Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение сп,-' с (и+ 1)-го временнбго слоя; при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение ~п,' ', где ! = шах й Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводностп, где температуры или градиенты температуры на границах. как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявнтих схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы «чехарда» и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида С ( 1 и с) ( '/я '), характерные для явных схем.
Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой по обоим чередующимся направлениям обхода точек используются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964[): ь'= ь", — С(ь", — ьт' ь) + г[(~",~, — ~", — ь, + ~,,), (3.328а) ь*'=т",— С(ьт' — ьт' т) + с((~,~, — ~,.
— ~", + ~",,), (3.328б) ~"," =Ц~',+~",*). (3.328 в) ') Неопубликованный результат автора. ДД17. Явные схемы метода чередующихся направление 149 Для такой схемы анализ устойчивости при помощи метода фон Неймана дает Алгебраическое исследование уравнений (3.329) весьма затруднительно. Численное исследование их для полного интервала изменения параметров С, с! и О приводит к условию устойчивости С ( 1; ограничения на с( здесь нет. Для решения задач гидродинамнки с ненулевыми конвекгивными членами ни схема (3.328), ни какая-либо другая явная схема метода чередующихся направлений на практике не использовалась.
Единственное исключение составляет рассчитанное Сакураи и Ивасаки !1970) решение задачи о структуре одномерной ударной волны, в которой не ставятся краевые условия. Робертс и Вейс [196б) предложили удачный вариант явной схемы метода чередующихся направлений для решения уравнения переноса для невязкой жидкости, который они назвали «схемой с разностями по диагонали». Эта схема основана на центральных разностях как для производной но времени, так и для производной по пространственной переменной, которые вычисляются в точках, расположенных на полушагах сетки; тн+!д рн, !д й!з.!д, ъ! — !1л и ьн~ ! ьн (3. 330) Члены, стоящие в правой части, вычисляются как средние значения вдоль диагонали ячеек пространственно-временнбй сетки. Если расчет ведется в направлении увеличения ! (см. рис.
3.13), то будем иметь ь'ч!1а = 2 (~т + ~ з-!) пРн ' '!' ~, „, = 2 (~; ! +ь,) приеТ ° (3.331б) Подставляя эти выражения в уравнение (3.330), получаем =ь", — э(~тч! — ь",'!), (3.332а) где 1+ С/2 ' (3. 332б) ! — С вЂ” д+ де в+ Се 1.1- л — ле тв ! — С+ Се тв — д+ де 1+ д — де 2( + (3.329а) (3.329б) (3.329в) )бй 8./. Методы решения уравнения переноса вихря Упритгнение. Показать, что в случае проведения расчета в направлении убывания ! схема с разностями по диагонали Робертса и Вейса имеет вид тьп- ! тьп З' (Ьтп+! ьтп ) (3.333а) где С/2 1 — С/2 ' (3.333 б) Поскольку в рассматриваемой схеме используются центральные разности как по времени, так и по пространственной переменной, схема имеет второй порядок точности; однако из-за Рис. 3.13.
Схема с рааностями по диагонали. Кружки соответствуют известным значениям при обходе в направлении роста !', ромбик — неизвестному значению в точке (!', п+ 1), треугольники — значениям, определяемым иа середине диагоналей ячеек на полушагах. Стрелка справа показывает направление обхода. ~,п+! )т (~ и те „,и,-! — та) 1 — $е те 1 — »е (3.334) (3.335) откуда ) 6)Я = 1 тождественно. Значит, эта явная схема чередующихся направлений безусловно устойчива по фон Нейману и для нее )ст) = 1, как это имеет место и для схемы «чехарда» наличия смешанной производной (по времени и по пространственной переменной) в разложениях в ряды Тейлора формально это трудно доказать.
Как установили Пначек и Уильямс [1970), эта схема обладает достаточной точностью в практических расчетах. Подобно схеме Саульева, рассматриваемая схема сказывается явной во внутренних точках и неявной при расчете граничных условий. Для достижения симметрии при расчете можно чередовать направления обхода точек !т и Ц.
Исследование устойчивости схемы (3.332) при помощи метода фон Неймана дает Зддв, Схема «классики» 151 (см. равд. 3.1.6), но в отличие от последней не обладает неустойчивостью, связанной с расчленением решения по временным шагам. Эта схема двухслойная, но при ее программировании на Фортране достаточно одного массива для хранения 1ч И 1л+! Однако любая ошибка, допущенная при вычислении значений на границе в начале обхода узловых точек, может расти не с увеличением времени, а при изменении пространственной координаты. Пусть все ~л = О, и пусть на граничное значение наложена некоторая ошибка е. Тогда из уравнения (3.332) следует, что "',)~т', = — се.
Для того чтобы избежать увеличения ошибок (скажем, машинных ошибок округления) вдоль пространственной координаты, необходимо, чтобы при возрастании К (17) было /$/:~ 1, а при уменьшении г (Ц) было )й'1«= 1. Для схемы чередующихся направлений оба этп ограничения приводят к условию [С/ = 1 (см. задачу 3.!9). Это один из примеров, когда обычный метод фон Пеймана не дает ответа относительно действительной вычислительной неустойчивости. Подобно неявным схемам, явные схемы метода чередующихся направлений в применении к уравнению конвекции для невязкой жидкости приводят к появлению бесконечной скорости распространения возмущения, что нс является свойством дифференциального уравнения. Рассмотренная явная схема метода чередующихся направлений не комбинировалась с явной схемой метода чередующихся направлений для уравнения диффузии с целью получения безусловно устойчивой явной схемы для полного уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, и не использовалась для решения реальных задач гидродинамики.
Улразгнеиие. Показать, что явная схема метода черелующнхся нвпрввленнй Свульевв (З.З!5) для уравнения днффузнн не приводит к росту ошибок прн переходе от одной прос~рвнственной точки к другой. 3.1.18. Схема «ияасоини» Эта схема была впервые использована для итерационного решения уравнения Пуассона Шслдоном [19621 (см, разд.
3.2.7), а для решения уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости, Скалой и Гордоном [1966, 1967). Гурли [!970а] обобщил эту схему, доказал се устойчивость для общего случая уравнений многомерных течении, применил схему к нестационарному уравнению теплопроводности п к эллиптическим уравнениям и дал ей точное образное название «классики», ад Методы ретаения уравиения переноса вихря 152 Это название связано со способом обхода расчетных точек, показанным на рис. 3.14. На каждом слое по времени п обход точек пространственной сетки совершается дважды.
На первом и последующих слоях по времени с нечетнымн п вычисляют Рис. 3.!4. Схема «классикиж Ромбики соотаетстауат первому обходу, четному числу !+1+ и; кружки — второму обходу, нечетному числу 1+ 1+ а, значения в узлах с нечетной суммой 1+1 (на рисунке они отмечены ромбиками). Для простого уравнения диффузии + дЬ д»Ь д»Ь д! дх' ду' (3.336) получаем и«! и (»!«!.! 2с~,1+ »"-! 1 (',1«! 2»г,1+ »от-! ) =1. + б! '! "! ! Ьх» дуе ! + 1 нечетное.
(3. 337) Этот первый обход основан на схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным в узлах с нечетными !'+1. При втором обходе на том же слое по времени выполняются те же вычисления в узлах с четной суммой !+1 (на рисунке онн отмечены кружками), причем в соседних точках берутся значения на (и + !)-м слое, полученные при первом обходе; и«! их! е+! и-,-~ Еч! е«1 ~'."'=~"..+Л1( "' ' ' '.' *-"+ '"' ' " ь1-'), Ь«,1 =Ьсы+ Х, Дхх оуа Е+ / четное. (3.338) Этот расчет при втором обходе полностью неявен в том смысле, что значения в точках (!,1), (! ч-1,1) и (!,/~ 1) бе'рутся на (и + 1)-м слое, но зта «неявность» не влечет за собой Вах!В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
