Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 72
Текст из файла (страница 72)
3.1.2!) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25'/в от общего времени решения всей задачи. На машине 1)И!ЧАС 1!08 для расчета одного слон по времени потребовалось 2 секунды на сетке 14 Х 14 Х 14 н 96 секунд на сетке 60 Х 32 Х 34. Как показали Азиз п Хсллумс [1967], задачу о пространственном течении несжимаемой вязкой жидкости можно поставить и решить, взяв систему уравнений, аналогичную (вр, ~)-системе (см.
также Хирасаки (1967] ). Обычно вектор вихря определяется следующим образом: ь '= Ч Х Ч, (3.616) 8.8. Трехмерные течения зы (3.619в) Для плоского течения ар= (0,0,трх) и тр = зря, что приводит к обычным в этом случае формулам для и и о. Из уравнений (3.619а) и (3.6!6) следует, что ЧХ(ЧХ4)=~. (3.620) При определении зр возникает дополнительная степень произвола. Можно потребовать, чтобы вектор тр был соленоидальным, т. е, чтобы Ч ° ф = О. (3. 62! ) Можно показать, что это дает возможность записать уравнение (3.620) в виде векторного уравнения Пуассона Ч-'ф = — ~, (3,622) ') См. также работу сотрудников Зймсского исследоватсльсного центра ВАСА Мартина н Болдуина !1972].
Д-р Мартин указал автору па ошибку, допущенную в нервом издании настоящей книги, где в уравнениях (6.618) не было последних слагаемых. (см., например, классическую книгу Ламба [1945]')). Все ме- тоды расчета, разработанные для плоских течений, пригодны и в трехмерном случае. В этом случае (в отличие от плоских те- чений) в уравнениях появляются члены вида ~ Чи, описываю- щие усиление вихря за счет растяжения вихревых нитей.
В раз- ностной форме эти члены можно или брать с предыдущего слоя по времени, или итерировать в неявных схемах подобно тому; как это делается с нелинейными конвективными членами, содер- жащими скорость. В общем случае для пространственного течения функции тока ф как таковой не существует, т. е. не существует такой функции зр, что изолиния ф =сопз1 представляет собой линию тока. Но для соленоидального векторного поля (т. е.
поля, которое удов- летворяет уравнению неразрывности в трехмерном случае Ч.Ч = 0) существует так называемый векторный потенциал ф = зр„! + зр, 1+ т!м1с, такой, что скорость будет равна го! тр (Не надо путать векторный потенциал с потенциалом скорости в двумерном течении невязкой жидкости, который вводится условием, что ~ = 0 во всех точках течения.) Таким образом, Ч=ЧХ р, (3. 619 а) дф» дзуе и= — — — —, да дх (3.619б) д Р„ д Ре о= — —— да дх дфи даря то= — —— дх дд (3.619г) 3! 2 3.8. Трехмерные течение Следовательно, на каждом шаге по времени необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона. В трехмерном случае граничные условия на стенке с прилипанием уже не столь просты, как для плоского течения.
Здесь уже не все составляющие вектора вр равны нулю; равны нулю только касательные к стенке составляющие и производная нормальной составляющей по нормали к стенке. Например, для стенки х = х., параллельной плоскости (у, г), имеем дух!дх=О, фе=$,=0. Составляющие вектора вихря на степке с прилипанием можно выразить через составляющие скорости по формулам (3.617). Опять на примере стенки х = х„, параллельной плоскости (у, г), будем иметь ьх = О, ье = — дш7дх, йх = да7дх. (3 624) Азиз и Хеллумс 11967] предлагают находить составляюшие вихря на стенке непосредственно из условия (3.624); на стенке прп 1 = 1а это дает две) Г4муа+ц й й) — ыца+2, й й)1 2 ах + О (Лх5.
(3.625) Аппроксимация второго порядка точности не нашла успешно~о применения, и данный подход пе использовался для решения каких-либо задач со вдувом. Очевидно, вычислительные граничные условия для таких задач, рассмотренные в равд. 3.3, нужно сначала переписать в составляющих вектора скорости (и, п), а уже затем применять с должной осторожностью для (вр, й)-системы. Прп обсуждении сравнительных достоинств (х', Р)-системы и (тр, Ь)-системы произойдут некоторые изменения.
Теперь для обеих систем необходимо решать трн уравнения переноса параболического типа; уравнения (хт, Р).системы все еше остаются сложнее из-за наличия членов 0н, ы а неявные методы все еше не нашли успешного применения для решения (У, Р)-систем.
Для решения (тр, ь)-системы Азиз и Хеллумс с успехом применили неявную схему метода чередуюшпхся направлений. В (Ч, Р)-системе необходимо решить одно трехмерное уравнение Пуассона Кхр = 5, с граничными условиями Неймана на всех границах, тогда как в (~, ь)-системе необходимо решить трн трехмерных уравнения Пуассона Чхвр = — ь. Однако в задаче о естественной копвекцни, которую рассматривали Азиз и Хеллумс [1967), для каждого из этих трех уравнений Пуассона вдоль двух границ ставятся условия Дирихле, а вдоль третьейв 3.8. Трехмерные тенения 313 >7' Ч = Ч Х ~ или в скалярной форме (3.626а) дь дье !!еи = — — —.", (3.626б) ду дг дх дхх >7> х х де дх' (3.626в) дГе дЬ е х дх ду Фасел [1975) использовал систему (3.626) для исследования устойчивости течения в пограничном слое в плоском случае; оказалось, что для системы двух уравнений Пуассона для скоростей и и о, которая имеет более высокий порядок, чем дифференциальное уравнение для функции тока, можно ставить менее жесткие вычислительные граничные условия.
В случае пространственного течения граничные условия для составляющих скорости ставятся непосредственно (в отличие от уравнений (3.623) для составляющих векторной функции е)>). (3.626г) сравнительно простое условие равенства градиента нулю. Если уравнение Пуассона решается при помощи итерационных методов (как в работе Азиза и Хеллумса (1967) )„то, как показывает опыт расчетов в плоском случае, для решения трех уравнений 1!ет)> = — 9 с некоторыми условиями Дирихле иотребуется меньше времени, чем для решения одного уравнения У>Р=5е с условиями Неймана на всех границах.
Если >ке применяются прямые методы (что более вероятно), то для написания программы для (>)ь ь)-системы потребуется меньше времени, поскольку граничные условия в этом случае проще, но время решения уравнений Пуассона в случае (е', Р)системы будет по-видимому, меньше. Кроме того, в памяти ЭВМ необходимо хранить только. четыре трехмерных массива в случае (Ъ', Р)-системы и шесть таких массивов в случае (>ь, ь)-системьь Значит, если для решения уравнения Пуассона в трехмерном случае применяются ирямые методы, то предпочтение следует отдать (Ч, Р)-системс. Преимущество (е', Р)-системы еще больше увеличилось бы, если бы для ее решения удалось разработать неявные методы. В то же время Азиз и Хеллумс (1967) продемонстрировалп возможности (т!>, ~)-системы в случае пространственных течений, рассчитав довольно болыпую задачу (1!Х11Х!!) на вычислительной машине средней мощности.
Вместо решения трех уравнений Пуассона для векторного потенциала т(> можно решать три уравнения Пуассона для составляющих скорости. Эти уравнения легко вывести из уравнения неразрывности >7 'е' = 0 с учетом определения вихря й = = Ч 'ре', е'. Уравнение можно записать в векторной форме 314 8.3. Трехмерные те«ения Улраэгнение. Показать, что в плоском случае прн определении составляющих скорости и и о через функцию тока ф при помощи ценгральнмз разно. стев гарантируется тождественное выполнение уравнения Ви оо — + — =О ох оу (З.азт) независимо от точности решения длн ф Известно, что сохранение массы (объема) может нарушаться даже в плоском случае. Прн решении уравнения 7зф = Ь гарантируется, что уравнение неразрывности для составляющих скорости в дискретной форме будет выполняться тождественно (см.
упражнение ниже), в то время как прн решении системы уравнений (3.626) такой гарантии нет. Глава 4 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Эта глава начинается с краткого обсуждения вычислительных проблем, присуших течениям сжимаемой жидкости. Затем даются основные уравнения движения в нх традиционном виде и их вывод в консервативной форме, а также дополнительные соотношения [уравненпе состояния и т. д.). Полученные в консервативной форме уравнения приводятся к безразмерному виду; обсуждаются различные варианты выбора безразмерных переменных. Выписывается обшеупотребительная сокрашенная «векторная» форма уравнений. В конце главы с математической и физической точек зрения обсуждается сушествование ударных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
