Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 86
Текст из файла (страница 86)
3.1.13). Детали этой схемы можно найти в работах Мак-Кормака [1971], а также Катлера и Ломекса [197!). Мак-Кормак и Полли [1972] рассматривали различные аспекты расщепления по времени применительно к данной схеме, а также аппроксимации для смешанных производных в членах уравнений, включающих вязкость. Не совсем очевидно, что эта схема является схемой типа Лакса — Вендроффа, не очевидно даже, что схема аппрокснмирует исходные уравнения в частных производных, однако полученные при ее помощи замечательные результаты (Мак-Кормак [!969, !970), Катлер [!969], Ломекс с соавторами [!970), Катлер и Ломекс [1971)) поддерживают уверенность в этом. Поскольку в схеме не требуются значения Г,- гм в точках с полуцелыми по пространству индексами, здесь не возникает трудностей с применением граничных условий (за исключением вариантов схемы с использованием расщепления по времени).
Данную схему опробовали Тайлер и Эллис (1970] при расчете сильных одномерных ударных волн по уравнениям при отсутствии вязкости, Катлер и Ломекс [1971] при расчете висячих скачков внутри поля трехмерного течения и Андерсон (!970б) при расчете квазиодномерных течений с неравновесными химическими реакциями, Ли [!971) использовал эту схему в сочетании с методикой выделения скачков для расчета осесимметричных течений с химическими реакциями. Томас с соавторами [197!) применили схему (также в совокупности с методикой выделения скачков) для численного решения трехмерных задач, продвигая решение по осевой координате, в данном случае игравшей роль времени. В настоящее время схема Мак-Кормака весьма широко применяется для расчетов аэродинамических задач.
Однако Таркел [1974) отметил, что эта схема может быть неустойчивой при 378 8.б. Схема~ с неявноп аскусственнод вяакостмо расчете некоторых двумерных течений цевязкого газа, а Тейлор с соавторами [1972) обнаружил ее неустойчивость при расчете одномерных волн разрежения в невязком газе. Б этих двух статьях, а также в статье Лидер«она [1974) проведено сравнительное изучение различных схем. Униан«кение. Показать, что в при.ложенип к одномерному модельному уравнению (5.1) прн С пдбдх=о схема мнвк-Кормака дает точное решение ит — — и,. и Показать, что схема Иак-Кармана аппраксимирует уравнение п~-1 и (8.1) в некоисерватнвноа форме. Описать схему с иентрироваинем по вре. мени. Рассмотрим другие двухшаговые схемы типа Лакса — Вепдроффа и их приложения.
Рубин с соавторами [1967) брал схему Берстейна (5.82) для расчета одномерного течения излучающего газа. Уоткинс [!970] разрабо~ал новую двухшаговую схему решения «жестких» уравнений (см. равд. 3.6.5), описывающих течения, в которых происходят химические реакции. Кенцер [1970б] экспериментировал, проводя расчеты течения без скачков при помощи различных весовых комбинаций и различных чередований схемы Лакса и схемы «чехарда» подобно тому, как это сделано в схеме Рихтмайера (5.79). Стренг [1963] описал схему, аналогичную первоначальной схеме Лакса — Вендроффа (5.72) — (5.74), а впоследстнии Гурли и Моррис [!9686] дали ее многошаговый вариант с расщеплением по нремепи Марчука (равд.
3.1.13). Фройднгер с соавторами [1967] разработал схему «с перекидыванием», для условной устойчивости которой необходимо наличие в уравнениях физических вязких членов (при малых числах Рейнольдса). Гурли и Моррис [1971] рассчитывали одномерные ударные волны, вводя разностные представления из двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа в схему «классикн» (см. равд. 3.1.!8, а также Эймс [1969]). Боули и Принс [1971] обобщили двух- шаговую схему Лакса — Вендроффа для применения на расчетной сетке с трапециевидными ячейками. Как и в первоначальной схеме Лаков — Вендроффа, во всех этих вариантах двухшаговой схемы для затухания осцилляций за сильными скачками может понадобиться дополнительное введение явной искусственной вязкости.
Лапидус [!967], а также Эрдош и Заккаи [1969) добавляли члены с искусственной вязкостью типа Русанова (см. равд. 5.4.3). В работе Тайлера и Эллиса [1970] проводится сравнение этих способов и способа Тайлера обеспечения добавочного демпфирования. В случае одномерного модельного уравнения (5.1) Тайлер заметил связь, существующую между различными схемами; при значении входящего в схему Русанова параметра ш = 1/С она сводится к схеме Лакса, а при ш = С вЂ” к схеме Лакса — Вепдроф- 379 З д7 Схема Ллнрбанехл и |!еаеа фа, которая в этом случае эквивалентна схемам Лейта, МакКормака и другим двухшаговым схсмам.
При отношении давлений ца скачке порядка десяти схема Рихтмайера (5,79) дает толщину скачка около ЗЛх и максимальный всплеск за скачком около 20%, модифицированная схема Мак-Кормака (5.90) дает толщину скачка около 6Лх при определешп| ее по выходу на почти равномерный поток или около ЗЛх при определении ее по положению фронта максимального всплеска; прп этом максимальный всплеск составляет около 8%. В упомянутой выше статье можно найти и сравнения других схем, но самое важное в ней состоит в том, что Тайлер показал, каких замечательных результатов можно добиться добавлением в уравнения количества движения и энергии членов с явной искусственной вязкостью (объемной) типа фон Неймана — Рпхтмайера по аналогии со схемой Лонгли (равд. 5.4.2).
Тайлер добавляет член с искусственной вязкостью вида г/ = — Ь, Лхр(! и !+ а) ди/дх, (5.91а) т. е. полагает ив =Ь| Лхр(1и |+ а). (5.9! б) Члены с искусственной вязкостью представляются разностями вперед по времени. Из-за неявного сглаживания, присущего двухи|аговым схемам, приемлемы малые значения Ь~. При этом толщина скачка при расчетах по двухшаговой схеме Рихтмайера составляет от 2Лх до ЗЛх, а по модифицированной схеме МакКормака — от ЗЛх до 4Лх; максимальный всплеск за скачком был лишь 0.18% для обеих схем при Ь| =О.!5 и Ь~ =0325 соответственно (см.
рис, 5.!). Тайлер и Эллис (1970) проверяли схемы также на расчете течений с волнами разрежения и скачками. Ввиду успешности этих численных экспериментов и легкости обобщения на многомерные задачи искусственную вязкостьТайлера (5.91) можно рекомендовать для класса двухшаговых схем Лаков — Вендроффа. б.б.7. Схема Абарбанеля и Цваса Абарбанель и !!вас (1969) исследовали класс схем, основанных ца многократном применении первоначальной схемы Лакса — Вепдроффа (5,72) — (5.74). Обозначим схему Лакса — Вендроффа (5.72а) оператором /.
и запишем (/"+ = (/" + /. ((/"). (5.92) Абарбапель и Цвас предложили общую итерационную формулу (/|"' ' =(/" + Г ° й((/м' ' ) + (! — Г) ° Е((/"). (5,93) 380 5 5 Слсянл с неясной исядссгаснноя оялноссьм Максимальное значение л н коэффициент Г, выбор которого приводит к явной нли неявной схеме, могут изменяться. При таха- о и Г=1 схема превращается в по, и""тью неявную схему Лакса — Вендроффа Ел" л ' = Е'"+ Е (У"+'], (5.94) а при Г = 0 сводится к своей первоначальной явной форме (5.92). Наилучшие результаты были получены для простейшей формы схемы (5.93) нри Г = 1 и одной итерации; в этом частном случае двухшаговая схема принимает вид и" ' = Ег" + Е(С~"), (5.95) ЕГЯ+ Е((7Я-ьл (5.96) Абарбанель и Цвас применяли данную схему для расчета одномерного распространения ударной волны в лагранжевых переменных. Они нашли, что проведение итераций более эффективно, чем введение явной искусственной вязкости, предложенное Лаксом и Вендроффом ]1960], Наиболее суровыми условиями проверки схемы являются большие перепады давлений на скачках и малые значения показателя адиабаты у.
Для отношения давлений на скачке, равного 4, и для у = 1.2 схема (5.95), (5.96) давала толщину скачка б, от бйх до 8Ах и, что важнее всего, отсутствие осцилляций давления (монотонные профили давления). Эта схема еще не применялась в эйлеровых переменных, однако представляется, что здесь она была бы перспективной. Абарбанель и Гольдберг 11971] рассчитывали по ней распространение цилиндрической ударной волны.
Как было указано выше (равд. 5.5.5), в многомерных задачах оператор Лакса— Вендроффа Е существенно усложняется. Поэтому очевидным развитием схемы Абарбанеля и 1(васа была бы замена оператора Е в выражениях (5.95) и (5.96) одним из двухшаговых операторов, описанных в предыдущем разделе.
В случае двух измерений подобная четырехшагоная схема требовала бы только около четверти машинного времени, требуемого схемой (5.95), (5.96), и около половины машинного времени, требуемого первоначальной схемой Лакса — Вендроффа. Однако не было попыток осуществить такое очевидное развитие данной схемы. Очевидно, что эта схема дает для стационарного регцения ту же искусственную вязкость, что и схема Лакса — Вендроффа. б.б.8.
Другие схемы; алгоритм Бориса переноса с коррекцией потонов Различные схемы для расчета скачков в лагранжевых переменных можно найти в книге Рихтмайера и Мортона 119671, да В. Лругяе с»»лы Зв! Схема Годунова [1959] (см. также Годунов с соавторами [1961]) является двухшаговой схемой первого порядка н дает размытые скачки. Как и в двухшаговой схеме Рихтмайера и других схемах, описанных в разд. 5.5.6, второй шаг в ней проводится ио схеме кчехарда», Однако проведение первого предварительного шага осуществляется очень интересно. В лагранжевых переменных необходимо вычисление предварительных значений и" ~' и Р"'~ на (и+ 1)-м шаге по времени (рассчитывать Е не обязательно). Эти предварительные значения определяются нри помощи решения задачи Римана о распаде разрыва (см., например, Овчарек [1964]) на границе расчетной ячейки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
