Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 77
Текст из файла (страница 77)
равд. 3.2.8). Успешность применения этого метода определяется применением одиннадцатиточечной интерполяции для сглаживагшя производных от начальных данных вдоль ударной волны. Если между ударной волной и телом брать более семи точек, то может наступить неустойчивость. Однако для гладких тел при больших числах Маха метод дает быструю сходимость и применяется для расчетов, Укажем некоторые работы по другим методам и алгоритмам, предложенным для решения обратных задач.
Уэбб с соапторамп [1967) проводил расчеты иа ЭВМ с удвоенной точностью для уменьшения ошибок округления и был вынужден сглаживать начальные данные для обе печения устойчивости. Их схему нельзя считать удовлетворительной, так как неясно, чем определяется полученное решение: физикой явления нли сглаживапием начальных дапных. При помощи обратного метода Брнггс [1960) решал задачу об обтекании эллиптяческого конуса под углом атаки. Много вопросов, связанных с обратным методом, затронуто ть работе Пауэрса с соавторамп [1967]. Джонс [1968) разработал обратный метод для конических тел, 5 ДД Рвечет течений дев ударивших волк, вмделекие ударных волн 337 в котором вместо итераций по отклонениям в форме тела (на поверхности которого нормальная составляющая скорости обращается в нуль) рассматриваются повязки этой составляющей скорости в точках желаемого положения тела. При этом Джонс исходил из точного решения Тейлора — Макколла (см.
Овчарек (1964) ) для обтекания конического тела при нулевом угле атаки, вводя малые возмущения угла атаки или формы обтекаемого тела. Обтекание затупленного тела под углом атаки рассчитывали обратным методом Махин и Сягаев (1966). Кайрис 119701 разработал метод, в котором объединены конечно-разностная схема на смешанной лаграпжево-эйлеровой сетке для расчета течения без скачков и обратный метод для расчета скачка. Много алгоритмов обратного метода и метода характеристик используется в промышленности (см, работу Морено (1967], содержащую также библиографию по этой теме).
Морено (1967) отмечает, что при некоторых заданных начальных формах ударной волны могут возникать особенности в решении, вызывающие расходимость итераций. Необходимо еще отметить, что при гиперзвуковом обтекании даже простой конфигурации— конуса со сферическим затуплением — кривизна ударной волны цс всегда монотонна (Уилсон [19671), а может иметь точку персгиба, что, разумеется, может привести к прекращению расчета. В настоящей книге основное место отводится методам расчетв нестационарных течений на эйлеровых сетках, которые допускают образование скачков в течении, но не требуют какого- либо специального алгоритма для этих скачков и даже просто его обнаружения.
Такие методы носят название методов «размазывания» скачка (з)тос)г-згпеаг(пд) илн методов «улавливаниях скачка (зйос1<-сар1пг(пд) в англоязычной литературе и методов сквозного счета в литературе на русском языке (см., например, Годунов и Семепдяев (1962)). Если нас интересует только стационарное решение задачи, то можно проводить не- стационарные расчеты и выйти на стационарное решение (если оно существует) при больших значениях времени (так же, как в гл. 3).
В литературе на русском языке этот подход называется методом установления (Браиловская с соавторами 11968]) или методом асимптотичсского стационнрованпя. Конечно, если нестациоиарное решение не представляет интереса, то при вышеуказанном подходе появляется дополнительная гибкость, связанная с отсутствием необходимости моделировать реальные физические иестационарные процессы. При таком подходе, нанример, можно использовать схемы первого и меньшего порядка точности по времени. Крокко (1966) предложил схему, в которой конечно-разностпые уравнения фактически б.б Предварительные соображению аппроксимнруют исходную систему уравнений в частных производных лишь в стационарном случае, и эта схема обладает хорошей сходимостью.
Симуни (см. Браиловская с соавторами [1968] ) разработал метод установления с рассмотрением зависящих от времени граничных условий,стремящихся к граничным условиям исходной задачи только при достижении стационарного решения. Фройдигер с соавторами [1967] также рассматривал нестационарный расчет лишь как итерационную процедуру и указал на возможность изменения Ггг по пространству для ускорения сходимости.
Поскольку ни одна из этих идей пе была развита в систематический метод, они не будут обсуждаться в настоящей книге, однако их следует иметь в виду для дальнейшего развития метода установления. 6.1.2. Исследованнв устойчивости Замечания, сделанные в разд. 3.1.5.г по поводу критериев устойчивости и методов ее исследования, остаются в силе и здесь.
Дополнительные сведения, касающиеся, в частности, устойчивости в гиперболических системах, можно найти в работах Куранта, Фридрихса и Леви [1928], Лакса [1954, 1957, 1958, 1961], Лакса и Рихтмайера [1956], Лакса н Вепдроффа [1960], Крейса [1964], Стренга [!964], Лакса и Нирепберга [1966], Парлетта [1966] и Бранловской с соавторами [1970]. Определения и условия, рассматриваемые в этих работах, конечно, не всегда справедливы для нелинейных задач, в особенности прн наличии скачков. Исследовать устойчивость системы уравнений, подобной (4.55), труднее, чем в случае течения несжимаемой жидкости. В системе уравнений с переменными ф, с исследовалось на устойчивость независимо одно параболическое уравнение, а влияние ф устранялось с помощью липеаризацнн.
Аналогично связь между записанными для простейших физических переменных уравнениями, обусловленную наличием копвектнвных членов и членов с градиентом давления, можно было устранить путем липеаризацнн. Однако это невозможно проделать для уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости. Хотя конвективные члены типа д(рии)/ду можно линеаризацией свести к виду гтд(ри)/ду, с членами, содержащими градиент давления, этого сделать не удается, и они влияют на поведение даже лпнеаризованпой системы.
Поэтому модельное уравнение ди дгг дггг — =- — й — + а— дГ дх дх' ' (5 1) па котором часто изучается устойчивость уравнений. описывающих течение несжимаемой жидкости, не моделирует поведение ЗЗ9 б!.2. Исследование дстопчиаости уравнения количества движения сжимаемой жидкости (4.42б) 11аже в случае одного измерения, так как в нсм нет членов с градиентом давления ').
Для исследования устойчивости полной линеаризованной системы уравнений нужно воспользоваться матричными методами исследования устойчивости (см, Эймс (1969], Митчелл (1969) ), что выходит за рамки настоящей книги. Используем, однако, прием, который позволит сделать некоторые выводы об устойчивости уравнений для сзкимаемого газа па основании простого модельного уравнения (5.1). Как мы видели в гл.
3, типичным условием устойчивости для уравнения (5.1) является ограничение на число Куранта С =~ й)Л1/Лх(1, (5,2) Это неравенство следует пз рассмотрения певязкпх членов в уравнении (5.1), т. е. прп сс = О. В уравнении (5.1) прп сс = О информация переносится с копвективпой скоростью непрерывной среды. На каждом расчетном шаге по времени возмущение в Лй точке влияет па новое значение в (с'+ 1)-й точке.
Это означает, что за каждый шаг по времени Л1 информация переносится на расстояние Лх и, таким образом, вьшислигельная скорость распространения информации равна Лх/Лб Неравенство (5.2) означает, что скорость распространения информации в непрерывной среде нс должна превышать вычислительной скорости распространения информации, т. е. )й ~(«Лх)ЛЛ (5.3) В течениях сжимаемой жидкости члены с градиентом давления меняют скорость распространения информации в среде; она уже пе равна с), а несколько больше. Рихтмайер и Мортон [1967) словесно описали путь получения зависимости скорости распространения информации в среде от давления.
Мы же здесь просто ограничимся злементарпымп газодинамическими соотношениями. Малое возмущение давленпя распространяется с местной скоростью звука а относительно газа, который сам движется со скоростью й. Возмущения давления распространяются во всех направлениях, п необходимо рассматривать толысо а ) ) О. Таким образом, скорость распространения информации в сжимаемой жидкости равна 1й1+ а, и тогда ограничение на число Куранта записывается в виде С= ( бх ') К счастью, однако, вязкие члены уравнений для сжнмаемоб зкидкости, содержащие смешанные ироизводные, здесь ие существенны, и в этом отношении уравнение (бд) моделирует уравнение (Ллйб); см.
равд. б.б. З4О б.т Предваригельнь>е соображения 1 1 С =- = плп С(= 1з ч>3 (5. 4б) соответственно для двух или трех простраиствеипых коордииат '). Использование схемы расшеплеиия по времени Марчука [1965! с раздельным расчетом вкладов от каждого измереиия приводит обычно к одномерному условию (5.4а); см.
также работы Гурли и Митчелла [1969б), а также Мак-Кормака [1971~, В литературе приводилось еше одно дополнительное ограиичеиие па шаги расчетной сетки. Гудрич [1969), пользовавшийся иестациоиариой схемой Русакова (равд. 5.4.3) и полпыми урав- ') В более обмяк случаях ямеем ду дкдг с~< иле С ~< — (бые) задке+ ду' ~дльдрх ! духдее ! дехдхх Это и есть условие устойчивости Кураита — Фридрихса — Леви [1928), или КФЛ-условие. Переформулироваипое в других терминах, оио констатирует, что область влияния коиечио-разиостиых уравнений должна бь~ь по меньшей мере столь же велика, как область влияния исходных диффереицпальиых уравнений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
