Томана и Шевчика (3.478) в целом ряде задач. В работах Хына и Макано (Хын и Макано [1966], Макано и Хын [1967]) задавались следующие условия на выходной границе: 3 3 Граничные условия 240 условие вполне удовлетворительно, хотя условия (3.479), конечно, лучше. Джакуинта и Хын [1968] брали условия (3.479) при исследовании течения неньютоновской жидкости (жидкости Рейнера — Ривлина).
Гринспэн [!969а] на выходной границе потока ставил следующие условия, предложенные Р. Мейером: дф/дх = О, д,'/дх — и (те Я + ди/ду) = О. (3.480а) (3.4806) ') Уравнение движения (2.2) в направлении у в безразмерных переменных имеет вид до до дв дР 1 /д'о д'о т — + и — + о — = — — + — !ч — + —,). д/ дх ду ду ке (, дхз ду' ) В случае стапнонарного течения при о(х, у) = О для всех х, у и при дР/ду=о это уравнение упрощается: до дзо Йе и — = — ~-.
дх дх Из определения ь = до/дх — ди/ду получаем до/дх = й+ ди/ду, д'о/дх' = = дйдх + д(ди/дх)/ду, В силу уравнения неразрывности ди/дх =- †/ду, поэтому д(ди/дх)/ду = — д'и/ду' = О, Таким образом, йе и(С + ди/ду) = = дг/дх. Конечно-разностная форма этого условия такова: Г =2и,йе(~ + — ~ )Лх+й Первое условие означает, что о = 0; с учетом этого равенства и при предположении стационарности течения второе условие означает, что дР/ду = О, т.
е, отвечает обычному условию, принятому в приближении пограничного слоя '). Экстраполяционное условие (3.478б) для зр, может оказаться ошибочным. Такая экстраполяция должна проводиться на каждой итерации при решении уравнения Пуассона, Роуч [1970] исследовал достаточность этого условия для нахождения решения. Пусть условия на входной границе при / = 1 фиксированы. Для одномерной задачи, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением с/зф/с/ха = ь, экстраполяциояное условие с/еф/с/хз = 0 на выходной границе либо противоречит указанному дифференциальному уравнению, если Ь Ф 0 на выходной границе, либо просто совпадает с этим дифференциальным уравнением, если Ь = О. Значит, в одномерном случае такое граничное условие ставить вообще нельзя.
В двумерном случае условие даф/дхз = 0 сводит на границе уравнение Пуассона к обыкновенному дифференциальному уравнению д'ф/ду' = 1. (3 А81) З 3 7 условие на выходной еранице потока Если условия иа границах В 1 и В 3 (рис. 3.22) таковы, что дают досгаточные граничные условия для уравнения (3.481) вдоль В 6, то экстраполяционная процедура может быть достаточной. В частности, если ф = 0 вдоль В 1 и ф или дф/ду фиксировано вдоль В 3 (как было рассмотрено ранее), то экстраполяции вдоль границы В 6 будет достаточно, ио если условие на ВЗ также получаегся с помощью экстраполяции, то экстраполяции вдоль Вб недостаточно.
Постановка же условия даф/ду' = 0 па В 3 либо противоречит (3.481), если ~(В 3) Ф О, либо просто совпадает с (3.481), если ь(В 3) = О. Таким образом, достаточность условия дтф/ду' = 0 на границе, расположенной вниз по потоку, зависит от условий, заданных на смежных границах, причем существенную роль играет размерность задачи. Отметим, что решение задачи методом последовательной верхней релаксации с экстраполяционными условиями как на В 3, так и на В 6 могло бы «сходиться» в пределах некоторой заданной точности; значит, дискретизация могла бы, вероятно, привести к единственному решению, т.
е. к решению, не зависящему от начального приближения. Но полученное таким образом единственное решение зависит от Лх и Лд, и при Лх-э 0 и Лд — 0 задача становится неопределенной. Проведенные выпье рассуждения подсказывают эффективный способ удовлетворения условия батг/бха = 0 на границе, расположенной вниз по потоку (Роуч [!970), Брили (!970)). Вместо того чтобы применять это условие при 1 =! — 1 с помощью линейной экстраполяции, его можно поставить непосредственно при /= /, сводя условие (3.48!) к разиостному аналогу обыкновенного дифференциального уравнения б'ф/бут = ~, (3.482) для которого имеет мес~о краевая задача с условием ф(/, 1) = = 0 в точке на В! и с условием Дирихле нли с условием Неймана в точке на В 3. Величина «(/, /) на Вб может быть найдена при помощи любого из уже рассмотренных способов.
Это одномерное разностиое уравнение можно быстро решить методом прогонки (см. приложение Л), не прибегая к итерационным методам. Если на границе, расположенной вниз по потоку, величина ф определена таким образом, то можно с уверенностью проводить решение разностного аналога уравнения Пуассона с условиями Дирихле на В 6. Скорость сходимости при этом также увеличивается (неопубликоваиная работа автора). Такой способ реализации условия даф/дх' = О, сводящий на границе уравнение Пуассона к обыкновенному диффереппнальному уравнению, необходим, когда для решения уравнения Пуассона л42 8.8.
Грпничные условия применяются неявные схемы метода чередующихся направлений, поскольку расщепление в этих схемах эффективно сводит итерационное решение на полушаге по времени к решению обыкновенного дифференциального уравнения в направлении х методом прогонки, а для такого уравнения условие д'ф/дк' = 0 не является достаточным.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.482) можно решать более простым одномерным методом, описанным в разд. 3.2.8, вместо более общего метода прогонки (приложение А). Как уже было указано выше, Фромм [1967] и автор настоящей монографии, используя явные схемы для уравнения переноса вихря, опробовали экстраполяцню как для функции так и для к и обнаружили, что такие условия обладают дестабилизирующим свойством. Применяя неявные схемы метода чередующихся направлений, Брили [1970] и Феннинг и Моллер [1971] получили устойчивое решение. Вводя только прп расчете К дополнительную «фпктивную» узловую точку при = /+ 1, после каждого вычисления дь/д/ вплоть до точки 1= / на каждом слое по времени Брили полагал (3. 483) Чтобы удовлетворить условию деф/дх' = 0 в точке 1 = /, решалось обыкновенное дифференциальное уравнение с(пф/с/у' = ~.
Даже при сравнительно мягких условиях (3.478), предложенных Томаном и Шевчиком [!966], можно получить нереально резкое изменение функции ", в окрестности границы В 6 для течений при малых Ке =- 0(!0). Для течений при таких малых Ке па выходной границе Роуч и Мюллер [1970] брали «самые мягкие» граничные условия для ~, которые получаются из уравнения переноса вихря.
Предполагая, что иь; ) 0 (т. е. что В 6 действительно является выходной границей потока), конвектпвный член для и можно аппроксимировать с помощью разностей против потока прн 1 = /, не прибегая к дальнейшим аппроксимациям. Конвсктивный член для о также можно аппроксимировать при помощи разностей против потока (в зависимости от знака оп с) и,чи при помощи какой-либо другой схемы, используемой во внутренних точках; аналогично, для диффузионного члена в направлении у при 1 = / не требуется аппроксимации.
Член, описывающий диффузию в направлении х, мог бы быть вычислен при 1 / — 1. Но само по себе такое вычисление является статически неустойчивым (см. равд. 3.1.4) для члена (д'ь/дх')/Ке, особенно в течениях при малых Ке. В этом легко убедиться, если вернуться к рпс. 3.6; корректирующее смещение, обусловленное членом д'Цдх' для точки 1 = ! — 1, йуйу.
условия на аыходяой границе потока в действительности накладывается в точке г = /, вызывая тем самым монотонный рост ошибки нлп статическую неустойчивость '). Исследование устойчивости при помощи метода дискретных возмущений показывает также, как разрешить эту проблему. устойчивость члена дзс/дхз достигается дополнительным сдвигом этого члена на один слой по времени. В результате получается ~о+1 п + й 1 (пь)г,! (пь)г-ь7 й(оь) (3. 484) Наличие дополнительного временнбго слоя п — 1 в уравнении (3.484) отнюдь не означает, что необходимо хранить в памяти полную матрицу для г",-'. Поскольку это уравнение используется лишь на границе, необходимо помнить только вектор 1'(/) = бзй/бхз 1",, Здесь производная вычисляется в конце каждого расчета нового значения вихря перед получением окончательных значений, а затем осуществляется переход к новому временнбму слою.
Рассчитывая все внутренние точки по схеме с разностями против потока, этот способ с успехом применяли О'Лири и Мюллер [1969), а также Роуч и Мюллер (1970], Независимо от схемы, принятой для расчета внутренних точек, на выходной границе потока рекомендуется использовать разности против потока, хотя бы для представления конвектнвного члена для и. В пределе при Ке — оо это означает, что граничное условие для с на выходной границе ие является необходимым; это аналогично случаю одномерного дифференциального уравнения д~/д( = — д(и~)/дх, где для полной определенности задачи необходимо только условие на входной границе.
Если, например, для конвективных членов выбрана схема «чехарда» (равд. 3.1.6), а для членов, описывающих диффузию, схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, как в уравнении (3.166), то ') Слсдуя методу днскретных возмущеянй (равд. 33.5 а) н препебрегая конвектнвнымн членамн н членамн, описывающими диффузию в направленнн осп у, получаем й~ ьу~ =ьго 7+(ы/ке)(ь" з г+ й" 7 — зй", у)/аяя. Предположив, что решение стапнонарно, в в Ьс г введено возмущение й, получим (ь)' 7 — ьг 7)/й=й(/(Кеах ), прячем член, стояпшй в пра. вой части, положителен. Следовательно, йь имеет тот же знак, что н й, т.е, вязкий член праводнт к статической неустончнвостн.
244 8.8. Граничные условия при (= с' можно применять следуюШее уравнение: '+ 2Л! ~ бя4л ! ! беел — 1 + — —,, ~ + — ', ~ 1. (3.485) Ле буе !Л! Ле бх' ~П Ь1д' Эти способы были опробованы автором настоящей моногра. фии, и при их помощи удалось добиться плавного измспеппя ~ у выходной границы до тех пор, пока не появлялся срыв вихрей. Когда появляется срыв вихрей, составлявшая скорости и может стать отрицательной при с' = I, поэтому приведенные выше разпостные формулы станут формулами с разностями по потоку, что приводит к неустойчивости.
В этом случае для устойчивости следует ставить условие (3.478) Томана и Шдечика (!966]. Поскольку срыв вихрей происходит только при больших Ке, схемы с разностями против потока в этом случае дадут несущественное улучшение. Устойчивость схемы в целом теперь может определяться ограничением по числу Куранта, соответствуюшему применению разностей против потока, на границе В 6. Отметим, например, что в комбинации со схемой «чехарда», как это имеет место в уравнении (3.486), величина эффективного шага по времени для конвективпого члена и будет 2ЛЛ Критерий устойчивости в одномерном случае будет С, = и ЛИх ( Ъ Однако, как показали Бао и Догерти [!969), разности против потока на границе В 6 можно применять в комбинации с неявной схемой метода чередующихся направлений без каких-либо ограничений па устойчивость.
Другие комбинации должны быть проверены индивидуально. Достаточность рассмотренного условия на выходной границе не была строго доказана даже для линейных дифференциальных уравнений в частных производных, однако некоторые выводы можно сделать из рассмотрения одномерной модельной стационарной задачи — и д + а д, = О. дй деь (3. 486) Применение разностей против потока для конвективного члена не накладывает каких-либо условий ца выходной границе, а из рассмотрения члена, соответствующего диффузии в направлении оси х, в уравнении (3.484) следует, что при Лх- О 6 ~(с), в=О. (3.
487) При и ) О и а ) О этого граничного условия вместе с фиксированным значением величины с на выходной границе достаточно для нахождения решения (см. задачу 3.29). Если же дд7 Уаяааия на выходной ераяиие патака 24й а = 0 (т. е. Ке = аа), то это условие на выходной границе, поставленное для решения исходного дифференциального уравнения, делает задачу переопределенной и создает особенность в решении при сс- 0 (см. равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
