Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Однако ограниченность времени и оперативной памяти вычислительных машин приводит к ограничению числа точен сетки, а требования точности ограничивают размер шага Лу пространственной сетки, поэтому существует ограничение на размер области, аналогичный размеру рабочей части аэродинамической трубы. (Сетки с переменным шагом по пространственным переменным и преобразования координат для задач такого типа будут рассмотрены в гл. 6.
Даже при использовании таких приемов расчет граничных условий, описанных здесь, остается справедливым.) Можно добиться существенного улучшения, рассматривая границу В 3 как движуи1дюся стенку трубы; так делается в работах Фромма [1963] и Фромма и Харлоу ]1963]. В этих работах на границе ставились условия и = 0 и и = (уо, где 0а можно интерпретировать как скорость невозмущенного потока ').
Тогда граничные условия для системы уравнений, определяющих тр и ~, будут условиями для движущейся стенки с условием прилипаиия на исй, т. е. ф = сопз1, а к (см. предыдущее упражнение) находится по формулам 2(зр, т 1 — Ф, г+ 1гоаУ) + О(п ) ау» 231 8.3.3 Верхняя граница постоянным, а вихрь определяется при погиощи концепции «зеркального отражения», применяемого для определения поправок на блокировку аэродинамической трубы.
В этом случае симметрия приводит к условию ь(ВЗ) = О. Это граничное условие принималось в работе йенсена [!9591 для решения осесимметричной задачи о течении в круглой трубе. Томан и Шевчик [1966~ использовали подобный подход, оказавшийся, однако, менее ограничительным, поскольку рассмотрение граничного условия проводилось на соседней граничной линии. Здесь ставились условия, как на бесконечно удаленной границе, т.
е. задавалось ь = 0 при дф/ду = — и = (Уо и дф/дх = — о = О. Условие Неймана вдоль ВЗ с учетом (Уз дает фь,=фс..+и,ЛУ. (3.460) Если считать, что граница В 3 совпадает с линией 1 = У, то условие (3.460) имеет только первый порядок точности. Но принимая, что В 3 лежит между линиями 1 = У и 1' = У вЂ” 1, и обозначая ее через (1, У вЂ” '1»), мы обеспечиваем для условия (3.460) второй порядок точности '). Этот момент часто понимают неправильно. В действительности вопрос заключается ие в том, какова будет ошибка аппроксимации в формуле (3.460), если положить и = (Ус вдоль В 3, а в том, насколько хорошо условие и = (Уо вдоль В 3 аппроксимирует условие «свободного полета», которое мы хотим смоделировать.
Условие о = — 0 вдоль В 3 означает дф/дх = 0 вдоль В 3. Если граница В 3 находится на линии (1,У), то (3. 461) ф(ВЗ) = фь, = фь,; если же В 3 находится на линии (1, У вЂ” Я, то, учитывая формулу (3.460), получаем фь т = зг ь т ~ + (Уо У)у (3.462) В этих формулах зрь, и фь г ~ суть значения, соответствуюшие верхним точкам левой входной границы потока В 4 на рис, 3.22. Если значения ф полиостшо заданы на входе потока, то такая постановка эквивалентна тому, что на грапяце В 3 стенки трубы не обладают трением. Если же значения зр на нходе не заданы, а определяются в процессе вычисления, как это сделано в работе Томана и Шевчика [1966] (см.
равд. 3.3.6), то такая постановка менее ограничительна. Прн ней поток массы через «рабочую часть трубы» не задается заранее, и хотя верхняя граница В 3, «крышка», по-прежнему является линией тока ') Другой прием ззключаетсн в том, чтобы поместить В 3 на линии 1 = 1 — 1, а па линии 1 = 1 ввести «фиктивные» точки таким образом, чтобы вдоль В 3 получить 11» из равенства фиг = фь г-»+ 211сЛЕ.
232 З.З Гранича»ге условия с постоянными значениями т)г, само это значение а]г не задается, а определяется в процессе счета. Роуч и Мюллер (1970] моделировали стенку трубы, фикси. руя ь на входной границе и считая, что В 3 является линией тока, но модельное условие отсутствия трения на «крышке» для ь получалось менее ограничительным способом.
)Келательно, чтобы «крышка» не обладала трением, т. е. допускала скольжение, хотя в то же время на самое жидкость вблизи «крышки» должно действовать трение. Заметим, что если на «крышке» и = О, то на ней дп/дх = О и ~ = ди/ду. Таким образом, условие ~ = О приводит к условию ди/ду = О. Делая следующий шаг к условиям свободного движения на верхней границе, полагаем ~(В 3) =~с, (3.463) Для интерпретации этого условия в терминах скорости заметим, что формула (3.461) дает дп/дх]г = О. Если граница В 3 расположена достаточно далеко от стенки В 2, так что и(ВЗ) ме.
няется почти линейно по х (т. е. если дам/дхе]г = О+ 0(бу)), то можно показать, что дп/дх], г = О+ 0(буа) и условие (3.463) приблизительно эквивалентно линейной экстраполяции составляющей скорости и на «крышку»'). Экстраполяции высших порядков для !. приводят к быстрому развитию неустойчивости или к смещению решения. Последний способ лучше моделирует условие «свободного полета», чем способ с «движущейся стенкой трубы» (формулы (3.458) н (3.459)), хотя привести достаточные основания в общем случае довольно трудно. Но способ с «движущейся стенкой» обладает тем достоинством, что правильно моделирует некоторую физическую задачу, Единственный остающийся открытым вопрос (помимо вопроса об ошибках аппроксимации) заключается в том, насколько хорошо эта физическая задача аппроксимирует интересующую нас задачу, т.
е. случай «свободного полета». Последний из рассмотренных способов, однако, менее ограничителен. Существуют н другие способы моделирования условия «свободного полета», фактически допускающие протекание через верхнюю границу В 3. Для течения при достаточно больших Ке можно использовать аналитическое решение, соответствующее потенциальному течению, с тем чтобы фиксировать чр вдоль границы ВЗ. Том [1933] для построения граничных условий ') В работе Томана п !11евчика [!966) при решении аадачн об обтека. нип крутового цилиндра более жесткое условие ь = О было необходимо только в случае вращающегося цплнндра. Если же вращение отсутствовало, то вполне удовлетворительные результаты получались н прн условии д'и/ду' нн О.
(Личное сообщснпс.) 8.8 б. Условия на входной границе погона гзз брал графическое решение о потенциальном обтекании цилиндра '). В течениях кри малых Ке для задания ф и Г вдоль В 3 можно исходить из решения Стокса, а при больших Ке для этих целей подходит решение Озеена. Но предпочтительнее брать градиентные условия по этим решениям; градиентные условия пе столь жестки, а ошибки при этом склонны к затуханию (Чен 11970)).
Эти способы, по-видимому, не перспективны при моделировании задач, подобных задаче об обтекании обратного уступа, в которых влвяние области отрывного течения преобладает над эффектом отклонения потока от прямолинейного и для которых нет удобных решений ни прн каких числах Рейнольдса, Брили !!970) решил задачу об отрыве пограничного слоя на плоской пластинке, задавая скорость и на границе В 3 условием линейно замедленного течения Хоуарта и=(уо(х) =а+ бх (3.464) 3.3,6.
Условия иа входной граимце потока Граничные условия на входной границе потока В 4 (рис. 3.22) нельзя представить единственным образом, поскольку они будут меняться в зависимости от физических условий вверх по потоку от рассматриваемой границы и зависят от решения '! Графические нли шслсиные решения дчя такого потенпнального течения, по-яиднмому, предпочтительнее, чем простое аналитическое решение для обтекания иилнндра, которое плохо согласуется с конечно-рааностными решениями. до некоторого хь такого, что х(отрыва) (хг ( — а/(х, и выбирая далее и = сопз! при х ) хь Помимо выполнения условия ~ = 0 па границе В 3 такое задание и приводит к отрыву пограничного слоя на В 1 и его вторичному присоединению.
Данный способ допускает протекание через границу В 3 и дает устойчивость при расчетах. Он также обладает тем достоинством, что имеется неавтомодельное точное решение для пограничного слоя, с которым можно сравнивать выражение (3.464) вплоть до отрыва потока. Бао и Догерти (1969] брали вдоль границы В 3 условия дь/дУ = 0 и дт4>!д!гт = О. Как бУдет показано в Равд. 3.3.7, достаточность этих условий зависит от вида входной и ныходной границ потока. В некоторых метеорологических задачах воздействие ветра на поверхность жидкости представляется тем, что на некой недеформируемой поверхности ставится условие хр(В 3) = = сопи! и задается постоянное «ветровое напряжение», т. е.
задается ~(В 3) = сопз! (см, Феста !1970) ). 234 З.З. Граничные условия в исследуемой области, До появления работы Томана и Шевчика [1966] все авторы полностью задавали граничные условия на входной границе потока. Например, Кавагути [1965] длч того, чтобы фиксировать на этой границе как чр, так и г, при решении задачи о течении во внезапно расширяющемся канале, брал решение для полностью развитого течения Пуазсйля. Том [1933] ставил условия потенциального потока для решения задачи о поперечном обтекании цилиндра. Бреннен [1968] применял решение о потенциальном течении для того, чтобы задать на входной границе градиент чу, а не самос функцию чр. Этот менее ограничительный способ является предпочтительным.
Фромм [1963, 1967[, Харлоу и Фромм [1963] и Катсанис [1967] задавали па входной границе равномерный поток со скоростью и(1,1) и полагали п(1,!) = О. Бао и Догерти [!969] задавали ь = 0 и дф/ду = Е/а, фиксируя ф. Гринспэн [1969б] фиксировал чр н полагал до,'дх = О, что дает Г = д'ч[ь!ду'. Как бы нп была ограничительна эллиптическая природа уравнений, совсем не очевидно, что следует полностью задавать грашщные условия на входе, но в то же время что-то должно быть задано.
Даже фон Нейман (Чарни с соавторами [1950] ) смог привести лишь эвристические аргументы в пользу того, что иа входной границе достаточно задавать только величину 1. Томан и 1Вевчик [1966] ставили менее жесткие условия на входной границе перед цилиндром. Они потребовали, чтобы о(1,!) = О, что приводит к условию чрс ! = чуя!. (3.465) Это условие дает возможность находить и(1,!) в процессе вычислений. В постановке этих авторов на верхней границе В 3 задается и = (l„ а чр(В 3) также получается в результате расчета. При использовании условия (3.465) влияние вверх по потоку сказывается даже на входной границе. При изучении задач, подобных задаче о течении около обратного уступа (рис. 3.22), влияние вязкости важно на входной границе, поэтому желательно фиксировать и!,с, а о!,; дать возможность развиваться свободно.
Роуч и Мюллер [1970] задавали фь ! при помощи решения уравнений пограничного слоя, фиксируя таким образом дар/ду[и ! — — пп ь Это также означает, что фиксировалась производная дечр/дуя] и ! = = ди/ду[ь !, являющаяся первым членом в выражении для вихря ьь ! = ди/ду] и ! — до/дх[,, Второй член также можно было задать при помощи решения для пограничного слоя, но вместо этого авторы брали менее жесткое условие. Оказалось, что лучше всего получать эту величину пз условна (3.466) д д б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
