Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Н, Вычислительные методы линейной алгебры. — 2-е изд., доп. — Мл Физматгиз 1963. — Прил. ред. угольных областей, тем более что для областей сложной формы методы последовательной верхней релаксации заведомо проще с точки зрения программирования. Линч и Райс [1968] рассмотрели влияние гладкости начальных ошибок на оптимальную последовательность р» и влияние ошибок при вычислении собственных значений матрицы, рекомендовали использовать для практических расчетов параметры Вахпресса и указали, что последующие циклы ра менее эффективны, чем первый цикл.
Последовательность пара-' метров ра рассматривалась также в статьях Ганера и Тодда [1967) и Вахпресса [1968]. Неявные схемы метода чередующихся направлений и аналогичные им схемы изучали Янг [1954), Самарский [1962) и Фейрвезер [1969). Фейрвезер с соавторами [1967), Хаджидимос [1969], Бурсье и Франсуа [1969] использовали неявные схемы метода чередующихся направлений для решения бигармонических уравнений. Каспар [1968] рассмотрел неявные схемы метода чередующихся направлений для слабо нелинейных уравнений эллиптического типа.
Видлунд [1967) сообщил об известных успехах при решении некоторых задач с помощью подхода, при котором рассчитывается нестационарное асимптотическое решение уравнения более общего вида: с (х, у) д, = 17Ч вЂ” 9, 2 192 8.2, Методы решения ураенений для функции тока сравнения следует относиться с известной осторожностью. Как было указано выше в разд. 3.2.5 (и в работе Янга и Кинкейда [1969]), результаты сравнения методов часто зависят от нормы ошибки, формы области и граничных условий задачи. При оценке какого-либо нового метода необходимо учитывать его сложность, гибкость, приспособляемость (например, можно ли его использовать дчя решения задачи с граничными условиями Неймана или на сетке, отличной от квадратной) и ожидаемый выигрыш при решении полпой задачи гидродинамики.
Наконец, при выборе метода немаловажную роль играют личное знакомство с методом и ясность его описания автором. Кроме представленных выше методов, Уэстлейк [1968] оценил метод сопряженных градиентов (см. также Симеонов [1967]), градиентные методы, которые сходятся быстрее, чем метод Либмана, но требуют чрезмерного объема машинной памяти, метод Ньютона — Рафсона, также требующий слишком большого числа итераций и слишком большого объема памяти, стациопариые линейные итерации и методы Монте-Карло. Известно, что методы Монте-Карло аффективны при решении уравнения для тр, когда на сетке имеется всего одна или несколько узловьгх точек, н имепно позтому они не представляют ценности для решения гидродинамических задач ').
Уэстлейк также опробовал метод двухлинейной блочной последовательной верхней релаксации с циклическим чебышевским ускорением. Этот метод превосходит неявную схему метода чередующихся направлений для квадратной сетки с разлтером шага больше некоторого зависящего от задачи значения, но для задач с мелкой сеткой неявная схема метода чередующихся направлений дает лучшие результаты.
Мартин и Ти [1961] провели сравнение итерационных методов, включая градиентные методы. Пирсон и Каплан ]1970] исследовали различные способы обхода расчетных точек сетки для метода последовательной верхней релаксации. Они обнаружили, что можно достичь сходимости за меньшее число итераций, но из-за дополнительного усложнения программы при атом может увеличиться машинное время, Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации ет, как и в неявной схеме метода чередующихся направлений Дугласа — Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [1967]), еше один модифицированный метод последовательной верхней релаксации, параметры Шелдона для метода верхней ') Гопалсами и Аггариала [1970] рассматривала методы Монте-Карло для бпгармоничесних уравнений.
д.к7. драгие итерационные моторы 193 релаксации и их модификацию, циклический чебышевский полу- итерационный метод и его вариант (см. также Ходжкинс [1966] и Риглер [1969]), полуитерационный метод Шелдона и его модификацию. Именно здесь Янг и Кинкейд [!969) рекомендовали проводить первый обход расчетных точек в методе последовательной верхней релаксации с параметром релаксации го = 1, а также обсудили некоторые детали того, как норма ошибки может влиять на результаты сравнения различных методов, Лпельт [1969), а такгке Сон и Ханратти [1969] использовали вариант метода последовательной верхней релаксации, предложенный Расселлом [1962].
Одно из самых простых усовершенствований для программирования метода последовательной верхней релаксации ввел Шелдон [1962); см. также работу Иенссена и Стреде [1968). Шелдон расщепляет процесс обхода расчетных точек в методе последовательной верхней релаксации на две части с обходом узловых точек в шахматном порядке — сначала обходятся точки с нечетной суммой ! + 1, а затем с четной суммой 1 + 1. На первой части такого обхода новая информация не используется (в случае рассматриваемого здесь обычного пятиточсчного аналога лапласиана).
На второй части обхода во всех четырех соседних точках учитываются новые значения (см. равд. 3.1.18 о методе «классики»). Стоун [1968], Вейнсгейн с соавторами [1968) и Дюпон с со. авторами [Г968] рассмотрели методы для решения уравнения диффузии (пригодные здесь в силу аналогии между шагами по времени и итерациями), неявные в большей мере, чем неявная схема метода чередующихся направлений, но все-таки не полностью неявные. Эти методы основаны на проведении предварительной матричной факторизации (как это делается во мцогнх прямых методах) и решении возникающей прн этом задачи с разреженной матрнцей при помощи прямого метода исключения Гаусса. Раштон и Лейнг ]1968] использовали метод «динамической релаксации» для решения трехмерного уравнения Лапласа (см. также Вуд [1971)). Виноград [1969] рассмотрел класс методов «хаотической релаксации», которые, подобно методу Ричардсона, удобны для программирования на вычислительных машинах с параллельными процессорами.
Здесь новые значения рассчитываются одновременно в многих узловых точках. Лвтору удалось получить сходящиеся результаты, вообще не задавая заранее ни порядка выбора каждой обрабатываемой точки (й /), ни числа итераций при решении уравнения. Этот результат Винограда наводит на мысль о необходимости исследовать выбор параметров релаксации для неявной схемы метода чередующихся направлений 194 З.З. Методы решения ураенениа для функции геке при помощи метода Монте-1(арло, что может представлять по меньшей мере теоретический интерес. Лик и Танстолл ]1968], а также Ахамед [1970] рассматривали итерационные методы для решения уравнения вида Ч'ф = [(нр).
Методы решения уравнения Пуассона обсуждаются также в работах Алексидзе н Пертая [1969] и Вонка [1970]. В силу своей простоты и приемлемой скорости сходимости основной метод последовательной верхней релаксации (с параметром ее = 1 на первой итерации), по-видимому, остается наиболее популярным итерационным методом в случае областей непрямоугольной формы, тогда как неявная схема метода чередующихся направлений Дугласа и Ракфорда (и, возможно, метод последовательной верхней релаксации) найдет, вероятно, более широкое применение для областей прямоугольной формы.
3.2.8. Метод расчета распространения вектора ошибки (метод ЕЧР) Сравнительно простой и гибкий прямой метод решения уравнения Г1уассона был предложен автором настоящей монографии (Роуч [!971а, 19716]), Этот метод относится к классу методов с двойным обходом расчетных точек или методов с расчетом коэффициентов влияння (см., например, Исндзаки [1957], Люси и Хаусен [1964], Хирота с соавторами [1970]). В нем используются только наиболее элементарные правила линейной алгебры, однако он обладает существенным недостатком: из-за ошибок округления его можно применять лишь для задач с ограниченным размером области.
Опишем этот метод для одномерной задачи (ои применяется и при рассмотрении условия на выходной границе потока в равд. 3.3,7). Рассмотрим сначала одномерную по у задачу с граничными условиями Дирихле, используя для представления второй производной 8'ф)бдя обычную конечно-разностную формулу второго порядка точности: (3. 388) (3.389) Возьмем некоторое произвольное значение ну,' (где штрих означает предварительное значение), скажем нр'= 4Р, =а. Это значение Ф,' отличается от истинного значения Фе на единичную ошибку е, т.
е. 4Р, = 4Р' + Е. (3.390) 3.2,В. Метод расчета распространения вектора ошибки 196 Все остальные предварительные значения пр' вплоть до точки У определяются при помощи преобразованного уравнения (3.388) при первом обходе расчетных точек, начиная с у = 3, гР' „= Лу'ь + 2гр' — т(г' (3.391) Этп предварительные значения тР' отличаются от истинных на величину ошибки еь т.
е. пр = — $+е, Подставпяя вырагкение (3.392) в уравнение (3,388) и используя уравнение (3.391), получаем рекуррентное соотношение для расчета распространения ошибки ег+, =2ег — ег ь (3.393) которое не зависит от неоднородного члена ьь При условии (3.389) на левой границе, очевидно, имеем е~ = О, а по определению еи = е; по индукции можно показать, что тогда уравнение (3.393) принимает вид ег — — (1 — 1) е.
(3,394) Единичная ошибка е вычисляется в конце первого обхода по известному граничному условию грт = б; таким образом, Ь вЂ” у'т е= (3.395) С учетом полученной величины е при втором обходе исправляются предварительные значения и окончательные значения определяются при помощи уравнения гр = $' + (/ — 1) е. (3.396) Эти окончательные значения можно найти и иначе — при по- мощи уравнения (3.391) и правильных значений ер, = а, тра = тр,'+ е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
