Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пилообрлзиые еы)илляяии а решении лб! В целом решение конечно-разностного уравнения будет ~; = О для 1 от 1 до !О и к!! = 1. Равенство (3.495) снова приводит к вездесущему условию на сеточное число Рейнольдса: гсе, = — и Лх)'а =- 2. Когда это условие нарушается (при 1ке, ) 2), член б~/бх остается по-прежнему ограниченным, и для достижения баланса в уравнении (3,492) член бах' будет увеличиваться за счет уменьшения 1,, вплоть до отрицательных значений, как показано на рис. 3.27,в. Заметим, что это решение конечно-разностного уравнения приводит к нарушению условий монотонности и ограниченности решения исходного дифференциального уравнения, приводя тем самым к ошибкам, связанным со свойствами схемы (см. Разд, 3.!.23). Когда кг ! ( О, величина б'Р/бх'), з несколько уменьшается и этот эффект передается вперед, вызывая пилообразные осцнлляции.
Появление пилообразных осцнлляций в решении дискретного уравнения аналогично особенности у дифференциального уравнения; последняя возникает при )(с -ь ое, а осцилляцип появляются при Ке, ) 2. Конечно-разцостное уравнение имеет особенность при Ке, = 2 в том смысле, что, когда параметр а становится достаточно малым (таким, что Вел ) 2), конечноразностное уравнение утрачивает свойства монотонности и ограниченности, присущие исходному дифференциальному уравнению.
Для нелинейного дифференциального уравнения Бюргерса такое явление может возникать в областях, удаленных от границ. С ростом Ке частоты конечно-разностного решения увеличиваются до частоты Найквпста, отвечающей минимально возможной длине волны Л = 2бх. Для уравнения Бюргерса это наступает именно при Ке, = 2. При больших Ке структуру решения нельзя получить на данной сетке хотя бы качественно (см. о!иибки, обусловленные неразличимостью, равд. 3.1,13). Помимо уменьшения сеточного числа Рейнольдса за счет уменьшения Ьх с тем, чтобы выполнялось условие Ре„ < 2, в случае уравнения с постоянными коэффициентами имеется два пути устранения оншбок, связанных с пилообразными осцплляциями, Опн указаны в следующих упражнениях.
Улражнение. Показать, что схема с разностями яротав котика для уравяеяяя (3.490) ке пряводкт к япяообразвым осцилляцвям. Улражнение. Показать, по использование условна градиентного типа ВЦдх = О пря х = ! не приводит к пилообразным осцялляцяям. Относительно первого способа (схема с разностями против потока) заметим, что условие появления пилообразных осцилляций при использовании центральных разностей (Ке, ~ 2) как 252 3 в Граничные условия раз совпадает с условием выполнения формальной точности схемы с разностями против потока (см.
разд, 3.1.8). Таким образом, при Ке, ) 2 схемная вязкость сс, ) а, так что в некотором смысле этот способ является фиктивным. Относительно второго способа заметим, что при таком фиксированном граничном условии задача фактически заменяется другой задачей, имеющей тривиальное решение ~(х) = ~(0) = = О, (Если на выходной границе берется условие д~/дх Ф О, то для одномерной задачи существует нетривиальное решение, но ограничение на Ре, при этом по-прежнему имеет место; см.
задачу 3.30.) Однако второй способ применим к двух- и трехмерным задачам, не сводя их к тривиальной, и часто используется в расчетах многомерных гидродинамических задач для устранения пилообразных осцилляций. Условия на выходной границе потока, используемые Шапиро и О'Брайеном (см, разд. 3.3.7), также устраняют пилообразные осцнлляции, (Для одномерной стационарной задачи способ Шапиро — О'Брайена сводится к заданию градиентного условия бс/бх = О.) Конечно, переменность скорости и по пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения.
В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Вес ) 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Ке, ( 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродпнамических задач. Используя полные уравнения Навье — Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляцпями в каждом из направлений — параллельном стенке и перпендикулярном ей.
Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностямп против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, примененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Ре. ( 2. Полджер [!971] устранил пилообразные оспил. ляции в решении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лэнса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (равд.
3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при ( = 10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляцни.) З.8.9. длинное углевод на омкоднод границе нотона 253 3.3.9.
Парадонс, связанный с влиянием условий на выходной границе потока На первый взгляд кажется, что условие свободного выхода потока, поставленное на некоторой границе ниже по потоку, наиболее существенно для течения несжимаемой жидкости, поскольку в дальнейшем это условие оказывает влияние на все течение выше по потоку. Для сверхзвукового течения казалось бы, что условие на границе, расположенной ниже по потоку, будет существенно только для вязких членов, так как прп сверхзвуковом течении ограничено влияние вверх по потоку. Различные авторы утнерждают или подразумевают этп положения. Прежде всего заметим, что в конечно-разностной схеме влияние вверх по потоку сказывается в сверхзвуковом течении даже при отсутствии вязких членов.
Этот эффект проявляется наиболее ярко, если конвективные члены представляются центральными разностями; но даже если используются разности против потока, влияние члена с градиентом давления проявляется вверх по потоку. В самом деле, такое влияние вверх по потоку естественно и даже необходилго, например, если когда-тодолжна перемещаться ударная волна нли если когда-то должен быть отключен приток воздуха в аэродинамическую трубу. Но полный парадокс еще более выразителен: утверждается, что постановка условий на выходной границе ниже по потоку более важна в случае сверхзвукового течения, чем в случае дозвукового.
Рассмотрим два случая квазиодномерного течения невязкой жидкости в канале, как показано на рис. 3.28. Рассмотрим простейший случаи, когда условия во входном сечении (!) фиксированы. Тогда в случае дозвукового течения (рис. 3.28, а) элементарные соотношения показывают, что в выходном сечении (2) имеет место единственное решение. Например, если М вЂ” О, то ил=и,(А,/А,) и Рл=Р, + р(иа1 — и,')12 и т, д.
По крайней мере интуитивно ясно, что для численной задачи необходимо предоставить возможность «свободно» развиваться условиям в выходном сечении (2). То, над чем мы обычно задумываемся в отношении влияния вверх по потоку, представляет собой физическую сторону задачи, в которой изменение в условиях даже ниже по потоку от (2) будут оказывать влияние на условия во входном сечении (1). Например, если протнводавление в трубе повышается, то давление в сечениях (1) н (2) увеличивается, а скорости будут уменьшаться. В этом заключается суть дела. Если бы Р, изменилось, то Р, и и1 также должны измениться. Но коль скоро поток во входном сечении (1) задан, дЗ. Грани«не»е условия все параметры течения определены всюду единственным образом.
Проведем те же рассуждения для случая полностью сверхзвукового течения в трубе (рис. 3.28,б). Здесь также существует эффект запирания, который означает, что если противо- давление падает ниже предельного значения, то во входном се- М«1 (2) чении ()) его влияние не проявляется, Но если противодавление повышается, то возникает ситуация, показанная на рис. 3.28, в.
Ударная волна войдет внутрь трубы, и ее окончательное положение будет зависеть от величины противодавления. М>1 Будет существовать некоторый (2) интервал противодавлений и соответствующий интервал параметров потока на границе (2), для которых поток на границе (1) остается сверхзвуковым. Тогда при фиксированных условиях во входном сечении, где имеет место сверхзвуковой поток, М»1 М<1 (1) единственное решение будет за- (2) висеть от граничного условия, поставленного в выходном сечении потока. Этот эффект обнаружил КрокРис. 8.28. парадокс, связанный ко [1966] при расчетах квазиод- с влиянием граничных условий номерного течения в тр)'бе.
Лля ивазиоднонерное течение невязяой на выходной гранипе потока; достижения стационарного решежидкости. а — полностью дозвуио- ния Крокко был вынужден задавое течение; б — полностью сверх- вать на выходной границе пото- звуковое течение; в — течение ка два параметра: давление и со сверхзвуиово»» с'орест"о во температуру Когда стационарсяоростыо в ~ь~хоид»о»» сечении. »»ос Решен"е б»»ло»»ост»»г»»Ут»»' ои смог «смягчить» условие для температуры, положив Т,, = Т,, ». Но когда аналогичный прием был применен для плотности, ударная волна начала дрейфовать.
Бенисон и Руби»» [1969] при расчете квазиодномерного течения также были вынуждены фиксировать величину р в выходном сечении, так как это определяло структуру ударной волны выше по потоку. Автор настоящей монографии обнаружил аналогичный эффект при расчетах течения в двумерной трубе. З,З !й Имниелительнь е и аналитинеение грани«ньм Лел»аил эаь Копсьпп>, сслп условия и двумерной задаче таковы, чго полностью гарантируют сверхзвуковой ш>ток в выходном сечении, то можно ожидать меньшей зависимости от условий на выходной границе, особенно прп аппроксимации члена, описывагощего конвекцию в направлении и, разностями против потока (см, разд. 5.7.6).
3.3.10, Соотношение вычислительных и аналитических граничных условий В предыдугцих разделах были рассмотрены различные виды «вычислительных граничных условий». Для линий симметрии нлп для стенок с условием прилипання эти условия не отличаются от аналитических условий и основаны именно на ннх. Но вычислительные граничные условия на верхней, входной н выходной границах потока уже отлнчнь> от аналитических.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
