Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е. отнесенная к единице объема) внутренняя энереия торможения а Е ре р[в+ ч)а(иа+ оа)] (4.1 2) Если читатель незнаком с тензорнымн обозначениями илп ему малоинтересны такие детали, как условия применимости гипотезы Стокса и т. п., то он может перейти сразу к уравнению (4.36). С введением величины Еа уравнение энергии (4.4) принимает вид — = — У ° (ЧЕ ) — Ч ° г) + Ч ° (Т ° Ч). (4.13) Представим тензор полных напряжений как сумму тензора гидростатического давления и тензора вязких напряжений П; Т= — Р1+ П, (4.! 4) где по определени|о Р— гидростатическое давление, а ! — единичный диагональный тензор; тогда У (Т Ч)= — Ч (Р!.У+П Ч).
(4.1 5) Р Так как Ч. (Р! Ч) = У. (ЧР)'), формула (4.15) принимает вид Ч ° (Т ° У) = — У ° (ЧР) + Ч ° (П ° У). (4.16) а Р ') 7. (Р! Ч) =7 1Р(П -)-1!) (а)+ а))) =г4 ° !Р(!а+ )а)) = а д(аР) д(аР) а 321 4 4 Дополнит»»лные сосгнвимни» 1!одстановка выражения (4.16) в уравнение (4.!3) дает ве, — ' = — Ч ° (ЧЕ,) — Ч ° г! — Ч ° (ЧР) + Ч ° (И ° Ч), (4.(т) ~,' —— — Ч .1,Ч (Е, + Р)( — Ч ° и + Ч ° (И ° Ч).
(4.18) Таким образом, получено уравнение энергии в консервптивной фор»не. Заметим, что здесь консервативной величиной является удельная внутренняя энергия торможения Е; = р(е + Чл/2), а переносимой величиной — удельная энтильпия торможения Е, + Р, Член ЧР характеризует работу сил давления. Заметим также, что консервативная форма уравнения неразрывности может быть получена из обычной (см., например, Берл с соавторами (!960!) простой заменой субстанциональной производной Ор/)г! на др/д! + Ч (рч). То же самое справедливо и для уравнений количества движения, так как вязкие члены при таком преобразовании не затрагиваются. Но для уравнения энергии это несправедливо.
Приведение уравнения энергии к консервативной форме изменяет впд вязких членов. Введение консервативной переменной Е, = р(е -1- Ч'/2) ведет к появлению члена д('/зр)с')/дй Этот член может быть найден из «уравнения механической энергии» (см. Берд с соавторами (!960() и зависит от вязких членов. Таким образом, прп введении консервативной переменной Е, вид вязких членов в уравнении энергии меняется. Уравнения (4.1), (4.9), (4.10) и (4.18) являются системой уравнений в размерном виде для искомых консервативных переменных р, ри, ри, Е„описывающей течение сжимаемой жидкости.
Однако для ее решения необходимы дополнительные соотношения. 4.4, Допопнительные соотношения Для решения приведенной выше системы необходимы дополнительные соотношения, именно: уравнение состояния для определения Р через консервативные переменные, а также соотношения для определения теплонроводностп и вязких напряжений, В этой главе мы рассмотрим только простей)пий случай.
Предположения, которые будут приняты, пригодны для простых газов нри умеренных температурах и давлениях. (Воздух часто можно считать простым одпокомпопентиым газом, так как основные его компоненты (л)» и От являются двухатомными и имеют сходные термодинамические свойства.) Уравнение состояния для совершение~о газа имеет вид Р=рК,т, (4.19) 44. 7(ополнительнь~е соотношения З22 ~де тгя — газовая постоянная.
Постоянная уса связана ньгми теплоемкостями прн постоянном давлении С» и ном объеме С, следующим образом '): )7 =С вЂ” С,. я» с удель- постояп- (4.20) е. будем Далее, будем считать газ калорически совершенным, т полагать, что его внутренняя энергия е имеет вид е = — С„7', (4.21) где удельная теплоемкость С, постоянна. Подстановка (4.20) и (4.21) в (4.19) дает Р=р» "е=рй(у — 1), (4.22) С„ где у = С»/С,— отношение удельных теплоемкостей. Приблизительный диапазон тэзьчспспия у от 5/3 ж 1.67 длп одноатомных газов (например, гелия), 775 = 1А для двухатомных газов (воздуха), 9!7 = 1.28 для трехатомных газов (двуокись углерода) до !.1 для сложных выхлопных газов реактивного двигателя').
Предположение (4.21) лучше всего выполняется для одноатомных газов и значительно хуже — для трехатомных газов. Все калорическп совершенные газы имеют уравнение состояния (4.22), и их часто называют газами с постоянным показателем адиабаты. С учетом соотношения (4.12) давление Р выражается через консервативные переменные следующим образом: ') Раньше ранено~во (4.20) часто писали в следуюптелэ виде: (тз = — (С„ — С.)У.
тле У вЂ” тепловой эквивалент механической работы Равенство (4 20! предполагает использование соответствующей системы единиц '! В пределе для несжимаемой жидкости у = 1, но переход к эгону пределу нсобхолимо произподить осторожно во избежание получения непра. вильиых уравнений, Р = ]Е, — ')зр (ие + Оз)] (у — 1). (4.23) В работе Даля !1959] приведена программа расчета термодинамических величин реальных газовых смесей, составленная на Фортране.
Скоростной напор р(туз+ б')72 выражается через консервативные переменные р, рн и ро следующим очевидным ооразом: — о(па+ бч) = — —,. 1,, 1 (ри)т+ (р»)х (4,24) 2 ' 2 р Выразим теперь через основные переменные член 7 т) (поток тепла) и член с тензором вязких напряжений Ч (П 'т(), применив закон Фурье к первому пз этих членов и гипотезу Стокса к второму. 4.4. ссоиолнительньсе соотношения 323 Закон теплопроводностн Фурье для среды, предполагаемой нзотропной, гласит 9= — ИТ, (4.25) что дает — и ° 9=9 ° нЧТ= — (Гг З у+ д (Гг д ). (4,26) Р П = я~111 + п12!) + ига! + Лег!1.
Ч= и(+ о1; (4.27) (4. 28) тогда Р П ' Ч = (его!1 + я~211 + ггг1)1 + пггН) ' (и! + о)) = = п1ьпг + пмв1 + пмп) + пего) = е = 1(пни + пмо) + ! (ими + пего). (4.29) Для любого вектора е а =а,1+ аг) (4.30) имеем д д Ч ° а= д„(а,)+ д (аг) (4.3!) н поэтому д д Ч ° (П ° Ч) = — (япи + пыо) + д (ямн + гггго). (4.32) Компоненты тензора напряжений выпишем из книги Овчарека (11964), формула (10,17) ): Р ди пп =т.О+ 212— де Р до пгг — — ХВ+ 212 —. дв ' (4,33) Р 2221 п121 С учетом этих соотношений равенство (4.32) принимает внд Ч) = —, ~н),о+ рн дя 1+ — [ор ( —,,' + — ")1+ Для определения члена, содержашего вязкие напряжения, можно записать (см.
Овчарек (!964) ): 324 4.5, Безразмерный вид нонсервативнык уравнений Для удобства конечно-разностного представления желательно привести члены к втзау д[/дд/ду]/дх, д[/дд/дх]/дх и т. и. я и Введем величины А= к — е/зр, т1 = и+ '/зр. После подстановки этих величин в (4.34) и перегруппировки членов получим Ч ° (П ° Ч) = — [(т(и) — +(Но) д ~+ д [(йи) д + (Ио) д ~+ + ду Г('1 ) ду+(1 ) д~1+ дз Г( ) дх (1 ) дх1 Для определения р и й также необходимы дополнительные соотношения, Г!редположение о постоянстве Гк и Гз может упростить вязкие члены и поэтому оказаться полезным для проведения тестовых расчетов. Однако предположение о постоянстве Гх плохо выполняется для газов даже при умеренных сверхзвуковых числах Маха и поэтому может быть рекомендовано лишь для тестовых задач.
Предположение о постоянстве й более реалистично, однако для общности мы будем считать переменной и эту величину. Существуют несколько соотношений для определения коэффициентов переноса р и й. Эти соотношения удобно обсудить в следующем разделе. Уравнения (4.35) и (4.26) вместе с уравнением состояния (4.23) и соотношениями для коэффициентов переноса и и й замыкают уравнение энергии в консервативной форме для основных переменных, удобной для перехода к конечно-разностному представлению.
Но прежде чем перейти к численному решению уравнений, следует записать их в безразмерном виде. 4.5. Безразмерный вид консервативных уравнений Для того чтобы можно было независимо менять характерные параметры задачи, гораздо выгоднее вести расчеты для уравнений в безразмерном виде. Приведение к безразмерному виду уравнений длн сжимаемой жидкости охватывает гораздо большее число переменных, чем для несжимаемой жидкости в особенности в том случае, когда жидкость имеет переменные свойства, как это принято здесь').
Различный выбор характерных величин, к которым относятся соответствующие размерные величины, приводит к различному безразмерному виду уравнений. Так, например, Крокко [1965] все величины относит к параметрам торможения. Скоглунд н Коул [1966] и некоторые другие авторы в качестве характерной скорости берут скорость звука в набегающем '] Это усложнение ие столь неприятно при консервативной записи уравнений. как при традиционной. йд Безразмерный вид консервативных уравнений 325 потоке. В работе Моретти [196>9а] скорости отнесены к >(Р,(ррю где индекс з означает соотвстству>ощип параметры торможения. Мы будем относить все величины к их значениям в невозмущенном потоке вне пограничного слоя. Вернемся к обозначению размерных величин черточками над буквами и введем безразмерные величины следующим образом: и = й/йы о = д/йа, х = хаК, й = 1((1,, 1 = 1/ (Е/йа), т=т~т, Р =Р/~(ова).
р= р/р, =9/рп /с = (г/йы е = в/йа, Е, = Ц(оогуа). (4,36) р = р/ро Отмегим, что обе составляющие скорости й и й отнесены к йа, а оба коэффициента р и 9 к >за '). Внутренняя энергия е отнесена к ие, и, таким образом, при приведении к безразмерной форме член в уравнении энергии, содержащий Е, + Р, ие меняет вида. Определим число Рейнольдса >се== райаь йа число Прандтля (4.38) Рг Ср1с>>//са и характерное число Маха (4.39) Ма = йа/аа, где ао — изэнтропическая скорость звука в иевозмущепном по- токе. В случае рассматриваемого нами совершенного газа она дается элементарным газодинамическим соотношением (см., на- пример, Овчарек ]1964] ) йа ='ДР,То (4.40) (4.41) Далее приводится безразмерная форма уравнений неразрывности, количества движения и энергии (соответствующие пре- '1 для газов объемную вяакость хо практ»чески всегда полагают оавиоа нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
