Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 58
Текст из файла (страница 58)
3.3,8). Однако в разностпой схеме это условие используется только для диффузионного члена, и поэтому особенности в решении при сх-ьО здесь не появляются. При аналитическом рассмотрении соответствующего аналога не существует даже для линейного модельного обыкновенного дифференциального уравнения. В другом предельном случае, когда и = 0 (Ке = 0), уравнение (3.487) вообще не является граничным условием (см.
задачу 3.29). Оказывается, что применимость на выходной границе условия (3.484), соответствующего течениям при малых Ке, ограничена требованием Ке 0 и, возможно, некоторым мини,ипльным сеточным числом Рейнольдса. Идея применения разностей против потока на границе В 6 была также использована Фроимом [1967], а вычисление диффузионных членов в направлении х в точке! — 1 без сдвига по времени, как в описанном выше подходе, проводили Итон и Цумвальт [1967] при решении нестационарной задачи о сверхзвуковом течении. Заметим, что часто применяемая искусственная экстраполяция величины ий в фиктивную точку 7+ 1 за сеткой и последующая аппроксимация д(и~)/дх ~ ь г = [(иь) и-~,;— — (и~)у ьг]((2Лх) при помо~ни центральных разностей только затуманивает суть дела.
Алгебраически это эквивалентно применению односторонних разностей д(иг)/дх[и; = [(ис) и,— — (ис)~ ь;](йсх. Очевидно, такая аппроксимация не дает второго порядка точности, как считают некоторые авторы, и будет неустойчивой, когда сорвавшиеся вихри достигнут границы В 6. Было выполнено несколько систематических численных экспериментов по исследованию правильности граничных условий, поставленных в расчете на выходной границе для многомерных задач.
Брили [1970] рассчитал два варианта, во втором из которых граница В 6 была отодвинута на пять узлов вниз по потоку. Используя условия (3.481) и (3.483), он обнаружил, что величина вихря на стенке во втором случае менялась менее чем на 0.2аа. Чен [1970] выполнил сравнительные расчеты для течения сжимаемой жидкости и обнаружил, как и следовало ожидать, что мягкие условия обычно дают более точные результаты. Следует также отметить, что даже если прн помощи экстраполяций высокого порядка для ф и ~ и можно добиться получения устойчивого решения, то, как правило, при этом результаты иолучаются менее точными, поскольку они основываются на значениях, вычисленных во внутренних точках, а не на точных значениях (Чен [1968, 1970]).
Весьма желательны дальнейшие исследования многомерных случаев, основанные на 3 3 Гранивные условия 246 сравнительных расчетах, Прн эьом должны быть опробованы не только различные условия па выходной границе, но и всевозможные пх комбинации с различпымп условиями на верхней границе. Для расчета течений невязкой жидкости Шапиро и 0'Брайен [1970) (см. также Чарни (1962) ) применилп эффективный способ, который оказался точо о о о пым, устойчивым и достаточно простым с точки зре(й '1 и и я программирования.
В (гч„Д КЫ данном способе следят за ~.ваг) Г лагранжевой траекторией о о о о частицы, достигающей выходной границы, причем проводится линейная экстраполяция. Если предполаа гается отсутствие диффузии вблизи выходной грангщы, (йЛ то величина вихря фиксиро- Ь вас вана для каждой частицы; согласно рис. 3.25,а, велин ь Ьг чина сг ь на выходной гранипе получается следующим образом: о о о о о о 1»нс. 3.25. Способ Шаььььро и О'Брайена определения вихря на выходной грапвне потока.
(3. 489б) вь, ь б ==- 1 (х, — й М, р — б Л1) '! ' ° ь (3. 488) (см. вывод схемы Лейта, разд. 3.1.13). Средние значения скоростей б и б вы. числяются по значениям в соседних точках (например, при помощи экстраполяции или равенства й = и," ь,), Величина ~*(х*, у*) определяется по соседним точкам, В качестве примера рассмотрим случай, когда й ) 0 и б - 0 (рис.
3.25,б). Имеем (3.489 а) н йМь'в ьь ЬЬ 1-Ь+ ах Ь,нт-Ь,!-Ь »к 1-1) ~* = ~'+ —",„' (à — ~'). (3.489 в) Если й и б также находятся с помощью интерполяции, то вычисления могут оказаться енечистымн»; в таком случае лучше всего вычисления проводить с помощью итераций. З.З 3. Пивиивравимв ивливлякии в рвгивиии 247 Данньш способ применим также и для течений прп больших Кс, но с единственным предположением, чго в двух последних колонках узлов сетки дпффузией пренебрегают.
Шапиро и О'Брайен [!970] сравнили результаты расчетоп двумерной метеорологической задачи при применении этого способа с результатами, полученными в достаточно большой расчетной области прп фиксированных значениях ~ на выходной границе (задача Дприхле). Хотя можно было ожидать, что последний способ даст более гочные результаты, в действительности этого не произошло; на достаточно больших временах прп расчете ", возникали пилообразные осцилляции (см, также Вара- паев (1969]). Такие осцилляцпи в решении представляют собой обычное явление, которос рассматривается в следующем разделе.
3.3.8. Пилообразные осцнлляции в конечно-разностном решении С пилообразными осцплляциямн решения в узловых точках пространственной сетки можно встретиться во многих работах. При расчетах сверхзвукового потока прн помощи схем с симметричными разностями для аппроксимации пространственных производных осцилляцпп обычно возникают за ударной волной (см. равд.
5.3). По пилообразные осцилляцни возникают также и прп расчетах течений несжимаемой жидкости до больших значений времени. Многие авторы объясняюг такое поведение нелинейпостью пли линейной неустойчивостью расчета нестационарного течения. (Осцилляции могут даже предотвращать сходимость итерационного процесса.) Здесь будет показано, что действ~ггсльпый источник этого явления гораздо проще.
11а рпс. 3.26 представлено полученное неитерационным прямым методом прогонки (см. приложение А) точное решение конечно-разностного уравнения, соответствующего сгацпонарному линейномд модельному уравнению с постоянными коэффициентами у конвективного и диффузионного членов 0 = — и д~/дх + ад'с/дх' (3.
490 а) с граничными условиями ь(0)=0, ь(1)=1. (3. 4906) Соответствующее конечно-разностное уравнение с центральными разностями имеет вид 0= — и + ' '+а '"' ' ' '. (3.491а) — 2Г -гй 2Лх Л в Прп выборе шага Ах == '/14 граничные условия в ш|гкретной форме прпппмакп впл ~,=о, (3.4916) 3 3 Грани ~яме условия 248 0,5 0 с 1 с 5 Л 5 5 7 В Э 10 11 0.5 "0.5 Рис. 3.25, Точное решение уравнения 0 = — и (Ойь/Ох) + и (От1/5хт).
Решение с центральными конечными равиостями, ах = '/,и 1, = О, 5о =- 1, и = сопа1. а: а/и=1, Ке 1, нес 0.1; о: и/и=0.01, Ко=100, Вес=!0. Решение, представленное на рис. 3.26, а, получено при а/и = 1, что соответствует Ке = 1, и является гладким. Решение, приведенное на рис. 3.26, б, получено прп а/и = 0.01, что соответствует Ке = 100, образует характерные пилообразяые осцилляции. Подчеркнем, что изображенное на рис.
3.26 решение представляет собой точное етайионарное решение линейного конечно-разностного уравнения (3.491) с погтояннылш коэффициентами. Пилообразные осцилляцип в данном случае вызваны нс неустойчивостью итерационного процесса, нс нелнпейностью и не переменностью коэффициентов; онн просто являются решением конечно-разностного уравнения (3.491).
Легко показать, что в решении конечно-разностного уравнения должны появляться такие пилообразные осцилляцпи. Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение (3.490), решение которого показано на рис. 3.27, а. При и =- 0 (течение 3.8.6. Пилообразные огцилллции а дшиелии 0.5 0.5 е,= 2) О Е 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 0.5 0.5 Рис.
3.27. Аналитические и конечно-разностпые решения стационарного линейного модельного уравнения 0 = — и (дь/дх) + а (дть/бхз), включаюощего конвективный и диффузионный члены; ь(О] =О, ь(1) =1, и =сопз1. Решение с пентральныыи конечными разностями, Лх = '/~е. Сеточное число Рейнольдса Кег = и Лх/а. а — аналитические решения; б — копечно-разностные решения при Кос~(2; в — конечно-разностные решения при Вес>2.
З.а Граии«нме условия прп Ке =- О, пли поизущее течение) решенно этого дифференциального уравнения представляется прямой ", =- х. 1!рп и ) 0 данному решению соответствует профиль, как бы «выдутый» потоком '). При больших и/а (течснис при больших Ке) решение в значительной части исследуемой области близко к горизонтали ~ = ь(0) = О, но затем для того, чтобы удовлетворить второму граничному условию (3.490б), т. е, ~(1) = 1, опо резко возрастает прп х- 1.
При сх 0 (!ее =- ое) решение всюду пмеет вид ~ = !,(0) = 0 и второе граничное условие с(1) = 1 использовать нельзя, поскольку оно переопределяло бы задачу для уравнения, имеющего в этом случае первый порядок. Такое изменение порядка дифференциального уравнения и числа допустимых граничных условий имеет место в классической сингулярной задаче с малым парахеетром а/и. Рассмотрим теперь решение конечно-разностного уравнения (3.491). Как показано на рнс.
3.27,б, при и = 0 копечно-разностное уравнение дает точное решение. Если скорость потока увеличивается, то профиль Ч опять как бы «выдувается» потоком, как и в случае дифференциального уравнения, удовлетворяя всюду условиям (3.491б), поставленным для уравнения (3.491а), т. е.
для уравнения и б~/бх = абеь/бх». (3.492) а! .,— ге ! — о бх !! ! 2Л» 2Лх 2Лх (3.493) Если значение Р! ! = — О, то Ь'~ ! С вЂ” 2б +б 1 (3. 494) бх' !! ! Лх» Лх' ' Таким образом, конечно-разностнос уравнение (3.491) удовлетворяется в точке 1= / — 1, если и бе«/бх'1, 1/Лхе 2 а бб/бх1 ' 1/(2Лх) Лх ' (3. 495) ') Это решение таково: ь ==- (! — е'« "),'(1 — еы").
Как же формируется такое «колено» профиля в предпослед. ней точке при !'= 107 В решении дифференциального уравнения с ростом и/сх величина дс/дх при х = 1 неограниченно увеличивается так, чтобы сбалансировать конвективный и диффузионный члены в уравнении (3.492), но в решении конечно-разностного уравнения величина б'/бх ограничена. Когда «колено» появляется в последней ячейке, мы имеем В З.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
