Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если бР!Ьп определяется со вторым порядком точности, то и весь метод в целом будет иметь второй порядок точности. Расчеты Миякоды [!962] показали, что в случае постановки условий Неймана оптимальное значение параметра релаксации соо увеличивается. Если Рн; является решением уравнения для давления, то решением будет н Рьг+ С, где С вЂ” некоторая постоянная. Частное решение определяется заданием Р в одной точке.
Если некоторую точку, принадлежащую границе, можно рассматривать как точку, отвечающую невозмущениому потоку, то в этой точке рекомендуется положить Р = О; это даст возможность легко установить связь между Р и коэффициентом давления Се, общепринятым в технике, а именно Р = 2С . Эта точка может не участвовать в итерационном процессе, З.б.б. Характерная величина для отсчета давления Прп публикации результатов часто опускается важная де.
таль, связанная с проведенным выше обсуждением. Для задачи, в которой рассматривается невозмущенный поток, можно произвольно положить, что для такого потока Р = О. Без ограничения общности можно также для невозмушенного потока полагать Р равным любому другому постоянному значению; например, часто выбирают Р = 1, В задаче о течении в д5.
Раскат давлении ограниченной области, например в классической задаче о течении внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной стенкой (Кавагути [196!], Бургграф [1966], Пан и Акрнвос [1967], Донован [1970]), начальное приближение для давления в нестацпонарном случае также можно выбирать произвольным образом. Например, Донован [19?0] полагает Р = 1 в центре стенки, противоположной движущейся «крышкекч и выбирает его в качестве характерного давления Р, = 1. Подчеркнем, что здесь только в начальный момент времени Р, = 1, а в последующие моменты времени значение характерного давления в этой тачке определяется физикой задачи.
Для того чтобы определить Р, в последующие моменты времени и таким образом получить характерную величину для отсчета давления во всех точках поля, необходимо обратиться к расчету термодинамических параметров при помощи уравнения состояния. Для любого газа или жидкости выполняется некоторое уравнение состояния, которое в размерных термодинамических переменных записывается так: Р=)(р, т).
(3. 530) (Например, для совершенного газа Р = ркну, где Рн — газовая постоянная.) Предположим, что начальные условия соответствуют состоянию покоя. Тогда при п = 0 начальные условия для размерной величины давления будут Рт ! — — сопз! во всей области; назовем эту постоянную величину характерным давлением Р,. В процессе нестационарного решения вычисляется — о также температура (см.
равд. 3.6), а по ней характерное давление. Эти расчеты могут проводиться вместе или по отдельности'). Температура может повыситься либо за счет неадиабатичпости стенок, либо за счет диссипации (см. равд. 3.6), Последняя особенно важна при расчетах до больших моментов времени; однако в качестве иллюстрации мы рассмотрим случай, когда стенки являются адиабатическими, а дпссипацией пренебрегают. Проинтегрьтровав уравнение состояния (3.530) по всей рассчитываемой области, получим ~ Р с1)с= ~ ) (р, т) т(тс, (3. 531) и н где )с — площадь замкнутой области, внутри которой происходит течение.
Предположим, что среда несжимаема и т = сопз1; тогда уравнение (3.53!) дает ~ Рт)й= КР, (3.532) и ') Если температура растет, то длн 1аза число Рейпотьлса булез уменьшатьсн, поскольку прн этом увели шваетсн коэффиииепт инакости р. 283 3.55. Харантернал величина длл отсчета давления Если ввести безразмерное давление, относя его к характерному давлению Р„т. е. положить Р = РУР„то это уравнение при— я/ — / — о мет вид (3.533) Этот интеграл можно легко записать в конечно-разностной форме в виде суммы, связывая при этом Р с площадью ячейки, взвешенной с учетом применяемого консчно-разиостного метода.
Для методов второго порядка соответствующая взвешенная площадь имеет величину ЛхЛу. Для точки, лежащей на стенке, . как, например, точка (1,/) (в случае сетки первого типа прп расчете течения внутри замкнутой прямоугольной области), соответствующая площадь ячейки равна ЛхЛу/2. Для угловой точки, такой, как точка (1,1), площадь равна ЛХЛд/4.
Вводя обозначения Х=(1 — 1)Лх и У=(/ — 1)Ли, "умму можно записать в следующем виде: /-1 У-1 /-1 /-1 ~„Р/ !ЛХЛу+ ~, Р, !ЛхЛу/2+ ~, Рь!ЛхЛу/2+ 1 2 У / У 2 / 2 /-1 /-1 + ~„Р/,1ЛхЛр/2+ ~„Р/ /ЛхЛд/2+ 2 1 2 + (Р/,1+ Р/, У + Рь / + Р/, /) Лх Л/У/4 = ХУ. (3.534) Разделив обе части этого равенства на ЛХЛу и учтя, что ХУ/(Лх Лу) = (/ — 1) (/ — 1), получим /-1 / — 1 У-1 /-1 ~, Р, /+ ~„(Р1 ! + Р, !)/2+ ~, (Р,, + Р, /)/2+ + (Р1,1+ Р, /+ Р/ 1+ Р/, У)/4 = (/ — 1) (/ — 1). (3,535) После того как получено решение уравнения Пуассона для Рь! с принятым Р, "= 1 (или какой-либо другой константой), вообще говоря, равенство (3.535) не будет выполняться.
Тогда находится сумма, которая стоит в левой части равенства (3.535) и которую мы обозначим через 5, и давление подправляется так, как указано ниже. Улраленение. Показать, что давление Рс У, полученное при рещении уравнения Пуассона, следует заменить на Р/, / — 5!1., где 5 — сумма, стоящая в левой части равенства 13 535), а !. = (! — ))(! — )). Поскольку физическое давление нельзя определить, не решая термодииамической задачи, опубликованные решения для давления, в которых принималось Р„" = Р, = 1, будут неполными, но пх нельзя с ппать неправильиымн. Мы считаем, что аб. Раеиет теиаературм и каицеитрации 284 решение, в котором стенки адиабатические и диссипация отсутствует и которое удовлетворяет уравнению (3.535), является более обоснованным эталонным решением, чем решение, полученное при Р, "= П 3,6. Расчет температуры и концентрации Для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами при отсутствии внешних сил динамика течения не зависит от его термодинамики.
Как только установлена кинематика течения (через поля функции тока ту и вихря 1), можно найти распределение температуры при различных граничных условиях. Аналогично можно решить и многие задачи о концентрации. 3.6.1. Основные уравнения Для нестационарпого течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами н при отсутствии источников уравнение энергии приводится к следуюшему виду (Шлихтинг [1968]): рсаф =йЧат+ рФ, Р Разделив на рСа(йо/Е) (Т, -- Та), получим — = — У ° (ЧТ) + т7'Т + — ~ — ~ — Ф. (3.539) д1 Далее, а /г и ! 1 рс а„г сар рдел Рт не Ре (3.
540) где все переменные являются размерными величинами, а Ф— диссипативная функция, определяемая равенством Ф=2[(,~ 7' +(д ) )+(дх + д ) ' (3.537) Как и в равд. 2.2, запишем эти уравнения в безразмерных переменных, введя характерную скорость й,, характерную длину Е и характерное время конвекции (Е/йа). Помимо этого введем характерную положительную разность температур Т~ — Т,.
(Например, если решается задача об обтекании изображенного на рис. 3.22 обратного уступа, основание которого нагрето, то в качестве Т1 можно взять температуру основания уступа, а в качестве Та — температуру невозмущенного потока на входной границе.) Тогда уравнение (3.536) примет вид РСр (=') (Т1 — Та) — = (е =е(Т~ — Та) ЧаТ+ р и Ф. (3.538) 36 д Оенавноое уравнения 288 где Рг — число Прандтля, а Ре — число Пекле. Кроме того, Фо ао/Ср рСрв (Т~ — То1 Т~ — То риог Йо (3.541) где Š— число Эккерта. Учитывая уравнение неразрывности Ч. Ч = О, получаем Ч ° (УТ) = Ч ° Ч Т + Т Ч ° Ч = Ч Ч Т (3.542) Подстановка этих результатов в уравнение (3.539) дает уравнение энергии в безразме)тных переменных — = — Ч ° (ЧТ) + — Ч'Т+ — Ф, дТ 1 о 6 де Ре яо (3.
543) где Ф=2[( — ) +(ц ) ~+(д + д ) . (3544) Если в уравнении (3.543) заменить Т на ь, а Ре па ме и исключить из рассмотрения диссипативный член, то получится уравнение переноса вихря. Следовательно, все конечно-разностные методы, рассмотренные в этой главе, применимы и для решения уравнения энергии. Поскольку функция Ф, описывающая диссипацию, не зависит от переменной Т (т. е. обратная связь отсутствует), она не влияет на исследование устойчивости, Действительно, так как поле скорости теперь фиксировано, анализ устойчивости линеаризованного уравнения в данном случае более приемлем, чем для уравнения переноса вихря. Для газов число Прандтля Рг = 0(1), поэтому Ре = 0(Ке) и для решения уравнения энергии можно применять те же методы, что и для уравнения переноса вихря. Для нефти Рг )) 1, а для жидких металлов Рг « 1.
В этих случаях числа Пекле и Рейнольдса сильно отличаются и для решения каждого из двух этих уравнений могут подходить различные методы. Более того, для описания нестационарного поведения каждого из этих уравнений могут потребоваться разные масштабы времени. Исходя из этого, Браун (!966) предлагает выбирать различные шаги по времени Л1 для двух этих уравнений. Заметам, что поскольку уравнение энергии отщеплено от уравнений движения, то по одному известному решению для поля течения можно найти распределение температур, соответствующих различным числам Ре и Е и различным граничным условиям (см., например, Роуч и Мюллер (1970) ).
Заметим также, что поскольку уравнение для Т линейно, для его решения при различных Ф можно не обращать каждый раз заново оператор Лапласа, что позволяет проводить расчет многих разнообразных вариантов распределения температуры. Кроме того, Ю.б Расчет темаературм и концентрации 288 3.6.2. Учет диосипации В уравнении энергии, соответствующем течению несжимаемой жидкости, часто пренебрегают диссипативным членом, поскольку Е -~. О, когда число Маха М -+ 0 в случае фиксированной разности характерных температур. Однако даже при малых числах Маха член Ф может играть важную роль, если разность Т~ — То мала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
