Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Заметим, что числа Ке и М, построены только по одной составляющей скорости й,. Истинное число Маха невозмущснного потока дается выражением йа з26 4 й Безразмерный вид нвнеервитивных уравнений образования предлагается выполнить в качестве упражнения; см. задачу 4.1): да — Ч. (рЧ) (4.42а) (4.43б) (4.43в) х=О, (4. 43г) (4.44а) 0= — + —, ди ди дх ду ' И Рг Ке Мвз(у 1) — Ч ц=Ч МАЧТ= — '(й — ")+ ' (~ ") Ч (и Ч)=Ф+Ф, Ч=х+'/зр, ~=х — 'йр.
Местная безразмерная скорость звука будет иметь вид а = Т~Мв, (4.446) (4.45) (4.46а) (4. 466) (4.46в) (4.47) (4.48) а местное число Маха — вид м-и еи'7;Чт. Уравнение состояния (4.!9) записывается так: Р = рт((цмз') (4.49) (4.50) д~ д, = д — Ч ' ((Ри) Ч1 + (О, + 0з)/йе, (4.426) д, = д Ч ' ((Ро) Ч) + (0з+ 0,)Яе, (4.42в) д~' — — — Ч ° (Ч (Е, + Р)) + у Ч ° (ИТ) + — Ч ° (П ° Ч), (4,42г) В уравнениях (4.42) использованы следующие обозначения: 01= д )21з д +101= д ~р(у д — З д )1 при х=О, (4.43а) 4,5, Еезрозаерный вид консераогианык уравнений 327 нли, как следует пз (4,22), для газов с постоянным показателем адиабаты так: Р=ре(у — 1) (4.5 !) Таким образом, при приведении к безразмерному виду вид уравнения состояния газа с постоянным показателем адиабаты не меняется. Внутренняя энергия е получается в следующем виде: е = Т) гну (у — 1) МД (4.52) Это равенство с учетом соотношения в=С,Т (4.53) можно трактовать как определение безразмерной удельной теплоемкостн С.: С,— (4.54) у(у 1)Мо Т = С [ — ' — 2 (~'+ ~з)~.
(4.55) Комбинируя формулы (4.51) — (4.54), можно получить уравнение состояния в виде Р = (у — 1) [Е, — !/з р (и'+ и')]. (4.56) Упражнение. Показать, что в безразмерных переменных уравнение состояния может быть записано в виде Р = Керт, где безразмерная газовая постоявиая Е = С„(у — 1) = 1ДуМ~~). Аналогично можно вывести безразмерное уравнение для энтропии.
Во избежание путаницы с другимн обозначениями обозначим энтропию символом Е„. Упражнение, Показать, что размерное уравнеине для энтропии совершенного газа Š— Е =С !и (777'1) — 1п (Р(Р,), (4.57а) где индекс ! означает произвольное начальное состояние газа, можно запи. сать в следующем безразмерном виде; ЬЕ = — 1п Т вЂ” 1п —, у Р .у— Р, ' (4.57б) где Ра = Ро((Ройс) — хаРактсРиое безРазмсРпос давление, а безРазмеРнаЯ энтропия определена как Еу — — РуаЯя. (4.58) Безразмерная температура Т может быть определена следую- щим образом; 328 4Б. Безразмерный вид консервативных уравнений Для определения р и и также необходимы соответствующие соотношения.
Формула Сазерленда для вязкости (см. Шлнхтинг ]1968]) дает вполне хорошие результаты для воздуха и других газов в том интервале температур, в котором газ можно достаточно точно считать калорическн совершенным. По этой формуле н Р ( Т'1зл Те+Б~ 1.7,1 Т+Б, (4.69) или в безразмерном виде 1 + $~ Т+Б, (4.60) где З =Чт (4.61) и 8~ = 110 К для воздуха.
Заметим, что при использовании формулы Сазсрленда в решение добавляется еще один характерный параметр 5~ = Б,(То. Практически это приводит к необходимости задаваться некоторым характерным размерньсм значением температуры в задаче. То же самое имеет место, если Р берется как линейная функция от Т, й = б+ БТ, причем и Ф О. В качестве аппроксимации формулы Сазерленда часто применяется степенная зависимость (4.62) где с» выбирается между 1/2 и 1. В этом случае сз является дополнительным характерным параметром, однако зависимость от него может быть очень слабой, и для многих газов можно удовлетворяться значением ы = 1.
При расчетах течений с большими числами М выбор различных зависимостей вязкости от температуры может привести к существенно различным результатам (см. Г>атлер ]1967]). При использовании формулы Сазерленда необходимо проявлять предусмотрительпостл при составлении программы во избежание чрезмерного возрастания машинного времени, необходимого для расчета (см. гл, ?).
Таким образом, уравнения, описывающие течения газа (4.42) и необходимые дополнительные соотношения, такие, как уравнение состояния (4.60), содержат четыре характерных безразмерных параметра; Мм Ре, Рг и у нли Мо, Яс, Х и у в том случае, когда коэффициенты переноса р п и предполагаются постоянными. Прн переменнеях р и и можно дополнительно ввести характерную размерную тсмпсразуру. 4,6. Сокращенная запись урааненид 329 4.6. Сокращенная запись уравнений дУ ду д0 — + — + — =О, Щ дх ду (4.63а) где ри и= ро (4. 63б) ри (4.63в) и(Е,+ Р) — —, — —— и дТ и| и дх Не ро р /4 до 2 диХ Р+ ро- — — ~ — — — — — ) Ке Х 3 ду 3 дх ) (4.63г) (' Р о(Е5+ Р) и дТ из Х ду Ке Например, уравнение неразрывности (4.42а) получается нэ (4.63) при подстановке первых элементов (), Г, гз; — + — + — =О, ди, дГ, да, де дх ду (4.64) т.
е, др д (ри) д (ро] (4.65) д~ дх ду Уравнения, описывающие течения сжимаемой жидкости, очевидно, сложнее уравнений, описывающих течения несжимаемой жидкости. Поэтому для изложения и оценки численных схем часто применяются различные формы сокращенной записи этих уравнений. Широко распространено представление уравнений (4.42) в «векторной» форме. Здесь «векторы» (о', Е, 6 представляют собой упорядоченные наборы комбинаций основных переменных. При н = О эта сокращенная запись уравнений выглядит так: ззо 4.7.
Особенности, связанные с наличием ударных волн Уравнения для случая течения невязкого нетеплопроводного газа ') получаются нз приведенных выше уравнений при 1/Йе = = 0 и 1/Ы = О. Уравнения для одномерного течения невязкого газа получаются в виде дьг ду + — =О, дт дх (4.66а '; +) 1ти Р= Р+ ри' м (Е, + Р) (4. 666) (4.66в) Число арифметических операций, требующихся для решения уравнения (4.63) в конечно-разностной форме, можно значительно уменьшить, считая коэффициенты )х и й постоянными, что приведет к р = 1, й = 1 в уравнении (4.63). Однако, как было указано в равд. 4.4, для достижения большей точности необходимы более обгцпе предположения. 4.7.
Физические и математические особенности, связанные с наличием ударных волн '1 Из рассмотрения на молекулярном уровне и из аналогии Рейнольдса (сзл. Шлихтинг (!96В)1 следует, что предположение об отсутствии зязкоств соответственно подразумевает предположение об адиабатичности. з) Ударная волна представляет собой математический разрыв только в предельном случае нсвязкого газа; вязкость и теплопроволность сглаживают разрыв.
Практичесьтг прп нормальных условиях толщина ударной волны является величиной порядка среднее длины снободного пробега мо,лекул. С физической точки зрения ударная волна представляет собой разрыв в течении '). Она отличается от контактного разрыва тем, что газ движется через ударную волну, в то время как при контактном разрыве газ движется вдоль разрыва. Ударная волна — замечательное физическое явление. Здесь на расстоянии порядка 10-4 см могут возникать замедления порядка 1000 ьгггсз, а ускорения в лагранжевой системе измеряются мнллиардамп д. Ударные волны возникают при обтекании потоком угла, сопровождающемся сжатием, а такхсе при внезапном повышении давления по какой-либо другой причине.
Существуют только скачки уплотнения; разрежение протекает непрерывным образом. Гидравлические прыжки и боры (уступообразные волны) представляют собой явления, подобные скачкам. 4.7. Особенно«та, саязпнные с наличием рдпрнаэх волн аЗ) С математической точки зрения ударная волна — существенно нелинейное явление. В одномерном случае реальные ударные волны в газе (так же, как и турбулентность) моделируются уравнением Бюргерса ди дп дзп — +и — =ив дЭ дх дх» (4.67) Если коэффициент и при днсснпатпвном члене д'и,'дх' то>кдествснно равен нулю (>то соответствует случаю Йс = оо), то уравнение (4.67) сводится к следуюшему: ~)п дп — = — и —. дт дх (4.68) Решение этого уравнения не обязательно непрерывно во все моменты времени. Оно имеет ана:штическое решение, которое прн специальном выборе начальных данных претерпевает скачок (математнческий разрыв).
Следуя Беллману с соавторами (1958), запишем аналитическое решение уравнения (4.68) в виде и(х, ))=/(л), у=х — и(х, Г)Г, (4.69) где функция / задает начальное условие при У = 0: (4.70) и (х, О) = / (х). Дифференцируя это решение, получаем дп , Г (Я) дх ( ) 1 + 0'(л) (4.71) Если начальное условие /(х) таково, что 1 + г/'(х)- 0 при некотором ) -» )ь то ди/дк )Э, — со (4.72) ') другое опнсавнс возникновения скачка прн решении уравнепня Вюргерса см. в работе данса [1969).
Такне неднфференпнруемые реп>ення уравненнй в частных производных назывшот «слабыми» решениями в отлнчне от гладких решеннй. Скачок связывает две области гладких рсшеннй. и получается скачок'). В задачах более высокой размерности при решении методом характеристик зарождаюшийся математический скачок проявляется как пересечение характеристик одного и того жс семейства (см., например, Томас ()954)), Если в уравнении (4.67) коэффициент а не равен нулю, но очень мал, то разрыв все еше может возникнуть. Для несколько ббльших а разрыв может не появиться, зато могут иметь место большие градиенты ди/дх.
Именно это происходит в реальных 332 Е 2 Особенности, связанные с наличием ударнагс воли газах при больших числах Рейнольдса. Производные типа ди(дх могут быть столь велики, что толщина скачка станет величиной порядка длины свободного пробега молекул. Прн практических вычислениях'в этом случае можно вводить разрыв. Фей [1964] показал, что переход к случаю нулевой вязкости прп а -~. 0 происходит гладко. Он доказал, что для двух любых состояний, которые для гиперболической системы (а - 0) могут быть связаны достаточно слабым скачком, существует непрерывное решение соответствующей системы с вязкими членами.
Когда коэффициент вязкости стремится к нулю, это решение стремится к разрывному обобщенному решению гиперболической системы (см. обсуждение этого вопроса и ссылки в работе Лакса [1957]). Для численного исследования возникновения скачков Ван Леер [1969] и Лаке [1969] пользовались уравнением Бюргерса в консервативной форме (4.73) однако между этим уравнением н полной системой (4.63) суще. ствуют различия; см, работу Лакса [1969]. Глава 5 ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этой главе обсуждаются основные численные методы расчета плоских течений сжимаемой жидкости в прямоугольных координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
