Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Однако необходимость этого условия не была доказана. Вазов [1957] применил методы асимптотических разложений для доказательства сходимости решения конечно-разностного уравнения в случае, когда граничные значения представляли собой кусочно аналитические функции, а граница — аналитическую кривую без угловых точек. Он также доказал существование (и дал форму) асимптотического разложения в случае угла, образованного пересечением двух дуг аналитических кривых. Вудс [1953] предполагал различные формы особенностей для ф на границе (включая случай, когда ф конечна, но имеет бесконечные производные) и показал, как формально исключить особенности и решить получающиеся конечно-разностные уравнения методом Саусвелла. Он также ссылается на Саусвелла, когда говорит, что скорость сходимости итерационного процесса замедляется при скругленни угла, В другой статье при изучении сходнмости решения конечно.
разностиого уравнения в окрестности угловой точки Лаасонен [1958а] продемонстрировал как аналитические исследования, так и численный эксперимент. Эта статья имеет важное значение для задач вычислительной гидродинамикп. Лаасонен показал вредное влияние на скорость сходимостн как налпчия угловой точки, так и разрыва функции. Если для прямолинейной границы с непрерывными значениями функции на границе лб4 Д4. Критерии слодилости и начальиме условия ошибка Е = 0(Л'), где Л вЂ” размер шага сетки, то для прямолинейной границы с разрывными значениями функции на границе Е = 0(Л); для прямого угла с непрерывными грашшными значешгями функции Е =- 0(Ле'); для прямого угла с разрывными граничными значениями функции Е = 0(Лам).
Угловая точка С на рпс. 3.22 как раз соответствует последнему случаю, поэтому в данном случае решение в окрестности угловой точки имеет менее чем первый порядок точности. Форсайт и Вазов [1960] предполагают, что наличие угловой точки может оказать не только локальное, но и глобальное влияние на точность, хотя численные эксперименты Чена [1970б] в случае течения сжимаемой жидкости показывают, что ошибки, возннкаюшие в угловых точках, быстро затухают, (См. также Мета и Лаван [1968]) для случая течения несжимаемой жидкости.) Особенности типа вершин выпуклого угла рассматриваются также в работах других авторов.
Уайтмсн [1967] рассмотрел такую геометрическую особенность в случае уравнения Лапласа Уаф = К = О, используя метод конформного отображения, который, однако, не применим для уравнения Пуассона. Он утверждал, что даже при ь = 0 вблизи угловой точки девяти- точечные схемы менее точны, чем пятиточечные. Уайтинг [1968] применил метод Мотца (см. также Вудс [1953]), в котором при релаксационном процессе лапласиан в узлах вблизи угловой точки представляется не пяти- илп девятиточечными разностными аналогами, а отрезками рядов по тригонометрическим функциям.
Турайсамн [1967] рассмотрел влияние особенностей в граничных условиях на скорость сходнмости разностного решения уравнения Пуассона. Синнотт [!960] и Уиглн [!969] также изучали влияние угловых точек на решение уравнения Пуассона, в то время как 7Каме [!968] доказал теорему существования в случае особенности в величине ь при решении уравнения переноса вихря, имеюшего параболический тпп. Хауэлл и Спонг [1969] обсуждали аналогичные вопросы в случае геометрической особенности на клине, находяшеыся в потенциальном потоке невязкой сжимаемой жидкости. Представляется, что хорошая точность вблизи вершины выпуклого угла и достаточно полная ясность в вопросе об отрыве вблизи угловой точки могут быть достигнуты только путем локального решения в полярных координатах с центром в угловой точке.
3.$, Крит-рии сходимости и нвч льные условия Термин «сходимость» употребляется в двух различных смыслах. Термин «итераццоьнал сходитиость» относится к окончательному выходу на решение конечно-разностного уравнения, 54 Критерии сходнмоста и начальные условия 265 рассчитываемое при помощи итераций. Этот термин означает, что достигается приемлемое решение дискретного уравнения Пуассона в пределах некоторой точности, для чего требуется выполнение в известном смысле равенства чрь"' — фь. Он означает также, что при разрешении при помощи итераций неявного граничпого условия для вихря с достигается выполнение равенства (т".")ь+' = (т."ы) . Оба эти итерационные процессы включаются в итерационный цикл, сходимость итераций в котором приводит к стационарному решению (если оно существует), когда выполняется равенство ь" ' = Г".
другое значение тер. мина «сходимость» относится к обычно используемому математиками понятию сходпмости, которую здесь мы будем называть аппроксимационной сходииостью для того, чтобы отличить ее от итерационной сходимостн. Аппроксимационная сходимость есть не что иное, как сходимость решения конечно-разностного уравнения к решению дифференциального уравнения в частных производных при Лх-э. О, Л1- О, тт'и для итерационнои сходимости, ни для аппроксимационной сходимости не илсеется какого-либо определенного критерия. Обычно в качестве критерия итерационной сходилтости, например для достижения стационарного значения 1, берется условие вида шах ~ ь»"с+' — т„" ~ ( а (3.501 а) ь ь и аналогичные условия для функции тока чрьл' н (~",„+') Часто в критерии итерационной сходимости фигурирует относительная ошибка Что+1 чьл (3.501б) ьт~ !т где с, — некоторое характерное для задачи значение Ь: или сы= шах~,"ос,~, или просто т.,=~о, т Последний критерий имеет больше смысла, но, очевидно, несколько опасен, так как локально (в некоторых точках) значения ~от, могут оказаться близкими к нулю, что в свою очередь может прнвестн к переполнению в арифметическом устройстве ЭМВ при делении в формуле (3.5016).
Значение е, входящее в условие (3.501), в опубликованных открытых работах меняется от 1О ' до 1О", откуда можно понять, что в целом идея не очень рациональна, и в действительности дело обстоит именно так. Величину е в условии (3.501) можно выбрать сколь угодно малой, однако если решение ведет себя так, как показано на рис. 3.32. то прн этом возможно преждевременное приостановление итерационного процесса.
Такое поведение не столь уж редко встречается 8.4, Критерии сходимости и начальные условия 2бб при решении полной системы уравнений для чр и ~; см., напри. мер, Ингэм (1968), (Решессие упавссения эллиптического типа обычно ведет себя лучше.) Можно попытаться избежать преждевременного окончания итерационного процесса, введя в расчеты еще критерий для второй производной следующего вида: А"с, = снах ~ ~с, с' — г", ! ( е„ (3.502а) 1. с А А ~=~А ~ — А ~~(ез (3.502б) исили проводя контроль через несколько итераций, например по критерню (3.503) Но ни один из этих критериев не может заменить фактического анализа итерационого процесса по графикам, отражающим его Г алис Рис. 3.32.
Зависимость от времени некоторых характеристик реиссния задача о течении вязкой жидкости в области с заданными входной н выходной границами. а — ио оси ординат отлоскена величина шах ~(ч~' — йас ~; б — ио оси ординат отложена величина ьс" С или ~ )йс с,с ' ьс поведение (рис. 3.32), и субъективного суждения о его сходи- мости. Большинство исследователей выбирают численное значение и, соответствующее их субъективным суждениям о сходи- мости, и при публикации приводят только величину в.
В действительности они удовлетворяются тем, что исследуют графики, подобные представленным на рис. 3,32, и убеждаютгя тч Крелерии сяодимоети и ничилвнвее условия вьч в сходимости принятой ими лроцедурьц а затем выбирают в исходя из имеющегося в их распоряжении машинного времени! Чтобы прийти к определенному выводу, введем следующие дополнительные обозначения. Пусть ье — (точное) решение дифференциального уравнения в частных производных, се — точное решение конечно-разностного уравнения, Ь = 1пп ~ в итерационном процессе, а ~яч-' — итерированное значение, при котором выполняется критерий сходимости. Заметим (Парис и Уитекер (19бб)), что ь не обязательно равно ь', так как ь ' получается при помощи итерационной процедуры, в которой возможно систематическое накопление ошибок округления.
Таким образом в нашем критерии сходимости дается ограничение на — но не накладывается каких-либо ограничений на величину )~н ' — ~ ), а поэтому и на величину 1ьяв' — Ье). далее, нас интересует ограничение на величину 1це — ~е~, которая должна входить в критерий аппроксимационной сходимости и столь же неопределенна, как и все остальные величины в рассмотренной последовательности. Существует семь неотъемлемых требований, которые необходимо учесть при попытке сформулировать критерий итерационной сходимости.
(1) Отметим, что хотя предпочтительнее анализировать графики, дающие поведение итерационного процесса, наподобие рис. 3.32, необходимо также проверять выполнение количественного критерия, подобного критериям (3.501) и (3.503), как во внутреннем итерационном процессе при решении уравнения Пуассона для чрв+', так и в итерационном процессе для неявного расчета значений ф +и) в' на стенке. Вопрос об адекватности этого критерия можно субъективно решить заранее, контролируя поведение итерапионного процесса для двух таких задач, по при решении задачи в целом не имеет практического смысла следить за чем-либо иным, кроме сходимости решения .по времени. (Привлекательность прямых методов решения уравнения Пуассона связана с тем, что здесь не нужно мучиться с выбором критерия сходимости.) (2) Отметим, что для проверки сходимости по критерию вида (3.501) требуется определенное машинное время и для сокрашения этого времени проверку следует осуществлять только через 10 или через какое-либо другое число итераций для чр, как в случае критерия (3.503).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
