Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Итерационные методы, описанные ранее, применимы и в случае рассмотренных разностных формул для лапласиана, хотя скорость сходимостп может при этом измениться. Здесь можно приспособить и некоторые прямые методы (Лебейль [1969], Роуч [1971а, 19716] ), но в этом отношении они обычно оказываются менее гибкими, чем итерационные методы. Наконец, остановимся на вопросе согласованной аппроксимация при дискретизации уравнения Пуассона и при определении скоростей. Решение уравнения Пуассона для з(т используется только для определения скоростей конвекции, входящих в уравнение переноса вихря.
Уравнение Пуассона Чззр = ~ представляет собой пе что иное, как определение вихря н в дискретизи. рованной форме будет записынаться так: би бо бу бх ' (3.431) где и = бтр/бу и и = — бар/бу. Решение уравнения Чаз]з = с следует рассматривать не как решение для хр, а как решение для бар/бх и бтр/бу. Только пятиточечная схема для оператора Лапласа, по которой записано уравнение (3.365), соответствует разностным представлениям для и и и со вторым порядком точности ') и,;=(зйт 1„— зРт ( !)/(2 АУ), (тут+! ( фт-! 1)/(х Ах).
Если лапласиан представляется по схемам более высокого порядка, то может оказаться, что точность решения полной задачи фактически снизится, если и и и не аппрокснмируются согласованно с тем же порядком точности, что и лапласиан. Аналогичные замечания относятся и к методам наименьших квадратов для решения уравнений эллиптического типа (например, Дэвис и Рабинович [1960]). В этих методах величины хР аппроксимируются полиномами высокого порядка или некото- ') Точнее, пятиточечная схема для лапласнаиа соответствует определению скоростей на границах ячейки между узлами (см. равд, 3.!.2), как в уравнениях "т, (н!з=(трт, 1+! трт, 1)/ у (3.433а) ит ! ИЗ = (зрт 1 трт — ~)/ду (зАЗзб) причем значения в узловых точках находятся следующим образом: ит;='/ (и, (, + т т,та).
8.2.!!. Об оценке рассмотренных методов 21! рыми другими т-параметрическими функциональными формами, Функциональные формы обычно выбираются таким образом, чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям во внутренних точках (что не трудно для уравнения Лапласа), а т параметров (нли коэффициентов полиномов) находятся при помощи минимизации ошибок иа границах методом наименьших квадратов '). Как правило, от этих методов нс следует ожидать успеха, особенно когда ф меняется не монотонно, и их не рекомендуется использовать в вычислительной гидродинамике. Но если эти методы применяются, то определение и и и должно быть согласовано с выбранной аппроксимирующей функциональной формой.
3.2.11. Об оценке рассмотренных методов Замечания, сделанные в равд. 3.1.23 относительно оценки методов решения уравнения переноса вихря, применимы также к оценке методов нахождения решения и конечно-разностным представлениям уравнения Пуассона. Следует также учесть замечания, сделанньге в предыдущем разделе относительно согласованности уравнения Пуассона для функции тока н уравнения переноса вихря как в отношении порядка ошибки аппроксимации, так и в отношении вычисления скоростей. Наконец, при оценке быстроты проведения серийных расчетов в зависимости от сложности метода и времени разработки программы необходимо рассматривать оба эти уравнения вместе. Если при решении уравнения Пуассона для функции тока татр = !, используются итсрационныс методы, а в уравнении переноса вихря для дц!д! берется простейшая одношаговая явная схема, то при пестационарном подходе обычно около 90а!с машинного времени затрачивается на решение уравнения хтзтр = ~.
Поэтому, если при представлении д~/д! перейти к двухшаговой явной схеме (например, к схеме Аллена — Чена из равд. 3.1.15), то машинное время прн решении всей системы уравнений для ф и ~ не удвоится, а только увеличится приблизительно на 1Оо!ю Тогда отношение скоростей расчета по схеме с разностями против потока и по схеме Робертса — Вейса четвертого порядка точности (равд. 3.1.!9), равное 45, при решении всей системы уравнений для ф н ~ намного уменьшится (хотя и останется все еще значительным) н станет равным примерно 6. ') Либо функциональные формы выбираются таким образом, что граничные условия точно удовлетворяются, а невязка дифференциального уравнения в частных производных минимизируется. Возможно также, что не удовлетворяются ви граничные условия, ни двффереипиальные уравнения, а минимизируется комбинация ошибок иа границах и невязкн уравнений (личное сообщение А.
Руссо), 2!г З.Д Методы реитения уравнений дяя функции тока Аналогично, число итераций, необходимых для сходимостн решения уравнения й'ф = ~, отчасти зависит от начального приближения для фи р В качестве начального приближения для фн+' при решении уравнения невун+' = ьннн естественно брать ранее полученное решение уравнения уатрн = ~н. При больших б! величина ьй"н' существенно отличается от ь", и тогда ф" будет уже недостаточно хорошим начальным приближением для врн+'.
В пределе при Лг- 0 вихрь аманн-э-ьн, а начальное приближение трн-э-фн+'. (Это наблюдается и при приближении к стационарному состоянию.) Таким образом, выигрыш в машинном времени за счет увеличения допустимых шагов А! при использовании неявных схем для д",/д! по меньшей мере частично теряется из-за увеличения времени, требуемого для каждого шага итерационного решения уравнения йети = Ь, а также из-за дополнительного времени вычислений за счет неявности самой схемы. Иллюстрируя это, Фромм (!964) привел ряд примеров расчетов, в которых в определенных пределах машинное время практически не зависело от А!! При использовании прямых методов решения уравнения 7инй = ~ возникает противоположная ситуация.
Прямой метод расчета вектора распространения ошибки (равд. 3.2.8) приводит к уменьшению машинного времени, необходимого для ре- шениЯ УРавнениЯ йтиф = ы пРиблизительно в 100 Раз; это значит, что на решение этого уравнения теперь потребуется только 10в(в машинного времени, а на расчет д~/д! по одношаговой явной схеме — около 90отв. Если же для расчета дь/д! использовать двухшаговую схему Чена — Аллена, то полное машинное время почти удвоится, а схема Робертса — Вейса четвертого порядка точности окаэкется приблизительно в 40 раз медленнее схемы с разностями против потока.
С другой стороны, увеличение допустимои величины шага Л! (если не учитывать дополнительного усложнения самого уравнения для дьтд!) непосредственно приводит к сокрашению машинного времени, так как время решения уравнения уявр = ~ при помощи прямого метода не зависит от выбора начального приближения для ф. Выбор между итерационными и прямыми методами определяется также видом граничных условий, Если на всех границах ставятся условия типа Неймана, как, например, при решении уравнения для давления (разд. 3.5), то итерационный процесс сходится очень медленно, Если же уравнение для давления желательно решать на каждом шаге по времени, то прямые методы оказываются более эффективными. Рассмотренные здесь методы, конечно, применимы не только для уравнений для функции тока и давления, но и для других гидродинамических задач, описываемых уравнением Пуассона.
Например, в работе Розенбаума [!968) приведен расчет невяз- 8.3 Граиичвые условия 2!3 кого потенциального течения. Итерационные методы для нели. нейных уравнений эллиптического типа рассматривали Эймс [1965, 1969) и Лик [!969]. 3.3. Граничные условия для уравнения переноса вихря и уравнения для фуннции тона Нетрудно представить себе некоторые типы правдоподобных граничных условий для ф и ь, но попытки определить реальные точные условия, приводящие к устойчивым решениям, могут оказаться весьма неудачными.
Было обнаружено, что адекватность любого граничного условия, определенного при помощи численных экспериментов, может зависеть от числа Рейнольдса, разностных схем, используемых во внутренних точках, других граничных условий, а иногда н от начальных условий. Многочисленность этих факторов затрудняет аналитические исследования и ограничивает их применимость. Тем не менее в этом направлении известен целый ряд работ; см., например, Эдди [1949), Кист и Митчелл [1967], Кемпбелл и Кист [1968), П. Дж.
Тейлор [1968, 1969, 1970) и Чен [1968, 1979). Для многих задач отсутствуют математически строгие решения. Наши выводы в основном будут основываться на интуиции, на экспериментах и аэродинамических трубах и на численных экспериментах. Большинство численных экспериментов по исследованию граничных условий осушесгвлялось при помощи простых двухслойных явных схем для уравнений переноса вихря. Заметим, что известно несколько случаев, когда те же граничные условия, взятые в иных схемах, приводят к неустойчивости. (Термин «неустойчивость» используется здесь в смысле отсутствия сходимостп итераций, а не обязательно в смысле экспоненциального роста ошибки.) Эти примеры могут служить предостережением от применения таких существенно частных методов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
