Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Эти соображения снова приводят к понятию транспортивных конечных разностей для конвективных членов, обсуждавшемуся в равд. 3.1.8 — 3.1.10. Однако здесь необходимо разрешить возможность нелинейного распространения возмущений вверх по потоку в случае а, ) )г. Поэтому в уравнениях количества движения приходится применять центральные по пространственным переменным разности для члена с градиентом давления, поскольку влияние градиента давления передается вверх по потоку ').
') Курцрок 119Щ опробовал разноств прогна потока, разности по по. току н цснтральцыс разности для граднента давления. Этот зяспернмент и соответствующнй анализ устойчивости пояазалн, что в случае расчета тече. ння в пограничном слое центральные разностп предпочтительнее. Отметим физический абсурд, который возник бы прн аппрокснмацнн конечнымн разностями против потока градпента давления наряду со всеми нонвектнвнымн веявчнвамн. В этом счучае в задаче о квазнодномерном теченнн в канале, опнсзппой в равд.
3 3 9, любые возмущсння в выходном (г' )) сечении потока никогда не будут ощущаться выше по течению н. 368 б.б Схемы с неявной искусственной вязкостью Отметим, что Р нс является переносимой величиной в выражениях дР/дх и дР/ду, но является переносимой величиной в уравнении энергии в члене Ч (ЧР), характеризующем работу сил давления; соответственно для конечно-разностного представления этого члена можно применять разности против потока.
Основное различие свойств систем уравнений для сжимаемой и для несжимаемой жидкости состоит в том, что в первой системе нс содержится эллиптических уравнений типа уравнения (5.27), и, таким образом, система уравнений для невязкой сжимаемой жидкости является чисто гиперболической. Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности анпроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортивпостн приходится жертвовать немногим. Оценка точпостн аппроксимации центральными разностями, проведенная в равд.
3.1.1, основана на разложении функций, описывающих течение, в ряды Тейлора в предположении непрерывности этих функций и их производных. Однако в случае сверхзвуковых течений не- вязкого газа производные, входягцие в уравнения, не обязательно будут непрерывными. Действительно„характеристики определяются как липни, при переходе через которые произвоЛ- ные могут претерпевать разрыв (Курант и Фридрихе [!948], Шапиро [1953]) ').
Значит, разложения в ряды Тейлора здесь не всегда пригодны, и в случае сверхзвуковых течений снижение точности аппроксимации не столь важно а). В течениях вязкого газа характеристик ис существует и прииеденные выше соображения теряют силу. Тем не менее при выборе разностных аппроксимаций для конвективных членов кажется разумным руководствоваться свойствами уравнений течений невязкого газа. Теоретически такой подход не обоснован, однако он подтверждается успешным применением метода характеристик для расчета реальных течений с малыми эффектами вязкости. Лаке [1969] показал, что схема с разностями против потока даст очень хорошие результаты прп расчете скачка в случае уравнения Бюргерса при отсутствии вязкости, но терпит неуда- ударная волна нс сможет распространяться вверх по потоку.
Поэтому при 'численном моделировании было бы невозможно отключить приток воздуха в сверхзвуконую аэродинамическую трубу! ') Именно ага свойство обеспечивает широкое применение метода характеристик; оно позволяет сращивать различные области течения вдоль характеристик. з) Макнамара [19671 ссылается на Трулно (1964), показавшего, что для схем с продвижением репгения по времени при разрывных производных ошиб. ка аппроксимации стремится к нулго не быстрее чем (бх)' . 5.3.3 Метод чпстш) и я«елках и метод «сидкости и ячейках 359 чу в случае полной системы уравнений для сжимаемой жидкостн, а также (что весьма удивительно) в случае лннеарнзованного уравнения Бюргерса прн отсутствия вязкости.
Таким образом, расчеты по нелинейному уравнению более точны, нежели по лннейному уравненню. 5.5.3. Метод частиц а ячейках и метод жидности в ячейках Широко известен метод частиц в ячейках (метод Р1С), первоначально предложенный Харлоу н Эванс [1957[. Происхождение этого метода отличается от пронсхожденпя других методов тем, что прн его развитии основное внимание обращалось не столько на моделирование решений дифференциальных уравнений в частных производных, сколько на моделнрованне основных физических процес„ов прн помощи рассмотрения днскретных частиц. Этот метод определенно можно назвать методом численного моделирования. Расчеты по этому методу проводятся на каждом слое по времени в несколько этапов, прячем сначала по вкладам давления вычисляются некоторые промежуточныс величины, относящиеся к ячейке расчетной сетки, а затем проводится расчет конвектнвных эффектов.
Метод частиц в ячейках слишком сложен для того, чтобы описывать его здесь во всех подробностях. Самая уникальная его особенность состоит в том, что здесь моделируется не движение сплошной среды, а рассматривается набор конечного числа дискретных частиц; пх перемещение через ячейки расчетной эйлеровой сетки рассчитывается прн помощи лагранжевых уравнений, позволяюшнх определить нх координаты н скорости.
Этп частицы не являются просто маркерами, как это имеет место в методе маркеров н ячеек (см. равд. 3.7.4), а действительно входят в расчеты даже прн отсутствии свободных поверхностей н поверхностей раздела сред. Осредненные по ячейке значення термодннамнческнх функций определяются числом частиц в ячейке. Прн использовании всего лишь шести частиц па одну ячейку в среднем н трех частиц на одну ячейку локально были обнаружены высокочастотные осцнлляцнн величин плотности н давления в ячейках, как н следовало ожидать. Из метода частиц в ячейках развился метод моделирования движения сплошной среды, известный под названием метода жидкости в ячейках (метод РШС), Алгоритм этого метода был разработан Джептрн, Мартином н Дали [1966[ па основе более ранней работы Рича [1963] ').
Онн упраздннлн рассмотрение ') О. М. Белоцерковский и Ю. М. Давыдов в статье «Расчет трансзвуьовых течений методом «крупных частиц»» (т)нсленные методы механики сплошной среды, 1970, т. 1, ЛЬ 3) разработалп численный метод крупных зйо 5.5. Схемы с неявной искусстзеннод вязкостью дискретных частиц метода частиц в ячейках, но сохрани.ти большинство других его аспектов.
Метод жидкости в ячейках является двухшаговым. На первой стадии его первого шага вычисляются предварительные значения иччч, о'+' только при учете вкладов от членов с градиентом давления и членов с явной искусственной вязкостью, если таковая вводится. (Обычно используется член с искусственной вязкостшо вида (5.10).) Уравнения записываются в пеконсервативной форме. Затсьч вычисляется предварительное значение внутренней энергии е" ' по уравнению энергии, в котором учитывается только член с давлением: — — — Ч Че — РЧ Ч, (5.30) а также члены с искусственной вязкостью. Дивергенция скорости Ч Ч находится по средним значениям скорости, которая, например, для составляющей и рассчитывается как й,, = Чз (и",, + +и",+'), причем предварительное значение и"~' уже определено; аналогично находится среднее значение и для составляющей о. На втором шаге производится только учет вклада от конвективных членов, При помощи схемы с донорными ячейками (вторая схема с разностями против потока, см.
равд. 3.1.11) по предварительным значениям составляющих скорости и"чч и оччч вычисляется поток массы через каждую из сторон ячейки. По потоку массы находится новое значение плотности рччч, а далее копвективные вклады в значения и, о и ех = Е,/р. Заметим, что эти окончательные конвективиые вклады надо прибавлять к предварительным значениям и"е' и т. п., а не к первоначальным значениям ич и т.
п. Вычисления по методу частиц в ячейках проводятся аналогично, за исключением того, что поток массы находится по конечному числу частиц, притекающих из донорной ячейки. Частицы не располагаются в центре ячейки, а каждая частица р имеет свои лагранжевы координаты хр и ур. Частицы перемещаются с осредненной скоростью, которая определяется по такой же формуле, что и в методе маркеров и ячеек (см. формулу (3.605) равд.
3,7.4). Если частица пересекает сторону ячейки, то за счет ее массы, количества движения и внутренней энергии меняются соответствующие средние величины в новой ячейке и по этим величинам вычисляется давление в этой ячейке. Как было отмечено выше, возникающие мгновенные сгущения и разрежения частиц в ячейках вызывают хаотические высокочастотчастиц; его разностная схема, отличающаяся от схем Р1С н Г1.1С, консервативна и устойчива без ввснения явной искусственной ввзкости, а схемная вязкость позволяет вести сквозной расчет ударных волн — 0рим. ред. Д5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
