Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В опубликованных работах по вычислительной гидродинамике такой подход не использовался. Важное замечание о аппроксимационной сходнмостн сделал Чен [1968, 1970]. Даже если и удается найти предел 1!т 1;(Л) л-»о или добиться выполнения равенства ь(Лз) = ь(Л!)+и при произвольно малом е, для задач внешнего обтекания может проявиться эффект вычислительных граничных условий, Строго говоря, необходимо также проверять сходимость в интересующей нас области, когда «бесконечно удаленные» границы (верхняя, нижняя, входная и выходная) отодвигаются от этой области. Проверка сходимости только по шагу сетки или при помощи методов более высокого порядка не дает информации для установления сходимости в смысле уменьшения влияния гра ннц.
В этой связи стоит упомянуть работу Гамилеца и Рааля [1969]. Они решали задачу об обтекании кругового цилиндра в полярпой системе координат с разностной сеткой, постираю- щейся до т = гь! все граничные условия, соответствующце «бесконечно удаленной» границе, ставились на окружности такого ') дппрокснмапиопная скодимость с достоверностью монотонна для уравнения Лапласа !7~ф = 0 и лля простого уравнения диффузии дсгщ = = ывтйг, но не обязател~ но для уравнения Пуассона влн для нелинейного уравнения с копвсктпвнымп и диффузионными членамн другие ссылки по приме. нсюпо экстраполяпоонных ьчетодов для дпфференпоальных уравнений в частных провзводных можно найти в работе Берджеса [!97!1 и в равд 59 настоящей книги.
Шенхерр и Черчилл !!9701 рассмотпеля экгтрвполяпию вестапионарных рещеннй к стапионарному пределу для >равнг пня диффузии; Штеттер (!9701 рассмотрел экстраполяпию Ричардсона для жестких уравнений. 8.4. Критерии сеодимости и начальные условие 273 радиуса. Расчеты проводились при двух значениях гь; предполагая, что скорость сходимости подчиняется квадратичному закону, эти авторы оценили коэффициент сопротивления кругового цилиндра при помощи экстраполяционного метода Ричардсона, пРоводЯ экстРаполЯцию до 1ььгь = О. Другую ннформацию об ошибках аппроксимации можно полуььььть 1) вычисляя ошибки, связанные с нарушением свойства консервативности (см.
равд. ЗЛ.З) для неконсервативных схем, 2) вычисляя контурный интеграл от дсььдп по кривой, охватывающей границу тела (см. задачу 3.32), и 3) сравнивая два значения для давления в угловой точке контура тела (см. равд. 3.5.2). Если для нахождения стационарного решения полной задачи о течении несжимаемой жидкости применяются нестационарные двухслойные схемы и если в итерационном процессе для нахож„.ь.ь ач-ь дения т(ьа" ь и (~ ) используются неявные достаточно хорошо сходящиеся ') методы, то начальные условия будут несущественны. (Начальные условия, очевидно, определяют начальное не- стационарное решение, но даже это влияние экспоненциально затухает по времени, см., например, Бердсли [19691.) Далее, начальные условия обычно ие оказывают существенного влияния на требуемое для расчета машинное время, хотя многие исследователи предполагают противоположное. Начальные условия слабо влияют на требуемое машинное время, поскольку ошибки для выбираемого начального приближения обычно ограничены и по величине на много порядков превосходят величину, входящую в критерий сходимости.
Например, если безразмерный расход в канале нормирован так, что т)ь,„= = 0(1), то начальное приближение т)ьо = 0 во всех внутренних точках будет давать ошибку только порядка О (1). Очень хорошее начальное приближение для поля течения с отрывом в расширяющемся канале может давать ошибки в величине т)ьо порядка 0(10 '), Однако если в критерии сходимости взять величину в = 1Π— в, то улучшение будет незначительным. Для лучшего понимания процесса сходимости следует помнить, что при расчете течений с большими числами 11с ошибка в значении вихря ~ в единственной узловой точке вблизи входной границы и вне пограничного слоя должна за счет коивекции уноситься из рассчитываемой области.
Тогда нужное для сходпмости число шагов по времени будет ограничено снизу величиной и = т/Л/, где т — время переноса частицы нз указанного положения через всю рассчитываемую область. Это ') Есльь вто не так, то устойчивость метала в пелом можно повысить ва с ьет умеиьшеьиья ЛЬ ня начальной ставни расчета (Бао и Догерти 1!9691). 274 Д4, Критерии сяодимости и на«альньы услоаия время т не зависит от размера ошибки и поэтому приближенно представляет собой время, нужное для сходимости, В качестве характерного примера несущественности начальных условий рассмотрим задачу об обтекании обратного уступа (рис.
3.22). Автор данной монографии решал эту задачу, принимая в качестве начальных условий т)т = 0 во всех внутренних точках н вдоль границы В 1 — В 5 — В 2, задавая на входной границе значение ар, соответствующее течению в пограничном слое, и считая, что граница В 3 является «крышкой>, т. е. тр(В 3) = = а)т(1,2); для вихря всюду полагалось ь = О. Такое начальное приближение кажется совершенно неразумным. Однако после первой итерации прн решении уравнения Пуассона с граничными условиями на входной границе, заданными по формулам (3.473), всюду появилась отличная от нуля скорость конвекции.
К моменту п = 30 формировалась вполне правдоподобная зона возвратно-циркуляционного течения, а это указывало на то, что начальное приближение оказалось лучше, чем можно было ожидать. При таком грубом подходе для окончательной сходи- мости при Ее ) 1 потребовалось такое жс машинное время, как н при общепринятом подходе, заключающемся в расчете очередного варианта при начальном приближении, взятом по результатам предыдущего варианта, полученным при ином це или иных условиях на входной границе. Начальные условия могут оказывать влияние в методах расчета стационарных течений при использовании «непрерывных замещений» при задании начального приближения в нестационарных методах, если уравнение Пуассона решается с недостаточной степенью точности, и в неявных методах, если граничное условие на стенке (с".+')ь+' недостаточно проптерировано.
В этих случаях плохие начальные условия могут привести к неустойчивости, связанной с нелинейностью уравнений. (В двух последних случаях неустойчивость можно предотвратить уменьшением М на начальной стадии расчета.) Даже в случае простейших уравнений, когда они решаются при помощи многослойных схем, начальные условия могут вызвать возникновение лишенных смысла осцнлляций. Поскольку данные на предыдущем слое по времени иногда могут быть очень хорошим начальным приближением для последующего слоя, точность начального условия может также оказать существенное влияние на итерируемое решение уравнения Пуассона. Сошедшееся решение аРамт на новом слое по времени отличается от тря только за счет источникового члена ~ н за счет граничных условий для Чт Если Л1 достаточно мало или если сходимость по времени нестационарной задачи в целом почти достигнута, то са+' СЯ и ьР"Ы ж ф" на границах (Для яадаст, подобных задаче о течении внутри замкнутой прямо- У д Д Численное интегрированна угольной области с подвижной стенкой, гр фиксировано вдоль всех границ и в течение всего времени.) Тогда выбор решения грн в качестве начального приближения (!рн+!) будет очень эффективным, Действительно, если сходимость для вихря почти достигнута, то для функции тока ф критерий сходимости (гу'+! — гр'(( е часто удовлетворяется за одну итерацию, так что применяемый метод автоматически сводится к непрерывным замен!синям, как в случае расче~а стационарных течений с помощью итераций.
Линч и Райс (1968) показали, что для неявных схем метода чередующихся направлений скорость сходнмосп! выше в случае гладких ошибок в начальных данных. На практике это обычно выполняется, поскольку гладкими являются и окончательное решение, и начальное приближение (включая случай чг = О). Точность начальных условий может играть более важную роль в случае сверхзвуковых течений, где плохие начальные данные могут привести к распространению паразитных волн.
З.б. Расчет давления ЗЛэ.!. Численное интегрирование для определения давления Уравнения (2,1) — (2.3), записанные в безразмерных пере- менных (см. первое упражнение в равд. 2.4), имеют вид ди ди ди дР ! — +и — + о — = — —. + — охи, дг дх ду дх Ке до до до дР ! — +и — + о — = — — + — т1О, д! дх ду ду Ке ди до — + — =О, дх ду где Р— безразмерное давление; Р = Р/(рОо). (3.510) (3.509а) (3. 509б) (3.509в) Одно из преимуществ работы с уравнениями, описывающими течение несжимаемон жидкости, заключается в том, что здесь число занисимых переменных может быть уменьшено. Давление исключаемся из уравнений количества движения в переменных (и, о, Р) при помощи перекрестного дифференцирования, как в равд.
2.2. Теперь мы будем находить поле давления по известному численному решению для ф и ~. Уравнение для давления представляет собой уравнение Пуассона и аналогично уравнению для функции тока. Однако при его решении методом последовательной верхней релаксации возникают значительные трудности из-за иного типа граничных условий, которые ставятся в этом случае. з Д Расчет дав ~енин 276 Чтобы определить поле давления, расчет можно начинать с произвольной точки, принимая в ней произвольное характерное значение Р (постоянная интегрирования); дискретизированные уравнения (3.509), содержащие дР[дх в дР]ду, интегрируются численно, причем составляющие скорости вычисляются по известному решению для функции тока. (Такой подход применяли многие авторы, в частности Кавагути [1965], Пирсон [1965а], Бургграф [1966], Хын и Макано [1966],Томан и Шевчик [!966], Римон и Чен [1969], Лавап с соавторами ]1969], Сон и Ханратти [1969], Маслях н Эпштейн [1970], Ша. вит и Лаван [1971].) Если интересуются только давлением на поверхности тела, как, например, при определении коэффициента сопротивления, то такой метод может оказаться приемлемым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
