Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для горячей пли холодной стенки В 2, расположенной выше по потоку от уступа, удобное распределение температуры, соответствующее автомодельному. решению в пограничном слое, существует лишь при Е = 0 и Рг = 1. В этих случаях профиль д бе' Граничные условие длн температуры и концентрации 291 температуры (приращение температуры) и профиль скорости идентичны, Если в качестве характерного приращения температурь1 для уравнения (3.543) выбирается разность между температурой в нсвозмущенном потоке иа входной границе В 4 (ркс. 3.22) вне пограничного слоя и температурой на стенке В 2, то распределение температуры, соответствующее автомодельному решению в пограничном слое, будет иметь следующий вид: Т(В 4) = и(В 4), Ты=-О если В 2 — холодная стенка; (3.567а) Т(В4)=! — и(В4), если В2 — горячая стенка.
(3.5676) =1 Фт, 1 = '/а Фт- и 1 — '/т Фт-т, 1 (3.568) имеющая второй порядок точности. Аналогичные заме гания применимы и для простого уравнения, описывающего диффузию для концентрации компонент. Если стенка представляет собой проницаемую мембрану, то на ней ставится условие Неймана. Обсуждение критериев сходимостп и начальных условий, проведенное в равд. 3.4, применимо также и к уравнениям для температуры п для концентраций компонент. В обоих этих случаях (при Е = О) безразмерная температура меняется в интервале от О до +!. Заметим, что если расчет температуры проводится на гибридной сетке с шахматным расположением узлов (рис.
3.24), то профиль температуры на входной границе должен задаваться на линии, отстоящей на расстояние Лх/2 от линии, иа которой задается профиль скорости, что приводит к несогласованности. Условия для температуры на других границах можно ставить так же, как и условия для вихря в равд. 3.3. Условия для температуры и для вихря должны быть согласованы; в частности, на границе В 3 в случае условия стенки со скольжением эта стенка должна быть адиабатпческой. Если в уравнениях, аналогичных уравнениям (3.484) или (3.485), на выходной границе В 6 необходимо учитывать диссипативную функцию Ф, то (поскольку Ф фиксирована в течение всего времени и поэтому исключается возможность приводящего к неустойчивости обратного влияния) эту функцию можно определять при помощи экстраполяции с любым порядком точности или при помощи односторонних разностей.
Рекомендуется экстраполяция Ю.б. Расчет температуры и концентрации 299 3.6.5. Источниковые члены и жесткие уравнения Уравнения для температуры и для концентрации вида (3.543) могут содержать дополнительный член типа +аТ, Этот источниконый (а ( 0) или стоковый (а ) 0) член может описывать, например, выделение и поглощение внутренней энергии прн химической реакции, когда скорость реакции зависит от температуры, или у>леньшепие растворенного кислорода в крови, когда молекулы кислорода захватываются красными кровянымн телы)амн, Возможны и другие формы этого члена, например а(Т вЂ” Т*) илн аТя.
Добавление такого члена в уравнение (3.543) кажется достаточно безобидным, поскольку при этом не требуется дополнительной дискретизапин по пространственной переменной. В действительности же при исследовании устойчивости этот член, который делает уравнение «жестким» (Кертис и Гиршфельдер [1952] >) ), может оказаться доминирующим по сравнению с другими членами. Для простоты рассмотрим уравнение с одним только источниковым членом. В этом случае задача описывается обыкновен.
ным дифференциальным уравнением с(Т>>Ж = аТ, (3.569) которое имеет точное решение Т(1) = Т>епт, (3.570) где Т, — начальная температура. При а ) 0 это точное решение соответствует экспоненциально растущей температуре. Очевидно, «устойчивое» конечно-разностное решение уравнения (3.569) было бы ошибочным, поскольку его точное решение «неустойчиво».
Для таких решений условие устойчивости фон Неймана необходимо модифицировать и записать так: [О [~~1+ О(Л!). (3.571) Но больший смысл имеет критерий относительной устойчивости, предложенный Хеммингом [!9Г>2[. Идея этого критерия заключается в требовании, чтооы экспоненциально растущая ошибка Е(1) пе «забивала» точное экспонепциальное решение; тогда, если Е(1) = Е,е", то для относительной устойчивости требуется выполнение неравенства (> ( а. Но даже в случае экспоненциально убывающего решения (а . 0) такой член в правой части уравнения важен для устой- ') Кертис и Гпрп>фельдср [19521 пвелп понятие «жесткого» уравнения для конечно-разнос>ных уравнений, относя его к случаю, когда )1)(аМ) ) С 1.
Оии также рассмотрели обыкновенное днфференпиальное уравнение более общего вида, чем уравнение (3.559). З.бд Источникоеые члены и жесткие уравнения 293 чивости. Рассмотрим схему «чехарда» для уравнения (3.569): тп+! — тп-' = аТп 2Л! Тп+ =(2аЛ1) Т" +(1) Тп ', Тп = (1) Тп + (0) Т" (3.572) (3.573а) (3.5736) 2аЛ! ! (3. 574) Собственные значения Л определяются следующим образом: 2аЛ! — Л ! (3.575) Лз — 2а ЛтЛ вЂ” 1 = О, (3.576) ! = ькпчт(-Ь»зп (В.з(7! Рассмотрим малые значения Лй такие, что азЛтз « 1; тогда у 1 + азЛ)з ж! + (ЬзазЛуз (3.578) в отсюда Л+ = 1+ аЛ!'+ (((га Л(з, Л = — 1-1-аЛ! — (7,азЛ!з, (3.579а) (3.5796) При а) 0 будет )Л»/= 1, что соответствует точному экспоненцнально растущему решению, но при а(0 получаются !Л /~!.
Несмотря на то что точное решение экспоненциально затухает н имеет соответствующий конечно-разностный аналог, отвечающий значению Л„, дискретизация приводит к появлению второго решения, которое растет экспоненциально и «забивает» точное решение. Упражнение. Показать, что для конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени в с пентральпымн разностямп по пространственным переменным, соответствующей уравнению (3.569), при а < О условие статической устойчивости имеет вид З! ( 2!')а~, а условие динамической устойчивости— вид Л! и !11а). Обзор численных методов решения «жестких» уравнений можно найти в работе Зейнфельда с соавторами (1970], применение этих методов к решению гидродинамических задач рассматривал Блоттнер 11970). В общем случае «жесткис» (источннковые) члены в уравнении рекомендуется вычислять на (а+1)-м слое по времени, однако при таком «неявном» 294 З.7. Методы решенил уравненид дхл физических нереиенных представлении этих членов не требуется применения неявных схем для решения всей системы уравнений на (п + 1)-м слое, поскольку при этом в узловой точке ! используется только значение ~к+'.
Полностью неявная формулировка задачи в случае жестких уравненпй при а -, 0 обеспечивает безусловную статическую устойчивость решения, а также его динамическую устойчивость (см, задачу 3.33). 3.7. Методы решения уравнений для простейших физических переменных Уравнения Навье — Стокса для физических переменных и, и и Р в безразмерном виде приведены в равд. 3.5 (см. уравнения (3.509) и (3.510) ). Постановка задачи, описываемой этими уравнениями, совершенпо аналогична постановке задачи, описываемой системой уравнений для ф и Ь, за исключением некоторых дополнительных аспектов. Здесь будут обсуждаться преимушества и недостатки (и, о, Р) -систем по сравнению с (ф, Ь) -систе. мой.
3.7.1. Общие замечания Для того чтобы отразить эллиптический тип исходных дифференциальных уравнений, давление в (и, и, Р)-снстеме необходимо определять, решая уравнение Пуассона так же, как это делалось в равд. 3.5. Методы, разработанные для анализа устойчивости решения (ф, Ь)-системы, можно непосредственно применять и для исследования устойчивости решения (и, и, Р)-системы.
При линеаризации уравнений (3.509) члены с градиентом давления исчезают, а члены типа и(ди/дх) приводятся к виду а(ди/дх), где б — постоянный коэффициент. Тогда линеарнзированпое уравнение количества движения будет совпадать по виду с линеаризированным уравнением переноса вихря, и, следовательно, для исследования пх устойчивости можно использовать одни и те же методы, получая при этом одни и те же условия устойчивости. Решать уравнение Пуассона для давления можно любым из методов, рассмотренных в равд.
3.1 и справедливых также в рассматриваемом случае по крайней мере с точки зрения линейного анализа устойчивости. Уравнениям количества движения можно придать простую консервативную форму, если, как н в случае уравнения переноса вихря, член 17 Уи заменить на Ч.(аЧ). Но применение идеи консервативности в отношении сохранения массы в этом случае осложняется. При решении уравнения Пуассона потребуется отказаться от консервативной формы уравнения неразрывности, в чем мы сейчас и убелимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
