Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Большинство из этих методов построено на основе методов и рассуждений, уже приведенных в гл. 3 для случая течений несжимаемой жидкости, поэтому содержание главы 3 существенно для понимания материала настоящей главы. Уже после выхода в свет первого издания настоящей книги (1972 г.) была опубликована прекрасная работа Пейре и Вивиана [1975[, посвященная расчетам течений сжимаемого газа. Эту работу можно рекомендовать по всем аспектам вычислительных задач, обсуждаемых в настоящей главе.
5.1. Г[редварительные сообранчения Перед тем как перейти к основному содержанию настоящей главы, рассмотрим три вопроса, чтобы не возвращаться к ним при изложении остального материала, Это следующие вопросы: 1) методы расчета течений без ударных волн и методы с выделением ударных волн, 2) исследование устойчивости, 3) использование неявных схем.
6.1.1, Методы расчета течений без ударных волн и методы с выделением ударных волн Хотя в течении сжимаемой жидкости могут возникать ударные волны, известный интерес представляют и решения без скачков. Рассмотрим кратко некоторые численные методы, пригодные только для расчета течений без скачков; эти методы не являются основным предметом настоящей главы.
Не все течения сжимаемой жидкости являются сверхзвуковыми; очевидно, что в задачах с чисто дозвуковым течением ударные волны нс возникают. Например, Трулно с соавторами [19661 использовал уравнения движения сжимаемого газа для расчета дозвукового течения (см., однако, разд.
5.9), бд. Предварительные соображения Для сверхзвуковых течений нсвязко|о газа, когда уравнения являются чисто гиперболическими, естественным численным методом расчета является метод характеристик (Курант н Фридрихе [1948]; Овчарек [!964]). В этом широко известном методе расчетная сетка не прямоугольная и не известна заранее, а выстраивается вместе с продвижением решения в процессе расчета. Этот метод дает наиболее точные результаты, так как расчет проводится по узловьп| точкам, лежащим на характеристиках, поперек которых производные могут претерпевать разрыв. (Дальнейшее описание и ссылки относительно двухи трехмерного метода характеристик приведены в равд, 6.4.) Основным ограничением метода характеристик является невозможность включения в него вязких эффектов, если не обращаться к концепции пограничного слоя.
Бойнтон и Томсон [1969] разработали метод расчета с про. движением решения по пространственной координате, который является пространственным аналогом нестацнонарпых лагранжевых методов. В этом методе допускается диффузия по нормали к координате, связанной с линией тока, а скачки, как и в методе характеристик, выделяются. Необычный графический метод для расчета сверхзвуковых течений без скачков был предложен Ринглебом [1963] и развит Чау и Мортнмером [1966].
Применение этого метода ограничивалось течением между двумя фиксированными линиями тока наподобие течения внутри сопла, Чау и Мортимер [1966] обобщили метод Ринглеба для учета вязких эффектов. Для численного решения гиперболических уравнений без ударных волн было разработано несколько нестацнопарных методов, например метод Бабенко и Воскресенского [1961] и метод Гурли и Морриса [1966]. Эти и другис методы расчета течений без скачков могут применяться в сочетании с различными схемамп выделения ударных волн, в которых эти волны рассматриваются как разрывы и при переходе через них используются соотношения Рэнкииа— Гюгонио (см. Овчарек [1964]).
Возможно приложение такого подхода к одномерным задачам на эйлеровой фиксированной сетке (Рихтмайер [1957]), однако представляется, что выделение скачков на фиксиронанных прямоугольных сетках в двумерных задачах трудноосуществимо (Скоглунд и Коул [1966]). Методы выделенпя скачка на криволинейных сетках с преобразованием скачков очень трудоемки, по дают большую точность (см. равд.
4.3). Другой подход к расчету течений со скачками заключается в изменении вычислительной пропедуры для т|родолжепия решения через скачок. Для этой пели Томас [!954] использовал одномерную полнномиальную интерполяцию высокого порядка д ! I. Равнее техенав дев ударных воен, выделение ударных волн 333 и измельченную сетку в окрестности скачка. Т. Д. Тейлор [1964[ также предложил локальную схему интегрирования при переходе через скачок. Беллман с соавторами [1958] разработал схему перехода через скачок прн расчете по методу характеристик; при этом начальные данные для расчета по характеристикам в плоскости (х,!) находятся с помощью шеститочечной интерполяции Лагранжа по узловым точкам прямоугольной расчетной сетки в плоскости (х,!). При этом выяснилось, что хорошие параметры на скачке и безусловная устойчивость расчета достигались только для уравнения Бюргерса, а для более общих гиперболических уравнений расчет оказывался неустойчивым.
Представляется, что эти старые методы неудобны для расчета на ЭВМ и плохо приспособлены к решению двумерных и нестацнопарных задач. В некоторых случаях слабый скачок внутри течепия невязкого газа можно рассчитывать при помощи метода характеристик как почти линейную волну сжатия. Метод неизэнтропических характеристик Вейнбаума [1966[, например, достаточно точно дает местоположение начальной точки скачка и прирост давления на нем; см, также работу Баума и Оренбергера [197!].
Метод характеристик может быть использован также в сочетании с методом выделения скачка; прн этом появление скачка обнаруживается по пересечению характеристик одного семейства. Распространение скачков в решении, проводимом по методу характеристик, описано Томасом [1954]. Ксерикос [1968], пользуясь цилиндрическими координатами, детально изложил метод выделения головного скачка и скачка, вызванного изломом образующей тела.
Д. Б. Тейлор [1968] разработал метод выделения скачка при решении методом характеристик, позволяющий прослеживать большое число слабых косых скачков. В несгационарном методе Моретти (Мореттп и Лббетт [1966], Морсттп и Ьлейх [1967], Мореттн [1968а]) расчет движущейся ударной волны проводится методом характеристик, а все остальные вычисления осуществляются на четырехугольной сетке, не являющейся характеристической. В отличие от других методов выдеченпя скачков данный метод успешно применялся для расчета обтекания затупленных тел. Использованная здесь четырехугольная сетка не является прямоугольной и не фиксирована в пространстве, а определяется неортогональным преобразованием координат, зависящим от времени так, что в каждый момент времени контур тела и отошедшая ударная волна представляют собой координатные линни. Этому методу прпсу~пп некоторыс недостатки.
Ллгорнтм метода, уравнения и программирование очен, сложны, в особенности при учете эффектов вязкости и прп распространении ззб бл Предааритеяьньье соображения метода на трехмерные течения. При создании программы на ЭВМ необходимо заранес знать двумерную структуру скачков; например, незапланированное появление маховского отражения (Овчарек [1964) ), вероятно, приведет к невозможности продолжения расчета. Кроме того, до настоящего времени не было предложено методов для расчета скачка, формирующегося нри постепенном слиянии слабых волн сжатия, как это происходит в постепенно сужающемся канале или при образовании ударной волны в ближнем следе за телом.
В тех случаях, когда применение метода Моретти возможно, оп дает очень точные результаты и требует мало машинного времени. Дальнейшее обсуждение этого метода см. в равд. 6.2. Частным методом выделения стационарного скачка является обратный лтстод Ван-Дайка для задачи обтекания затупленного тела с отошедшей ударной волной (Ван-Дайк [1958), Гарабедян и Либерштсйп [1958)). Здесь опять решение строится не на фиксированной эйлеровой сетке, а на сетке, меняющейся от итерации к итерации. Задается форма отошедшей головной ударной волны, и уравнения дозвукового течения интегрируются от ударной волны до тела, т. е.
по заданной форме ударной волны отыскивается форма обтекающего тела. В принципе, варьируя форму ударной волны, можно найти желаемую форму тела, однако при нахождении формы тел с резко меняющейся кривизной возникают значительные трудности. Слабой стороной этого метода является то, что для эллиптических уравнений дозвукового течения решается пе краевая задача, а задача с начальнымп данными, которая оказывается неустойчивой (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
