Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Методы решения уравнений для физически» переменных необходимо определить и в центре ячейки. Это можно сделать при помощи осреднения: игн.г = Чз(игези г + и!+!!2.г). (3.594) Произведения, например ио, вычисляются как произведение средних величин, но не как среднее произведений; (ио)г~-ггг, г+гд= '/2 (иге!уз, у+ и!+112, г+1) ггз (о!+!,ге!!2+ ог, гч-ггз). (3.595) Тогда конечно-разностные аналоги уравнений (3.580) будут иметь вид ип+1 1+ура г+ 1 ах ("о)г+нз, г+гп (ио)1+1д, г- гд Рг+1, г — Рг, у ао йх + + 1 (игу-згз,г яигч-наг+и!-ггз,г+ ое 1, д»2 + и!+22, гч-1 — 2и еиз,г — и«-ггз, 1-1 Й Д о) г 1 — о) г Ог,!+172=ОГ.!+172+!~У( аи (ио)гчгп г„ггз — (ио)1 1,2 !+172 Р! ге 1 Р! г Ь» Г2У г, Г+ЗГ2 г, Г.г- 1Г2 + г, Г- 112 + Йе ч Луе + '+' г+'" ' г+'г' ' г+'г')~ (3.596б) Ь»2 (индекс и в правой части уравнений опущен для простоты записи).
Член 5ш входящий в уравнение (3.58(а), находится при помощи аналогичных разностей и следующего разностногопредставления: дг) )п г)п+1 рп 1 гг"; (3.597) ду 1!! ДГ 11,г (Эта формула ставит условие ))и+' = О.) В результате получаем 2 2 2 и!+1 à — 2иг Г+ иг 1 Г 2 (ио)г+гп, г-ггз (и")1-172, !+112+ (ио)г-ггз, г-1123+ 2 2 Оз! г+1 — 2О! г+ О! г 1 У)! г Лиз й! + ' +,; ' еу, (3.598а) г (1!+1,г — »ггг,г+ггг г,г пг, г+1 — »у)г,!+уз!, у-1'1 3 7А,Метод мт1ркероо и имеем 301 где й .= '""'1 ' ь~'~ + ''+' '' ы .
(3.598б) 1 т де аа Граничные условия для и и о находятся в соответствии с определениями, введенными на рис. 3,33. г(апример, нрн условии прплипанпя па стенке, вдоль которой 1' = ш, имеем и, =О, п1.ен2, =О, кн 112, =О, (3. 599) Пв О, Пт, в= /2 (П1,в+14+ П1, в Н2) (3.600) или (3,601) ПС в-Н2 О!, в+Н2. Если в ближайших внутренних точках (й ш + 1) и (1, ш+ 1/2) берутся разности второго порядка 0(Лу2), то соотношение (3.601) прн определении значения пч 1м в фпктивном узле, расположенном внутри стенки, приводит к условию ои „= О. В равд.
3.3.2 (см. также задачи 3.24 — 3.26), было отмечено, что условия, аналогичные условию (3.600), при определении значения скорости на стенке приводят к ошибкам в членах, описывающих диффузию вихря. Однако в методе МАС перемсппыс определены таким образом, что влияние этих условий сказывается только на конвективных членах, которые при таком способе трактуются верно. Поскольку диффузионный член с составляющей скорости о не входит в уравнение количества движения в направлении х, ошибки не возникает.
Возможная постановка граничных условий для стенки со скольжением такова: (3.602 а) (3.6026) (11+1!2, в = И1-~-112, вч1 а1, в — П2 = П1, в-1-112 Граничные условия на остальных границах, очевидно, аналогичны ранее приведенным условиям для сетки первого типа, В методе МЛС рассматриваются частицы-маркеры, которые не обладают массой и переносятся со скоростью конвекции. Опи непосредственно пе участвуют в вычислениях. Во внутренних точках нет обратного влияния маркеров, н поэтому вопрос о связанной с ними устойчивости не возникает.
Прослеживая и графически изображая положения частиц-маркеров, можно получить картину линий отмеченных частиц, аналогичную дымовой картине в аэродинамической трубе илн фотографии, полученной при визуализации потока за счет введения красящего вещества. З02 З.7. Методы ре«иения ррааненил дяя фияинеение неременнзм Положения, или лагранжевы координаты (х„", р"), каждой частицы-маркера находятся при помощи численного интегрирования от некоторого начального положения (х", ««"), занимаемого частицей в момент времени ! = 0: хн ха ( ~ и «ц (3.603а) о р,=~,+ ~., (г, (3.603б) о где иа и оа — составляющие скорости на эйлеровой сетке в той точке, где находится частица в данный момент времени. Используя разности вперед по времени (как это обычно делается в методе МАС), из уравнений (3.603) последовательно находим хие«=х +и Л! (3.60 4 а) й,н+«й,н+ О,~,! (3.604б) р В методе МАС скорости частиц-маркеров находятся при помощи линейной интерполяции по двум иеременным„например А«и«+ Лзиз + Азиз + А«и« (3.605) а = де ад где площади Аь А„лз и Л«определяются положением точки (х,", у„") в ячейке, как показано на рнс.
3.34, а. Чен с соавторами (!969) применяли аппроксимацию второго порядка точности, указанну«о в подписи к рис, 3.34, б, что позволило увеличить точность вблизи экстремальных значений скорости. Большинство расчетов с помощью методов, подобных методу МАС, проводилось с четырьмя-пятью (в среднем) маркерами на ячейку. Проведение расчетов линий отмеченных частиц присуще не только методу МАС и даже не только методам решения уравнений для физических переменных (см., например, Топав н Шевчик !!966)). Здесь такой расчет рассматривается на примере метода МАС, существенной частью которого он является и который интенсивно применялся для решения задач со свободной поверхностью, например задачи формирования поверхностной волны.
Форма свободной поверхности нс известна априори; она определяется в процессе решения по положению маркеров. (Ссылки на литературу по задачам со свободной поверхностью будут приведены в гл. 6,) Здесь мы лишь отметим, что граничные условия на свободной поверхности заключаются в том, что касательные напряжения должны быть равными нулю, а нормальные напряжения 303 37.4. Метод маркеров и ячеек Рнс.
3,34. Нахождсннс скоростей частиц-маркеров в методе маркеров н ячеек. а — двумерная линейная ннтерполяцня для и,т. А~и~ + Лаиа + Ааиа + Лаи, ир —— ах иу д — ннтсрполяпяя второго порядка точности для ир (Чен с соавторамн (!969))," а Ь а и = — (иа — и,) + — (иа — иа) + — ага (и, + и, — 2иа) + 2 2 2 с аЬ + Ь'(иа+ иа — 2и,) + — (иа+ их — и~ — иа)~, а=а/йх, Ь= Ийу. 2 должны уравновешиваться приложенными извне нормальными напряжениями.
Для постановки этих условий необходимо знать не только положение свободной поверхности в ячейке сетки, но также се наклон и кривизну. В таком случае форма поверхности оказывает влияние на динамику течения за счет эффектов поверхностного натяжения и введения «дробных ячеек», которые 304 8.7. Методы рек«енин уриененигг для фиэинеских переменных нужны для уравнения. Таким образом, расчет положения частиц оказывает обратное влияние на расчет динамики течения. При этом возможно появление таких аномалий, как возникновение неустойчивости, связанной с нелипейностью, и эффекты численного поверхностного натяжения. Существенное усовершенствование метода МАС, связанное с введением дробных ячеек и вычислением пологкеггий маркеров, предложили Чеп с соавторами [19Г>9, 1970) и Нпколс [1970).
Папьяпи [1968) решал методом МЛС задачу о естественной копвекцнп. Дали [!969а, 1969б) предложил вариант метода МЛС для изучения течения двух жидкостей в цилиндрической системе координат, включая детальный расчет поверхностного натяжения. Дали и Прахт [1969) также примецилп метод МЛС в случае течения двух жидкостей и переноса раствора для изучения волн плотности. Используя приемы, разработанные для расчета свободной поверхности, Вьечелли [!969] в рамках метода МЛС предложил остроумный способ рассмотрения заданных криволинейных поверхностей на прямоугольной сетке. На каждом шаге по времени задается такое внешнее давление, которое заставляет «свободную поверхность» принимать форму, соответствующую требуемой форме границы.
Метод МАС применялп также Хуан [1968], Гозйн и Прптчетт [1968), Слотта с соавторами [1969), Донован [1968, 1970), Кроули [1970а), Г1утре [1970), Митчелл [1970] н Истон [1969]. В упрощенном методе маркеров и ячеек [метод 8МЛС; см. Амсден и Харлоу 11970а, 1970в)) давление не рассчитывается, но уравнение неразрывности для скоростей удовлетворяется непосредственно. Здесь вспользуются некоторые приемы, характерные для методов решения системы уравнений для переменных ф и Ь, и упрощается постановка некоторых граничных условий.
В методе маркеров и ячеек для малых чисел Рейггольдса (метод МЛСК1), предложенном Г!рахтом [1971], для членов, описывающих диффузию и содержащих градиент давления, используется неявный итерационный подход. Уравнения, записанные в неявной форме, разрешаются итерационным методом, включая уравнение Пуассона и граничные условия. В методе маркеров н частиц, модифицированном в Станфордском университете (метод 8ПМгЧЛС; см.
Чен и Стрит [!970], Чен с соавторами [1971] ), усовершенствован расчет граничных условий на свободной поверхности. 3.7.6. Другие методы решения уравнений для простейших физических переменных Своеобразный метод нахождения стационарного решения уравнений для физических переменных предложил Чорин [!968) (см. также Чу [1968]); впоследствии этот метод применял Плоус 33ХД Другие методы 303 ]!968].
Решение задачи о течении несжимаемой жидкости находится как предел решения нестационарных уравнений, содержащих член, соответствующий искусственной сжилаемосги и стремящийся к нулю по мере приближения к стационарному состоянию, Аналогичную идею использовали в методе дробных шагов Владимирова, Кузнецов и Яненко ]!966]. Заметим здесь вкратце, что в общем случае для расчета течения несжимаемой жидкости не следует брать полные уравнения для сжимаемой жидкости и просто полагать в ппх число Маха малым (более подробно этот вопрос будет освещен в разд.
5.1). Не рекомендуется также применять следующее уравнение для давления; — = — +и — +и — = — + + ГЗР др дР др дР д(ир) д(вР) Ри д! дх ду дс дх ду (3. 606) (см. Шлихтинг (1968]). Это уравнение основано на уравнении энергии для малых значений числа Маха. Из-за такой связи с уравнением энергии уравнение (3.606) является гиперболическим ') в отличие от эллиптического уравнения Пуассона для давления. Хотя это уравнение гиперболического типа правильно, оно позволяет распространяться волнам, которые оказываются доминирующими при исследовании устойчивости. Здесь следовало бы проводить решение при помощи неявных схем, но точность будет ограничена из-за этих нежелательных решений, соответствующих волновым течениям жидкости. Известно (Чарни с соавторами [1950]), что ураваение Пуассона предпочтительнее, поскольку при его решении такие волны подавляются.
Метод Колленса ]1970] дает возможность получить решения, справедливые только для стационарного случая. Ошибка аппроксимации этого метода имеет порядок 0(Лх, Лу). Несмотря на то что в этом методе учитываются все члены в полных уравнениях Навье — Стокса, он приемлем только в том случае, когда выполняются условия, требуемые для приемлемости приближения пограничного слоя (см. равд. 6.4). Рассмотренные в равд. 3.1.8 — 3.1.11 схемы с разностями против потока можно применять и в случае уравнений для физических переменных, что сделал, например, Жаме с соавторамн ]1970].
Аналогично обстоит дело и со схемной вязкостью, как показывает следующее упражнение. Уприжнеяие. При помощи лпнезриззпии привести левую часть уравнения (3.530з) к нилу гЗи ди ди ди — = — + й — + й —. ЕИ д( дх ду ' ') В данном случае влияние передзется только вперед квк по времени, твк и по пространственным переменным. В случае одной прастрзнственной переменной линезризовзнное уравнение имеет вид др/д( =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
