Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Преимущество этого подхода по сравнению с полностью неявными схемами заключается в том, что в рассматриваемой схеме каждое разностное уравнение, хотя и неявное, имеет только трсхднагональную матрицу. Уравнение (3,308а) содержит неявные неизвестные Г",т!нэ, ~л.+,и! Уравнение (3.308б) содеРжит неЯвные неизвестные Г",.4!', т",.4!'~г Эта двУмеРнаЯ схема абсолютно устойчива, как и полностью неявная схема (уравнения (3.258) или (3.263)). Но в данной схеме требуется решать только трехдиагональную систему (см. приложение А), которая для обычных неявных схем имеет место лишь в одномерном случае. (Другой недостаток неявных схем, связанный с бесконечной скоростью распространения возмузцения для конвектив- Е.
Г. Дьяконовым, Г. И. Марчуком, А. А. Самарским, В. К. Саульевым. Одно из первых применений метода расщепления к многомерной гидродина. мике было дано К. А. Багриновским и С. К. Годуновым в статье, опубли. кованной в ДАН СССР, 1957, т. 11б, .'й 3. — Прим. ред.
') Пирсон [19641 показал, что конвектизные члены не меняют безусловной устойчивости этой схемы, как и в случае полностью неявной схемы. Однако Хаустон и де Бремекер [1974] утверждзют, что собственные функции, использованные Пирсоном, правильны только тогда, когда конвективные члены малы, и поэтому его доказательству нехватает общности. Легко убелиться в том, что требуемая вдеть малость измеряется, как и можно было предполагать, условием для сеточного числа Рейнольдса Ке, ( 2.
д.! !б. Неявные схемы метода чередующихся направлений 141 ного члена, сохраняется и в неявных схемах метода чередую- шихся направлений.) Кроме того, рассматриваемая схема, примененная к линейному уравнению, имеет формальную ошибку порядка 0(Л!з,Лхз,Луз), Для того чтобы убедиться в том, что схема действительно имеет второй порядок точности по времени (это на первый взгляд не очевидно), нужно выписать отдельно вклады от производных по переменным х и у.
Пренебрегая завпспмостшо от у, уравнение (3.308) можно записать в форме 1нь! 1а б1иьпз й21а ьиз = — и + а б з, (3.309) которая, очевидно, имеет порядок 0(Л!з). Аналошггно, пренебрегая в уравнении (3.308) зависимостью от к, получаем форму которая также, очевидно, имеет порядок 0(Л!з). Второй порядок точности, аппроксимация и сходимость данной схемы в применении к уравнению диффузии для прямоугольных и непрямоугольных областей были формально показаны Дугласом [1955, 1957[.
Второй порядок точности схемы может быть нарушен нелинейными членами, которые соответственно должны вычисляться как иаы', о' в уравнении (3.308а) и как и"ьпз, и"ы в уравнении (3.308б). Поскольку и и о определяются через функцию тока зр, которая в свою очередь Находится из эллиптического уравнения чззр = ь, в этом случае требуется совместно решать уравнения для ь и для зр на слоях п + ')з и п + 1, что совсем нереально. Если же в схеме всюду использовать старые значення и" и о", как в работе Сона и Ханратти [1969[, то схема будет иметь формальную точность 0(Л), Лх', Лу'); если же поле скоростей меняется слабо, то в линеаризованной системе остается кое-что от второго порядка точности ').
Брили [!970[ по вычисленным значениям и" и о" и по ранее вычисленным и" †' и о" ' линейной экстраполяцией определял ии"пз и пляпе. Такая схема устойчива и, как оказалось, имеет второй порядок точности. Однако оиа требует дополнительной памяти для хранения значений ф"-'. Можно также проводить полную итерационную процедуру (Пирсон [1965[, Азиз и Хеллумс [1967[): из уравнения (3.308) ') Это аналогично тому случаю, когда во второй схеме с разностями против потока, формально имеющей точность 0(йх), остается кое-что от второго порядка точности при расчете коивективного поля, если Ь слабо меняется в зависимости от пространственной переменной (см. равд. 3.!.11).
142 3 П Методы решения уравнения переноса вихря с и" и и" найти первое приближение ~» ', а затем из уравнения »ЛЯлр = ~"»1 определить первое приближение и" ' и и"»1. На второй итерации ко~вективные члены в уравнении (3.308) можно брать как средние и = '/а(и" + и" л') и т. п. Итерации можно закончить на этом или продолжать до (й+ 1)-й итерации, т. е. до тех пор, пока пе будет выполняться условие (и"+') и 1 =(и»-~')»; в любом случае ошибка будет иметь порядок 0(ЛР), как и в схеме (3.285); см.
равд. 3.1.15. При одной итерации объем вычислений на одном временнбм шаге удваивается, и требуется дополнительная память для хранения ф»+'. Другая возможная процедура заключается в том, что после решения уравнения (3.308а) вычисляется функция тока л(л "+ьа и получаемые из нее значения и"' "', о"+'" подставляются в уравнение (3.308б). Это приводит к линеаризации только на перволт полушаге. Такая процедура может оказаться более точной, чем процедура линеаризацпн по значениям и" и о", и пе требует дополнительной памяти как схема со строго вторым порядком точности, поскольку здесь нет необходимости различать в памяти ф ' и Члп» "-'.
(То есть ф " и Члп"ь имеют одинаковые идентификаторы в программе). Азиз и Хеллумс [19671 исследовали этн разновидности схем. Как и следовало ожидать, схема со строго вторым порядком точности (ф" и ф"»1) оказалась точнее, но для решения трехмерной задачи эти авторы применяли последнюю схему (л(л» и л(л»»н'), потому что объем используемой памяти в этом случае был на пределе. В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий.
Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для ~п»'. Вдоль некоторых границ можно задать условия для с»»', допускающие неявное решение.
Но на стенке с условием прнлипания значения ~ на этой границе зависят от значений ф во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в равд. 3.3.2). Поэтому для определения значения ~"+' на стенке требуется неявное решение уравнения ллел(~п+' = (и»'. Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипаиия практически не поддается расчету даже при линеарпзации скоростей по значениям и" и и".
Возможные процедуры расчета граничных значений ~ +' идентичны рассмотренным выше возможным процедурам для и и ш Для значений на стенке можно припять с."+'=~я, 3.!.!б, Неявные екемы метода чередгяощикея нанравяений 143 и в атом случае значения ~ на стенке будут отставать на Л! от значений во внутренних точках.
Такая схема использовалась в работе Уилкса и Черчилла [1966]. При мал!ах Л! эта аппроксимация достаточно точна, но ведь основное преимущество неявных схем метода чередующихся направлений — возможность счета с большими шагами Л!. При больших Л! такая схема может оказаться не только не точной, но и дестабилизирующей.
Решение при помощи итераций, как и при нахождении решения фн+', очевидно, оказывается предпочтительнее. При испочзьзовании неявных схем метода чередующихся направлений для расчета течений при больших Ре (или при больших числах Грасгофа для течений со свободной конвекцией) многие исследователи обнаруживали вычислительную неустойчивость (или, возможно, очень малую скорость сходимости итераций).
Они либо не смогли получить решение прп больших Ке (например, Парис и Уитекер [1965], Торранс [1968]),либо были вынуждены осреднять с весом рассчитанные данные на старом и иовом слоях по времени (Пирсон [1965а]), что эквивалентно уменьшению Л1, либо переходили к схемам с разностями против потока для коявективных членов [Бао и Догертн [1969]), что в некоторой степени было эквивалентно уменьшению Ке (см. разд. 3.1.8). Было неясно, чем обусловливалась потеря сходимости: медленной сходимостью линеаризованной задачи, нелинейной неустойчивостью уравнений во внутреннпх точках, отставанием ~" на Л! в одношаговой процедуре, недостаточной степенью сходимости ~"„+' в итерационной процедуре или видом уравнения, используемого для расчета ~ по значениям ф во внутренних точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
