Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном случае величины Лх и Л1 могут также оказаться столь малыми, что ошибка округления будет играть важную роль. Ошибка округления важна и в некоторых задачах обращения матрицы (см. равд. 3.2.8).
Эта ошибка будет оказывать влияние на выбор критерия сходимости (см. равд. 3.4) и, очевидно, будет ограничивать наименьшую величину шага по времени Лй для которой вычисления имеют смысл. Несмотря на важность понимания проблемы, связанной с ошибкой округления, обычно дифференциальные уравнения в частных производных в случае многомерных задач по необходимости решаются при достаточно больших величинах шагов по пространственной сетке Лх =(Лх,Лу,Лг) и по времени Лй так что ошибки аппроксимации оказываются больше ошибок округления. Ошибка аппроксимации связана с тем, что в разложениях в ряды Тейлора сохраняются не все члены, а это эквивалентно использованию конечных величин Лх и Лй Пренебрегая ошибками округления, можно сказать, что все остальные ошибки являются ошибками аппроксимации. Несмотря на свою точность, такая классификация ошибок не является адекватной.
В предыдущих разделах мы обсуждали другую классификацию ошибок, которую можно назвать классификацией по свойствам. Ошибки, связанные с различными свойствами схемы, включают в себя ошибки, обусловленные нарушением консервативности, ошибки, обусловленные нарушением свойства транспортивности, ошибки, связанные с численным затуханием и схемиой вязкостью, ошибки, обусловленные нарушением принципа инвариантности Галилея (т. е. преобразования, связанного с обращением скорости невозмушенного потока), ошибки, связанные с ограниченностью решения (илп появлением осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени), фазовые ошибки и ошибки, обусловленные неразличимостью. Все эти ошибки являются ошибками аппрокспмайаи в том смысле, что они стремятся к нулю прн Лх-э О, Л1-~.0, но в действительности это лишь грубое определение. Например, ошибки, обусловленные нарушением консервативности, можно устранить независимо от ошибок аппроксимации (хотя при этом сохранится некоторый вклад от ошибок округления).
Аналогично некоторые методы обладают свойством транспортивности, другие 170 3 Е Методы решения уравнения леренаса вихря не имеют ошибок, обусловленных затуханием для уравнения с постоянными коэффициентами, и т. д. По-видимому, имеет смысл классифицировать ошибки по свойствам, а не просто делить их на ошибки округления и ошибки аппроксимации. При выборе численного метода пользователь должен оценить важность этих ошибок в рассматриваемой им задаче. Например, для принятого метода ошибка, обусловленная нарушением консервативности, может служить для проверки сходпмости решения; фазовые ошибки несущественны для стационарного решения; для получения схем с желаемыми свойствами Бунеман 11967) рассматривал обращаемость по времени симметричных по времени схем и т. д.
Целесообразно оценивать метод с точки зрения классификации ошибок по свойствам, а не сосредоточивать внимание исключительно на порядке ошибки аппроксимации, скажем Е = 0(ЛР,Лх') и т. п., хотя порядок ошибки тоже важен. Те, кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получсния результатов равномерно высокого порядка точности.
В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. равд. 3.2) н постановкой граничнеих условий (см, равд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом прн использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в равд. 3.2.10.
(Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка 0(Лх') требуется знать значения на границе н в пяти ближайших внутренних точках; см. Саусвелл (19461.) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.!3). Другая причина, объясняющая получение часто не оправдывающих ожидания характеристик схем высокого порядка для дифференциальных уравнений в частных производных, заключается в том, что порядок точности схем имеет смысл только при Лх- О, Л1-и О.
Таким образом, порядок точности схем имеет большее значение в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, когда требуется меньший объем оперативной памяти н допустимое время расчетов позволяет брать значительно меньшие шаги Лх. йдев. Замечания к оценке методов Во многих тестовых расчетах схемы низкого порядка точности приводят к довольно точным результатам при грубых Лх и М; см.
Сайрус и Фалтон [1967], Чен [1968], Хемминг [1962, с. 210], а также примеры, приведенные в равд. 3.1.8. (По мнению Чена [1970а], схемы второго порядка, грубо говоря, являются оптимальными.) В действительности при часто желаемых больших Ы можно ожидать исчезновения преимущества схем, имеющих высокий порядок точности во времени. Например, в равд.
3.1.14 указывалось, что схема Кранка — Николсона с ошибкой Е = 0(Лге, Лхе) при применении к уравнению диффузии приводит к ошибочным осцилляциям, обусловленным чрезмерно большим шагом по времени (О ( О), для больших М, в то время как полностью неявная схема с ошибкой Е = = 0(М,Лхе) дает качественно правильное поведение решения. Даже в успешных приложениях существует широкий диапазон условий, при которых больший успех дают схемы второго порядка и еще более широкий диапазон условий, прп которых более успешны схемы четвертого порядка. Различия в точности конкурирующих схем четвертого порядка часто обусловлены консервативностью схем (см., например, Уильямсон [!969]) и тем, что основное внимание при их построении сосредоточено на проблеме фазовой ошибки (см, равд.
3.1.18 — 3.!.20). Кроме того, ошибка, обусловленная неразличимостью, у некоторых схем четвертого порядка точности по пространственной переменной (0(Лх4)) оказывается больше, чем у схем второго порядка (0(бх') ), особенно для коротковолновых компонент (Граммельтведт [1969]). Тем не менее в настоящее время проводится разработка схем более высокого порядка точности, и, по-видимому, они найдут более широкое применение в вычислительной гидродинамике.
В первом издании атой книги (19?2 г.) мы повторяли «обычную благоразумную» мысль: при переходе к схемам высокого порядка точности из-за потери информации при дискретизации граничных условий для дифференциальных уравнений в частных производных практически следует ожидать только умеренного улучшения точности по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями; теперь же у нас возникли серьезные сомнения в справедливости этого соображения. Правда, практические трудности, оказывающие влияние на точность схем второго порядка, — трудности, связанные с граничными условиями и со сложной формой границы, определение соответствующего решения уравнения Пуассона и проблема сеточного числа Рейнольдса, — все зти трудности становятся более щекотливыми при получении решений более высокого порядка точности; к тому же скорость сходимости не всегда равномерно велика во всех точках двумерной сетки.
Тем не 3 Д й1«гады решения уравнения переноса вихря менее при этом результаты высокого порядка для многомерных задач могут быть получены и фактически получаются. Некоторые схемы высокого порядка точности были описаны в раза. 3.1.18 — 3.1.20. Отметим дополнительно следую~дне работы, в которых используются обычные схемы высокого порядка точности. Фейрвезер [1969] применил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения диффузии, имеющую порядок точности О (АГа, Аха).
(Заметим, что некоторые схемы, приведенные в книге Рихтмайера и Мортона [1967] для уравнения диффузии, приобретают высокий порядок точности при определенных комбинациях параметров, но эти условия обычно не характерны для задач гидродннамики.) Гунаратнам и Перкинс [1970] построили схемы высокого порядка с помощью метода взвешенных невязок. Даусон и Маркус [1970] использовали модифицированную схему Рунге— Кутта — Гилла только 'для интегрирования по времени. Ломекс с соавторами [1970] применил схему Рунге — Кутта четвертого порядка точности для интегрирования по времени одномерного модельного уравнения, описывающего течение не- вязкой жидкости.
Фридман [1970] представлял выражениями четвертого порядка точности вторые производные по нормали к стенке (преобладающее направление диффузии) и выражениями второго порядка производные по направлению, параллельному стенке. Аналогичный эффект может быть достигнут при использо. ванин прямоугольной сетки с неравными шагамн Ах ~ь Ау; реальное преимущество такой сетки продемонстрировали Хын и Макано [1966].
Рыбпцки и Хуппер [1970] решали двумерное уравнение диффузии при помоецн полностью неявных разностей первого порядка 0(А1) по времена и конечных элементов, имеющих 36 степеней свободы, по пространству. После 1972 г. появились и друщее конечно-разностные схемы высокого порядка точности обычного типа, но наиболее перспективными оказались схемы, основанные на «компактных разностях». Орсаг и Израэли [1974] и Херш [1975] испольэовали схему, предложенную Крайсом [1973], и назвали ее компакзной разностной схемой.
Но согласно работе Рубина и Хосла [1975], следующие схемы эквивалентны (т. е, каждая из них может быть получена из любой другой): компактная схема Крайса, аппрокснмационная формула Эрмита — Паде, схема Мерштелленга, собственная схема Рубина — Хосла со сплайнами четвертого порядка. В обозначениях Херша [1975] компактную схему можно записать в следующем виде. Рассмотрим дискретную функцию ы, для которой мы хотим определить приближенное значение Р, первой частной производной по пространственной переменной и приближенное зна- 3 Ь25. Замечания к оленке методов !73 ченис 5; второй частной производной по пространственной переменной. Чтобы вычислить Рь сначала найдем первую производную по обычной аппроксимационной формуле второго порядка точности с центральной разностью, обозначим ее через 1; и будем хранить в соответствующем массиве. Итак, 2Л (3.361 а) где Л вЂ” шаг пространственной сетки в направлении х нлн у.
Тогда приближенное значение Р; четвертого порядка точности получается из решения уравнений вида ! — (Р;+ ! + 4Р; + Р; !) = !'!. (3.361 б) (3,361 в) Тогда приближенное значение 5; четвертого порядка точности получается из решения методом прогонки уравнений вида ! !2 (5е !+ 195!+ 5! !) ч вт. (3.36!г) Само собой разумеется, что при решении уравнений для функции Р необходимо поставить граничное условие для первой производной; аналогично надо ставить граничное условие и для 5. Такая трудность присуща всем схемам высокого порядка. Однако Херш [1975] показал, что для объединенной системы уравнений для Р и 5 граничные значения четвертого Обычные схемы четвертого порядка точности имеют внд явных разностных формул, построенных на пятиточечном шаблоне (точка ! и соседние точки ! -~- 1, ! ~ 2).
В компактной схеме берутся только трн точки (! и ! ч- 1), но разностная формула получается неявной, т. е. не локальной. Значения Р, находятся из ураннення (3.361б) прн помощи метода прогонки (см, приложение А), так что эти значения во всех точках ! зависят от значений в других точках и, следовательно, зависят от ), н !,т глобально, а не локально. (Из-за такой глобальной зависимости компактная схема подобна спектральным и псевдоспектральным схемам; см. Орсаг и Израэли [1974[.) Компактная схема обладает также меньшим коэффициентом при ошибке аппроксимации порядка 0(Л'), чем обычная схема четвертого порядка точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
