Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Для выбора имеется целое многообразие вычислительных граничных условий, не эквивалентных общепринятым аналитиче. скпм граничным условиям, так что, вообще говоря, численное решение в целом пе будет сходиться к какому-либо аналитическому решению (еслп, конечно, таковое имеется), Однако термины «вычислительный» н «аналитический» не следует отождествлять со словами «приближепный» и «точный». С точки зрения физической природы явления следует признать, что как численный, так и аналитический подходы являются приближенными. Аналитические граничные условия выбираются прежде всего пз соображений удобства и простоты аналитической постановки задачи.
Ни для одной реальной физической задачи условия на «бесконечности» не соответствуют условиям «невозмущенного потока». Если быть предельно точным при опрсделенпи подъемной силы, действующей на самолет, то следовало бы потребовать, чтобы аналитическое граничное условие на верхней границе учитывало скорость воздуха отпосптель>п> самолета, вызванную вращением Земли; плотность р прп д - аа должна не стремиться к значению в «невозмущенпом потоке» р, а, по-видимому, подчиняться экспопенциальному закону р =- о„е — ео»ь>, где и — — высота самолета над уровнем моря. В качестве условия на нижней границе при д = --Л надо было бы задать условие прплипания на стенке сферической формы (поверхность Земли).
Это, конечно, пе обязател>,но. Из сравнения с физическими данными (и по интуитивным соображениям) известно, что аиа. лптпческне условия в «невозмущенном потоке» приводят к достаточно «точпым» результатам в области, предстапляющсл шпсрес (вблизи самолета), т: е.
совпадают с наблюдаемыми В.З Грпнпчныв »словил физическими данными с некоторой точносыю. Однако такие аналитические граничные условия являются наиболее удобным прпближениелг для интересующей физической задачи. Таким же образом по мере удаления верхней границы (и других границ) от интересующей нас области можно обнару>кить, что расчетные данные в этой области согласуются с физическими даннымп в пределах некоторой точности, Аналитические и численные решения совпадают с некоторой точностью локально в области, представляюпгей интерес, но глобально (в частности, в окрестности верхней границы) опп не обязательно должны согласовываться.
Нет особых причин выбирать аналитические граничные условия в качестве стандарта для сравнения, как это общепри. нято. То обстоятельство, что аналитические граничные условия возникли первыми, объясняется только исторической случайностью, Если бы электронные вычислительные машины вошли в обиход в шестидесятых годах семнадцатого века (а не в шестидесятых годах двадцатого века), то общепринятым могло бы стать требование, чтобы аналитик подгонял свое решение в замкнутой форме к разработанным стандартным вычислительным граничным условиям, а это было бы очень неудобно для аналитика.
3.3.11. Условия <иа бесконечности» Вопреки предыдущим замечаниям было бы прекрасно, если бы вычислительные и аналитические граничные условия были эквивалентны. Этого иногда можно добиться при помощи преобразования координат (см. равд. 6,2). Ричардсон [1910) предложил общую идею — ставить аналитические условия «на бесконечности» на границах расчетной сетки, которые находятся на конечном расстоянии от области, представляющей интерес. Действительно, многие авторы применяли эту идею по крайней мере для одной из «бесконечно удаленных» границ, рассмотренных выше: верхней, входной и выходной. Босуэлл и Верле [1971) па примере задачи об обтекании параболы исследовали влияние граничных условий на бесконечности, поставленных на конечном расстоянии. Маслах и Эпштейн [1970] при помощи теории возмущений получили выражение для коэффициента сопротивления Сп сферы при малых Ке, когда условие для скорости в невозмушен~ом потоке ставилось на сферической поверхности радиуса !/у.
Это выражение таково: С КЕ 5 — зу+ зу' — ув ' (3. 497) збт в'З ! П условия «на бесконечности» Используя эту формулу, они сравнили величины коэффициента сопротивления в случае истинной «бесконечно удаленной» границы (у = О) и в случае, когда расчетная «бесконешо удалснная» граница находилась на расстоянии !00 радиусов сферы (у = 0.01). В результате оказалось, что Со ~т-о.о~/Св ~т-о = 1 018.
(3. 498) Таким образом, даже для границы, расположенной на расстоянии !00 радиусов от сферы, что существенно больше расстояния, обычно рассматриваемого в расчетах, постановка граничных условий для скорости, соответствующих «бесконечности», приводит к ошибке около 2о)о в коэффициенте сопротивления Со нри малых зсе. В случае же у = 0.1, когда по-прежнему накладываются существенные ограничения на размер шага расчетнон сетки, это отношение равно 0.821, т.
е. ошибка составляет 18%в и это даже без учета ошибки аппроксимации в конечно-разностных уравнениях. При исследовании течения около плоской пластинки в эллиптической системе координат Лил !19691 для определения ф и ь па внешней границе брал асимптотическое решение на далеком расстоянии, предложенное Иман.
Это решение дает поправку первого порядка (к решению для потенциального течения), зависящую от коэффициента сопротивления пластинки Со. Коэффициент Со получается интегрированием сил трения по поверхности пластинки (задача 2.2) на каждом итерационном шаге. Значит, вычислительные граничные условия на достаточно удаленной границе, задаваемые здесь посредством аналитического решения, итеративно связаны с определением вихря на стенке. (Это решение применимо только для стационарного состояния и, если его использовать на ранних стадиях итерационного решения, оно может препятствовать сходнмости итерационного процесса.) Как уже было указано в предыдущих разделах, предпочтительнее ставить «мягкие» вычислительные граничные условия, накладывающие меньшие ограничения. Если любое условие, соответствующее «бесконечности», используется отдельно, а не вместе с остальными, то это может дать вполне правильное приближение.
Но отметим опасность, на которую не всегда обращают внимание '). Рассмотрим, например, задачу об обтекании цилиндра вязкой жидкостью. Если ось симметрии отсутствует, то расчеты выполняются в области со следующими четырьмя внешними границами: верхней, нижней, входной и выходной. Предположим, что на всех этих границах ставятся ') Зто замечание было сделано профессором М. Ван-Дайком ао время дискуссии па симпозиуме в августе !968 г. З З Гдлян«иие палл»лл звл условия, соответствующие условиям «на бесконечности», т.
е. и = 0 , о = О, Р = Р . Тогда численное интегрирование уравнения количества движения (см., например, Шлихтинг 11968)) по всей внешней границе дает нулевую величину лобового сопротивления цилиндра! Численные расчеты Лила [1969) показывают, чго во внутренних точках можно получить вполне удовлетворительные результаты, если даже поставленные граничные условия не совместимы с полным интегралом количества движения, отвечающим сопротивлению, но при этом требуемое расстояние оказывается больше, чем в случае, когда берутся «мягкие» вычислительные граничные условия.
3.3.12. Угловые точки Постановка граничных условий в угловой точке ((с, 1), расположенной в вершине вогнутого угла уступа (рис. 3.22), не представляет труда; независимо от того, является лп В 1 линией симметрии илп твердой стенкой с условием прилипаиия, в этой точке ставятся условия ф = О и ~ = О. (Значение в этой точке даже не входит в расчеты, если внутренние точки рассчитываются с помощью обычной пятиточсчной схемы, но это значение нужно при построении графиков и при использованин девятиточечной схемы.) Вычислительные же условия в угловой точке С(/с,/с), расположенной в вершине выпуклого угла уступа (рис. 3.22), требуют специального обсуждения значений в этой граничной точке и точности.
З.З.12. а, Граиичиыв условия в ввршиив выпуклого угла Определение значения функции тока в такой угловой точке не составляет проблемы. Как и на всей остальной части стенки, ф, равна нулю нлн какой-либо другой константе. г!о для определения вихря с, имеется несколько возможностей: для нахождения величины вихря на стенке ~. условия прилипания можно использовать целым рядом способов. Здесь будут рассмотрены только условия первого порядка для ~„ которые даются формулой (3.435) при ф« = О. Если условие на стенке ставится на ее участке, расположенном вверх по потоку от точки С, то получается с, = с„, где с, определяется формулой ь, = 2ф»,в.ы/Лу' (рис. 3.29).
Если это условие ставится на участке стенки, расположенной вниз по потокУ от точки С, то ~, = ~» = 2ф,+~ ы/Лхл. ПРедлагаемый метод заключается в использовании обоих этих значений с рассмотрением разрыва величины ~,. (Действительно, пет причин ЗЗ.!2. Угловата точки 259 предполагать, что в угловой точке, где имеет место геометрическая особенность, величина ~ непрерывна или однозначна.) Когда значение ~, берется в разностном уравнении, записанном для узла (/с,/с+1), расположенного над угловой точкой С, то принимается ~, = ~,; когда же значение 7, берется !с,,/с+1 Ф~ — Ьл — эф /с+1 „/с+1 ие дт ьа 1 /с„/с Ъз ' ° ! с+1,,/с Рис. З.29 Узлы сетки, используемые для определения значения вихря в угло- вой точке. в разностном уравнении, записанном для узла (/с + 1,/с), расположенного вниз по потоку от угловой точки, С, то принимается ~, = ~з.
При таком неоднозначном подходе можно применять также условия на стенке второго порядка точности. Однако существуют и другие возможности, В работе Роуча и Мюллера (1970) были проверены семь различных способов определения вихря в угловой точке для случая прямоугольной системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
