Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Единственно возможными скоростями движения скачка в слУчае б, ( Лх ЯвлЯютсЯ либо )те = О, либо 1', = Лх/Лй Отсюда следуе~, что в случае б; = Лх получить правильную величину скорости скачка невозможно. (5) Большинство опубликованных сравнений различных схем проведено па основе схемы с разностями вперед по времени, в которую может быть введена искусственная вязкость яв для обеспечения линейной устойчивости, Однако члены с искусственной вязкостью могут вводиться и в другие схемы, и тогда относительные достоинства схем могут измениться. Схема фон Неймана -- Рихтмайера по-прсжнему широко употребляется и часто успешно конкурирует с более новыми схемами. Шварц [1967] применил ее для расчета в сферических координатах задачи релятивистской газодинамики о гравитационном коллапсе звезды.
Хикс и Пелцл [1968] обнаружили, что при расчете сильных скачков н волн разрежения она дает лучшие результаты, чем схема Лакса — Вендроффа (равд. 5.5.5, 5.5.6; см. также сравнения в равд. 5.4.4). Лаваль [1969] при помощи схемы фон Неймана — Рихтмайера исследовал процесе З 4 2.
Сне.нм Ландехофа и Лонгла 349 запуска соила. Гофман и Ро [1968], а также Уилкинс [1969] использовали ее в двумерных задачах с лаграпжевым описанием, причем последний применил также перестройку лаграпжевой сетки для нейтрализапни ее больших деформаций. Уилкинс [!970] рассчитывал разнообразные двумерные задачи— от задач теории упругости до газодинамических задач. Изменяющийся внд коэффициента ав брал Ван Леер [!969] для расчета распространения ударной волны в лагранжевых координатах с переменным шагом сетки. Для сравнения различных схем Тайлер и Эллис [!970] применяли эйлерову форму (5.8) козф.
фициспта яв. Плустер [!970] с успехом использовал се для расче~а задач взрыва в цилиндрических координатах. 5.4.2, Схемы Ландсхофа и Лонгли Лапдсхоф [!955] экспериментировал с уравнениями в лагранжевой форме с членом гг, завнсяьцим от градиента скорости не квадратнчпо, а линейно: г)а = — 'lа ро (йх) ! ди(дх 1, (5.10) что эквивалентно введению искусственной вязкости с коэффициентом пв = ро йх/2. (5.! 1) Оп обнаружил, что член г!1 фоп Неймана — Рихтмайера приводит к большему начальному всплеску, но и к большему затуханию осцилляций, чем это имеет место при члене г!ь Он рекомендовал выбирать г) в виде линейной комбинации д = = г1~ + да прп Ь| = '/, в формуле (5.8), что ведет к приемлемому компромиссу. Эмери [1968] указывает, что выбор г!а согласно (5.10) дает большие колебания плотности.
Лопгли [1960] экспериментировал на эйлеровой сетке с четырьмя различными выражениями для искусственной вязкости. Кроме члена е1, фоп Неймана — Рихтмайера и члена г!а Ландсхофа оп рассматривал члены е!з — — — '~аЬ,р Ах [и [[ди~дх [, (5.12) что является явным аналогом неявной вязкости при использовании конечных разностей иротпв потока в методе частиц в ячейках (см. равд. 5.5.1, 5.5.3); в этом случае ав — — Ь|ои Лх/2.
(5.13) Лопглн также предложил свою форму (5.14) Дч Стеллы с кваса кскусствсккои вввкостьло 350 что дает ав= — 5~ — стх= — Ь| Х/ур(Р бх, ) ра 1 2 Р 2 (5.15) где а — скорость звука. Последние две формы искусственной вязкости особенно эффективны в областях торможения при отражениях скачков, в которые другие схемы не работают. При всех четырех формах с) в конечно-разностных схемах получаются правильные скорости движения скачков (из-за применения уравнений в консервативном виде). 6.4.3. Схема Русанова с„=~те,|м кт*'Х* ' ахну (5.!6) где )л= Х/и'+ о' — абсолютная величина местной скорости,ив местная скорость звука.
Тогда с использованием принятых обо- значений в рассматриваемой схеме уравнение (4.63а) запишется в виде дг + д (г + ив~И+ д (ел+ пвлг(/) О, (5.17) ') В этом отношенаа схема Русанова аналогична схеме Лакса (см. раза. 5.5Л). Для расчета двумерных течений особенно эффективной схемой с введением явной искусственной вязкости является схема Русанова (!961). В основе схемы Русанова лежит введспие членов с искусственной диффузней общего вида д(авд(//дх)/дх в конечно-разностные недиссипативные уравнения для дУ/дг (где У = Р, ри, ро, Е.), причем берутся разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным.
Таким образом, в схему вводится не только искусственная вязкость, но и искусственная теплопроводность и искусственная диффузия массы '). Коэффициент искусственной диффузии пропорционален ((л)-(- а и некоторому эмпирически подбираемому параметру ол. Форма д(ссвд(//дх)/дх позволяет получить более точные решения со скачками, чем более простая форма авдЧ//дхэ (Вап Леер 11969) ). Схема Русанова в ее исходном виде содержит ряд тонкостей; в частности, большое внимание уделяется более сложному случаю неравных шагов Лхчь ау, имеющему важное практическое значение.
Эту схему и присущие ей условия устойчивости, удобно описать с помощью введения двумерного числа Куранта 361 5.4.,9, Схело Русанова причем 6 = Лх)'Лд (о,18) (5.1 9) Для устойчивости требуется выполнение во всем поле течения обычного условия Са (1, (5.20) и также еще одного условия, связанного с введением членов с искусственной диффузпей, ! Сап ( со (~ — . (5,21) (Ван Леер [1969] показал, что такой вид достаточного условия устойчивости является общим для подобного класса численных схем.) Скоглунд и Коул [1966] опробовали все комбпнапии пз семи различных значений и (где о=гпах Сев) н шести различных ! значений гн для расчета ударной волны и нашли, что наилучшие результаты достигаются при и ( 0,9 и ю = 0.6.
Онн также заменилн в числе Куранта абсолютную величину )г+ а выражением уг)г'+ а' н благодаря этому значительно увеличили точность расчета пограничного слоя'). Скоглунд и Коул применилп схему Русанова для расчета взаимодействия ударной волны и пограничного слоя с учетом ламинарной молекулярной вязкости. ь(умвальт с сотрудниками успепшо использовали схему Русанова для решения различных задач, в том числе для задач с турбулентной вихревой вязкостью (см. Тайлер [1965], Итон и Цумвальт [1967], Руо [1967), Уолкер с соавторами [1966], Бауэр с соавторами [1968], Прентнс [1971]). Прп помощи этой схемы двумерные течения рассчгпывалн также Кесслер [! 968] и Эмери [! 968].
Руса нов п Любимов [!968] и Русанов [!969] обобщили данную схему на трехмерные задачи'). Гудрпч [1969] с помощью рассматриваемой схемы реп!ил двумерные задачи с учетом ламннарной вязкости. Эмери и 7хшерст [1971[ применяли схему в сферической системе координат. 1) При нестапианарном анализе модификапию, предложенную Скоглундом и Котлом, можно также рассматривать в свете исследований Ван Леера (!969]. В этой моднфикапии величина искусственной вязкости берется как нечто среднее между значением, прннятын в походном методе Русапооа, н минимальным значением, необходимым для лннейнон устойчивостгь т) В этих работах проведено обобгдепне на трехмерный случай не дап.
ной ехеьгы В. В. Русанова, а другон схемы, предложенной К. И. Бабенко и Г. П. Воскресенским 1!96!]..- Прин, Рсд. 352 от. Схехсьс с явыой искусственной вяакостью Схему Русанова часто сравнивают с друшиип схсмамп, и оиа обычно успешно выдерживает эти сравнения, за исключением таких задач, когда производные по времени измепяются быстро; в этих случаях предпочтительнее схемы второго порядка точности по времени (Эмери [1968[).
Прп расчете пестацио~арных течений введение явной искусственной пязьосп| дает не столь плохие результаты, как это могло бы показаться иа первый из~лад. Как и в схеме Лейта (равд. 3.!.!3), применяемой для уравнений певязкого течения, в схеме с разпостямп вперед по времени дополнительный дпффузиоипый члсп прп надтежащей комбинации параметров фактически может аппроксимировать вклад от второй производной по времепи. Для модельного уравнения (5.1), рассматриваемого в случае несжимаемой жидкости, искусствевная диффузия ранна пулю при св = С '), а п)ти от =! и С = 1 получается точное пестационарное решение (Тайлер и Эллис [1970[). В стационарных решениях ошибки, вызваиные введением искусственной вязкости, сохраняются (см.
равд. 3.!.8). К несчастью, комбинация параметров о п св, оптимальная по минимуму толщины скачка и по минимуму диффузионных ошибок, оказывается зависящей от рассматриваемой задачи. Примечательно, что в рассматриваемой схеме введспие искусственно~ вязкости необходимо ие только для размазывания разрывов, но н для обеспечения линейной устойчивости. Несмотря на эти недостатки схема Русанова по справедливости считается наилучшей из всех схем с явной искусственной вязкостью, разработанных для расчета миогомерпых задач па зйлеровых сетках (см., например, Эмери [1968[ и Ван Леер [!969[).
6.4.4. Ошибки, возникающие при введении искусственной вязкости Введение искусственной вязкости часто неизбежно, и оио может быть приемлемо. Однако при введении явкой пскусствеяной вязкости могут возяикать некоторые страппые ошибки, не считая очевидных ошибок, возникающих п прп расчетах течений несжимаемой жидкости (см.
равд, 3.1.8). Шульц [1964) отметил, что простое применение члена с искусственной вязкостью фоп Неймана — Рихтмайера т)~ в цилиндрических плп сферических координатах вызывает диффузию радпилшшй составляющей количества движения. Он предложил тснзор~ую форму дь которая обеспечивает точное сохрапеипс радиальной составляюгцей количества двпжспия. Камерон [1966[ показал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
