Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 81
Текст из файла (страница 81)
что введение явной пскусствсппой вязкости приводит к совершеппо псоитидапптям ошибкам при '1 Здесь С = йабхх — число Куранта двя ураанення (5.1). ззз б.5.С Схемы с ровностями против патока расчете распространения ударных волн через границы раздела сред или через линии, где меняется шаг сетки Ьх. Член с искусственной вязкостью фон Неймана — Рихтмайера д, вызывает ложные флуктуации энтропии и плотности при пересечении ударной волной границы раздела сред. При изменении пространственного шага сетки бх возникает также ложная ударная волна, отраженная от липин, где происходит изменение шага, а скорость действительной ударной волны при этом меняется.
Камерон обнаружил, что введение члена с искусственной вязкостью Ландсхоффа дт не оказывает вредного влияния на скорость ударной волны в месте изменения шага сетки, однако вязкость Ландсхоффа менее удобна, чем вязкость фон Неймана — Рпхтмайера, поскольку приводит к резкому изменению толщины ударной волны в месте изменения шага сетки. Камерон вводил оба члена д1 и дь чтобы ошибки от их введения частично компенсировали друг друга.
Он добился также правильной скорости распространения ударной волны через границу раздела сред, меняя шаг сетки Лх при переходе через эту границу, однако при этом по-прежнему возникала ложная отраженная ударная волна. Хигби и Плустер [19881, рассчитывая распространение ударной волны в лагранжевых переменных, изменяли искусственную вязкость фон Неймана — Рихтмайера таким образом, чтобы при непрерывном изменении шага сетки толщина скачка, выраженная в единицах длины шага, оставалась постоянной.
Этот прием приводил к исчезновению флуктуаций в решении, 5.5. Схемы с неявной искусственной вязкостью Вместо явного введения в уравнения членов с искусственной вязкостью типа д1 искусственное затухание может вноситься неявным образом просто за счет выбора конечно-разностной схемы. Схема привносит в одних случаях искусственную схемную вязкость в виде ненулевого коэффициента при вторых производных по пространственным переменным, а в других — искусственное схемное затухание, когда все собственные значения соответствующей матрицы перехода становятся по модулю меньше единицы.
В обоих случаях для стабилизации расчета сильных ударных волн в этих схемах может потребоваться и введение дополнительной явной искусственной вязкости. 6.6.1. Схемы с разностями против потока Вторая схема Куранта, Изаксона и Риса [1952[, описанная в равд. 3.1.8, является схемой с разностями против потока или схемой с односторонними разностями. Для уравнений в лагран- 354 В.д Схемы с неявной искусственной вязкостью (ри)".т, — (ри)Ч (5.22б) при и, <0; (ри~)л (рит)л Рл Рл (5.23а) 2Л» Ах при сс,>0, (ри ),Е+, — (рит)л л л Рсы — Рт-~ (5.23б) 2их Ьх при и;<О; [ и(Е + Р)[", — [ и(Е + Р)1л (Ев) ~с~ — (Ес) т (5. 24а) при и;>О, (и(Е + Р)11" — [и(Е .1" Р) )л (5.24б) Ьх прн и;<О. Эта схема очевидным образом обобщается на двумерный случай, Исследование Курцрока [1966[ показало, что устойчивость здесь ограничена не только величиной числа Куранта, но и следующим условием: [и [ах+[о 1/Ьу [1 и РЛ + 1о [тау + ( /а ) Ьг~ + рт )' или при Лх = Лу = Л (т.
е. при р = 1) — условием ([и[+~о[)Л (5.25б) жевых переменных она была также предложена Лелевье (см. Рихтмайер [1957[) и поэтому часто называется схемой Лелевье (см., например, Крокко [1965], Робертс и Вейс [1966), Курцрок и Мейтс [1966[).
В уравнении (4.63) для каждой нз переносимых величин (т', входящих также в Р и 6, конечные разности составляются согласно знаку скорости конвскпин и пли о соответственно. Однако в уравнениях количества движения члены с градиентом давления не должны представляться разностямп против потока, как это будет обсуждаться в следующем разделе. В случае уравнений (4.66) для одномерного движения невязкого газа первая схема с разностямп против потока приводит к следующим уравнениям: — с > О (5.22а) аг збб Б.Д/. Схемы с рпзносгями против иогана В области торможения потока и в областях возвратных течений, т.
е. там, где и-ьО, о-ьО, последнее ограничение является доминирующим (см. также разд. 5.5.3). Модификации первой схемы с разностями против потока, необходимые для достижения строгой консервативности в областях изменения знака скорости, проводятся так, как описано в равд. 3.1.10. Более точная вторая схема с разностями против потока строится так, как описано в равд. 3.1.11. В схемах с разностями против потока эффективная искусст.
венная схемная вязкость вводится через ошибки аппроксимации односторонними конечными разностями. Такая схема добавляет в уравнения (4.63) члены с искусственной схемной диффузией для величин (/ = (р, ри, рг', Е,). Согласно рассуждениям, проведенным в равд, 3.1.8, коэффицненты схемной диффузии в направлениях х и у в нестационарном случае имеют вид а,„.= '/зи Лх (1 — иЛ//Лх), а,„= '/еа Лу (! — и Л//Лу), (5.26а) а в стационарном случае — внд а,„= '/еи Лх, а,и — — '/зп Лу.
(5.266) Заметим, что эти вязкостные эффекты не эквивалентны физической вязкости, так как коэффициенты схемной вязкости зависят от направления п от составляющих скорости. Упражнение. /!ля течения, парзллельного осп х, прн дс//дх = О в прн произвольном распределении плогноств в направлении у рассмотреть разлнчня в понеденнн нскусственпой вязкостн, вводимой н схеме Русанова, н искусственной вязкости, вводнмой в схеме с разностями против потока. Неявной схемной искусственной вязкости обычно недостаточно для того, чтобы стабилизировать решение прп появлении в невязком течении сильных скачков (Рихтмайер [1957)),однако Курцрок и Мейгс [1966], Скала и Гордон [1967), Роуч и Мюллер [!970) успешно применяли подобные схемы для расчета течений с малыми (сеточными) числами Рейнольдса ').
Этот подход лежит также в основе метода частиц в ячейках и метода жидкости в ячейках, которые будут кратко описаны ниже, Схемы с конечными разностями против потока обладают свойством транспортивности (см. равд. 3.1.9, 3.!.10), которое существенно как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Имеющая при этом место утрата нторого порядка точности аппроксимации по пространственным переменным играет значительно меньшую роль в сверхзвуковых течениях, чем в дозвуковых; мы сейчас переходим к обсуждению этого вопроса.
') Скала и Гордон [19671 представляли конвектнвные члены конечными рааностямн против потока, но в более сложном алгоритме, как в методе Шел. дона для решения уравнения Пуассона (см. равд, 3.2.7). Ззб б.д Схеме~ с неявной иснчсстеенной вязкостью б.б.2. Область влияния и ошибки аппроксимации В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных и соответствующих конечно-разностных уравнений.
Нашей целью будет показать, как прн помощи конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки аппроксимации по пространственной переменной не столь сильно возрастают по сравнению со схемами с центральнымн разностями. Рассмотрим сначала уравнения для несжимаемой жидкости: тттяф (5.27) У = — Ч (УЦ+ 1 7'-1.
(5.28) Уравнение переноса вихря (5.28) является параболическим, и для него ставится задача с начальными данными с ограниченной пространственной областью влияния в предельном случае течения невязкой жидкости 1/Ке = О (если рассматривать это уравнение изолированно). Однако уравнение (5.27) является эллиптическим, и для него ставится краевая задача. Поэтому даже в случае 1/йе = О возмущение ь в какой-либо точке поля течения немедленно передается во все другие точки через нелинейный член, содержащий скорость У, зависящую от тр, а, следовательно, в силу уравнения (5.27) и от ь.
Это свойство наследуется и соответствующими конечно-разностнымп уравнениями. Можно сказать, что для системы (5.27) — (5.28) и соответствующей системы конечно-разностных уравнений скорость распространения возмущений бесконечно велика. Все уравнения течения сжимаемой невязкой жидкости являются уравнениями переноса типа уравнения (5.28), и поэтому для них ставится задача с начальными данными. Скорость распространения возмущения здесь конечна; малые линейные возмущения распространяются с изэнтропической скоростью звука а относительно газа и со скоростью У + а относительно неподвижной эйлеровой сетки.
Следовательно, при У ) а, т. е. при М ) 1, возмущения не распространяются вверх по потоку. Эти свойства сразу приводят к широко известному понятию конуса Маха, т. е, к принципу отсутствия влияния вверх по потоку. Рассмотрим теперь распространение возмущений в случае конечно-разностного уравнения. При использовании центральных конечных разностей любое возмущение, имеющее место я узле (~', 1] сетки в и-й л~омент времени, распространится в узлы (1ш 1, 1 -1) сетки в (и+!)-й момент времени неза- 337 Д32 Обяаггь аяаякил и ошибки аппроксилгации висимо от величины ша~а Лб Значит, расстояния, на которые распространяются возмущения, будут все время одни и те же, Лх и Лзц и, следователь.ю, скорости распространения возмущений будут Лх/Лг' и Лу/Лг'. Нсобхг.димое условие устойчивости Курапта — Фридрихса — Леви 11928~ требует, чтобы область влияния конечно-разностных уравнений по меньшей мере включала в себя область влияния исходных уравнений в частных производных, т .е.
чтобы выполнялось неравенство Лх/Лг ) ) 'г'+ а, или неравенство С= (Р+а)бг (1 бг где С вЂ” число Курапта. В зада шх с сильными ударными волнами, где предположение о малости возмущений неверно, замена скорости звука а нелинейной скоростью распространения скачка а, ) а приводит к условию фон Неймана — Рихтмайера 11950]. Курант с соавторами 119281 не требовали ничего другого от конечно-разностцых уравнений, так как пх целью было только доказатсльство существования решения.
Однако очевидно, что было бы желательно сохранить в системе конечно-разностных уравнений некоторое подобие ограничения области влияния вверх по потоку, которым обладает исходная система уравнений в частных производных. Самое большее, что можно сделать, работая на прямоугольной сетке, это ограничить распространение возмущений в положительном или отрицательном направлении в соответствии с и и в. Данные соображения побудили Куранта, Изаксона п Риса 11952) составлять на прямоугольной сетке конечные разности против потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
