Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 71
Текст из файла (страница 71)
— Ддр(дх и влияние вперел от точки (х, 0 распространяется вдоль характеристики, проходящей через точку (х, !) и имеющей наклон !/д 306 а7. Метода~ решения уравнений для физических перененных Используя схему с разностями против потока, показать, что схемная вят.
кость в случае уравнений для простейшнх фнзнческнх переменных та же, что н в случае уравнения переноса вихря. (См. уравнения (3.)73) — (3.179) нз равд. 3.!.8.) 3,7,6, Сравнительные достоинства систем уравнений для переменных (ф,т.) и для переменных (и,,п, Р) Сравнительные достоинства (тр, Д -системы и (и, и, Р)-системы зависят от решаемой задачи.
Главную роль всегда играет опыт предшествующих расчетов, но при выборе системы уравнений мы увидим, что в большинстве случаев (за исключением задач со свободной поверхностью или других задач о движении жидкостей с поверхностями раздела) целесообразно брать (ф, с) -систему. В качестве эталонной задачи для сравнения этих двух систем рассмотрим сначала задачу о плоском течении жидкости при отсутствии свободной поверхности, предполагая, что прн этом уравнение Пуассона решается при помощи итерационных методов. Если ие требуется находить нестационарное решение для давления, то в (тр, ~)-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа т)етр = ~ с условиями Дирихле на некоторых (возможно, па всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения,) В (и, о, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления таР = 5р с граничными условиями Неймана на всех границах.
При решении уравнения переноса вихря 1 необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока ф для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются нз-за членов с дивергенцией бс 7 (в методе МАС эти члены значительно сложнее) и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохранения массы (объема). Решать уравнение переноса вихря ~ можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявно~о вычисления значений ~"ь' на стенках при условии прилнпания.
В случае же (и, о, Р)-снстемы значения и"ы и и"тт известны точно в тече. ние всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности (см. равд. 3.7.2). Дости. жение итерационной сходимости прп решении уравнения ЧЯР = = 5р эллиптического типа требует значительно больше времени, Здхб. Достоинства систем уравнений дяя Ц, т) и дяя (и, о, Р) 307 чем при решении эллиптического уравнения >у>>)> = ь. Это объясняется различием граничных условий.
Если же требуется получить также нестациопарное решение для давления, то и в (>)>, с)-системе необходимо решать уравнение Пуассона ииР =5 с граничными условиями Неймана. В случае когда применяются неявные схемы и требуется вычислять поле давления на каждом шаге по времени Л1, результаты можно получить быстрее решением (и, с, Р)-системы. Однако заметам, что при решении (>)>, ~)-системы при помощи явных схем (которые, как сложилось исторически, чаше применяются для решения (и, и, Р)-системы) шаг по времени Ы настолько мал, что значение давления можно не рассчитывать на каждом шаге по времени, а находить только время от времени. (Во всяком случае, обычно оказывается затруднительным разумно использовать все это множество значений давления.) Если поле давления рассчитывается один раз за каждые десять шагов по времени илп резке, то снова рекомендуется применять (ф >)- систему.
Сравним эти две системы и в том случае, когда нужно получить нсстационарную картину линий тока. В случае (>)>, ~)-системы ливии тока >у = сопя| строятся с помощью простой интерполяции. В случае же (и, о, Р)-системы они определяются интегрированием, причем наиболее точный способ состоит в решении уравнения Пуассона Уе>у = би/бу — бо/бх. Теперь рассмотрим случай, когда в исходной тестовой задаче для решения уравнения Пуассона используются прямые методы.
Здесь важную роль играет время разработки программы (оно, конечно, зависит от предшествующего опыта)„и если надо вычислять поле давления, то время разработки программы для решения (ф, ~)-системы будет больше, так как при этом необходимо при помощи прямых методов решать два уравнения Пуассона с различными граничными условиями. Если же поле давления вычислять не надо, то время разработки программы для решения (>(>, ь)-системы будет несколько меньше, поскольку в большинстве прямых методов поставить условия Днрихле проще, чем условия Неймана.
(Метод расчета распространения век~ора ошибки из равд. 3.2.8 является исключением.) В этих случаях для решения уравнения Пуассона требуется меньше времеви, чем для решения параболического уравнения переноса. Поскольку время решения одного уравнения переноса вихря ~ меньше, чем время решения каждого нз двух уравнений количества движения, и в этом случае (>(>, ~) -система оказывается предпочтительнее. Учет внешних сил в уравнениях не влияет на обсуждавшиеся выше сравнительные достоинства двух рассматриваемых систем уравнений.
Также не оказывает влияния выбор системы ЗОВ дх Методы решения уравнений для Чтивнеесних неременныя координат (цилиндрической, сферической или какой-либо иной ортогональной системы) или учет переменных свойств среды. Здесь может несколько измениться выражение, дающее определение для вихря ~ (можно использовать члены, аналогичные ~), но можно вывести аналогичные уравне|ая.
Например, если жидкость пмест переменную вязкость, то уравнение количества двилсения можно переписать так: да ди дн — +и — +о — = дт дх ду = — — д + — (2 — (И дя)+ д (И(д + д ))), (3.607) где Це = Рот'о(4М, И = Й/Иа = И (х, У), (3. 608) а Ио — хаРактеРнаа вЯзкость (скажем, вЯзкость в невозмУщенном потоке). Соответствующее уравнение переноса вихря можно вывести (см, задачу 3.34) в следующем виде '): — = — Ч ° (Уй) + дС дт При помощи (чр, (.)-системы можно исследовать и гораздо более сложные задачи; Шавит и Ливан [!971) решали уравнение переноса вихря в цилиндрической системе координат для течения двух жидкостей с переменвыми свойствами.
Еще раз повторим, что определить положения маркеров в случае (ф, в)-системы ничуть не сложнее, чем в методе МАС для (и, о, Р)-системы, и поэтому возможность получать картину пиний о~меченных частиц в методе МАС не является преимуществом (и, о, Р)-системы перед (чр, В)-системой. Картину же линий тока, несомненно, проще строить при решении (ф,~)-системы. Однако исторически сложилось так, что при решении задач со свободной поверхностью нли задач с поверхностями раздела жидкостей рекомендуется брать (и, о„Р)-систему, поскольку именно таким образом чаще удавалось получить хорошие результаты.
В случае же (ф, В)-системы возникает трудность с постановкой граничных условий на свободной поверхности, особенно для нестационарного течения со свободной поверхностью, как, например, в задаче о плесканни топлива в баке (см. ссылки в равд. 6.4). ') Личное сообщение Д. Рипа и проф. В. Оберкампфа, Техасский униеерситет Остин, 8 8. Трехмерные течения 309 Отметим также, что возхтожио обобщение (тр, ~)-системы на случай трехмерных течений (хотя многие авторы утверждают противоположное) и зта система ио-прежнему будет обладать некоторыми преимуществами по сравнению с системой уравнений для физических переменных (составляюших скорости и давления; см.
следующий раздел). 3.8. Трехмерные течения где уг)= —, + —, + —,, ~=и, о, ит. (3.612) дт( дт! дт) Эти уравнения для физических переменных (составляюших вектора скорости и давления) можно решать теми же методами, что и уравнения в случае плоских течений. Некоторые обобщения на случай пространственных течений уже рассматривались в равд. 3.1. Например, ограничение на числа Куранта для явных схем (при отсутствии расщепления по времени) записывается так: С„+ С„+ С,<1, (3.613) или — + — + — ( 1. иит оЫ вИ Ьх Ьу Ьг (3.614) Можно вывести и уравнение Пуассона для давления (3.615) в правую часть этого уравнения по-прежнему входит член д!9/д! (Уильямс (!969) ).
Современные вычислительные машины дают возможность рассчитывать некоторые трехмерные течения жидкости. В случае пространственного течения несжимаемой вязкой жидкости уравнения Навье — Стокса, соответствующие уравнениям (3.509) — (3.510), имеют вид ди + д(ит) + д(ио) + д(ив) — др + ) трг (3 610 ) д( дх ду дг дх Яе до 1 д (ио) 1 д (о') 1 д (ов) др 1 1 ттго (3 6105) д( дх ду дг ду йе — + дв д (ив) д (ои) д (в') дР 1 д( дх + — + = — — + — чгв, (3.610в) ду дг дг Гче Й вЂ” = Ч ° 'ч( вв — + — + — = О, ди до дв дх ду дг (3.6! 1) 3!О 8.В.
Трехмепиме течении или (в покомпонентной записи через орты 1, 1, !г) в виде Ь=~„!+ в".„1 + 1;,К, (3.6.17 а) див дв х — ду дх' ди двв дх дх ди ди дх ду ' (3.617г) (3.617б) (3.617в) Если течение происходит в плоскости (х, у), то ~, = ье = О, а ~, = до/дх — ди/ду, что отличается знаком от ранее принятого нами определения вихря ~. (Определение ь = — ~, в случае плоского течения наиболее распространено, но не универсально.) Соответствующее уравнение переноса вихря представляет собой векторное уравнение, три его составляющих записываются так; д~" = Ч ' (Чвгх) + ие Ч гвх + Г Чи, (3.618а) дье 1 д, = — Ч (Ч1,)+жЧ21,+1 Чп, — ' = — Ч (Чье) + — Ч=ьх + ь ° Чш (3,618в) (3.6186) На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости ш определяется в точке (й 1, й +'/з) и т.
д. Для трехмерного уравнения Пуассона также ставятся граничные условия Неймана; введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико, Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильямс (1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
