Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Коэффициент при дв1/дкв равен нулю, и в схеме Лейта нет схемной искусственной вязкости'). Таким образом, схема Лейта, фактически представляя уравнение для невязкой жидкости в разностной форме с ошибкой порядка 0(Л!и, Лх'), приводит к той же форме (3.224), что и схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, дающая в применении к полному уравнению для вязкой жидкости ') Диссипаиия появляется лишь в члене четвертого порядка. 3.! ! '!.
Схема Лейта 121 ошибку порядка 0(31, Ах) при а, = 'Йи'А! (сравните с формулой (3.18) ). Однако при исследовании только стационарных уравнений для этой схемы снова получается я, = '/аи'А1, откуда следует, что стационарное решение зависит от А! н имеет только первый порядок точности. Такая аномалия связана с необходимостью постановки дополнительного условия на выходной границе потока при использовании центральных разностей для производных по пространственным переменным.
На практике высокая точность обеспечивается за счет постановки на выходной границе потока условия градиентного типа (равд. 3.3.7). Эту аномалию можно рассматривать только совместно с граничными условиямп; подробности можно найти в статье Роуча !!97!в]. Отметим один важный момент, на который обычно не обращают внимания. Если в уравнении, включающем конвективный и вязкий члены, для конвективного члена используется схема Лейта, то схсмная искусственная вязкость имеет вполне определенный вид а, = !),иаА1, за исключением единственного случая, когда С =! (см. приложение Б). Анализ устойчивости прн помощи метода фон Неймана можно провести очень просто, используя пример в равд, 3.1.5.
б, относящийся к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, и замечая, что теперь в уравнении (3.!05) надо заменить е( на Сз/2. Тогда в силу формулы (3.108) для множителя перехода в схеме Лейта будем иметь а = 1 — Са (1 — соз 0) — УС з!п 0, (3.231) откуда следует, что 16!а= 1+ Сз(Са — 1) (! — сов 9)а, (3.232) и для устойчивости должны выполняться неравенства — 1(1+ Са(С' — 1)(1 — соз0)з( + 1. (3.233) Легко проверить, что левое неравенство выполняется всегда, а правое, как обычно, только при С (!.
При помощи формулы (3.232) можно также исследовать ошибку, обусловленную затуханием, и фазовую ошибку рассматриваемой схемы. Лейт [1965) провел такой анализ для случая, когда С « 1 и 0 мало, что представляет интерес при метеорологических расчетах. Первое условие имеет место потому, что метеорологические расчеты проводятся при малых А(, 3.1. Методы реаявнал уравнения переноса вохра а второе связано с тем, что наибольший интерес здесь представляют длинноволновые (по сравнению с Лх) возмущения, когда 0 = й,Лх = 2иЛх/А « 1. Полагая С4 « Св и 1 — соз О ж жОа/2, формулу (3.232) можно переписать в следующем виде: ~ 6 1в 1 — СвО'/4; (3.
234) так как (1 — е)'1 — 1 — е/2 при е « 1, отсюда следует, что ! 61= 1 — С 0'/8. (3.235) Поскольку для исходного дифференциального уравнения ~ 6~ = = 1, член Св04/8 представляет собой приближенное выражение для ошибки, обусловленной затуханием. Заметим, что ошибка, обусловленная затуханием, имеет четвертый порядок по Лх. Аналогично можно оценить фазовую ошибку. Как уже обсуждалось выше (см, равд, 3.1.6), точная фазовая скорость для дифференциального уравнения при всех 0 будет и. Решение дифференциального уравнения можно (пренебрегая влиянием границ) записать в виде (3.160) илн в следующем эквивалентном виде: (3.236) ~(х, 1) =~(х — ит, 1 — т), где т — произвольный сдвиг по времени.
Это решение молгно записать через фурье-компоненты с волновым числом й и соответствующей амплитудой У '): св = 1' ехр [И, (х — и/)), (3,237) или (х, 1) = 1'ехр [/(Π— /е,и1)]. (3.238) Значит, точный сдвиг по фазе за время т для решения дифференциального уравнения равен ЛО = — й,ит. Сравним теперь этот результат со сдвигом по фазе для численного решения. Вычислим сдвиг по фазе для дифференциального уравнения (ДУ) в частных производных за время т = Л1: (ЛО) = — /ахи Л1 = — й,С Лх, (3. 239) т. е (ЛО)„= — СО. (3.
240) Фактический сдвиг по фазе для конечно-разностного уравнения (КРУ) находится из геометрических соображений (см., например, рис. 3.8) и определяется равенством "" РЛО)к.Л (3.241) ') Проаифференнировав (3.237), получим дй/д1 = — /а/е ь и дь/дх = ИяЬ, т.е. уравнение дь/д/ = — ад(/дх выполняется точно. 8. Л ! 3.
Схема Лейта Из уравнения (3.23! ) имеем 1гп 6 = — С айп 9. Полагая айп(ЛО) — ЛО и используя равенство (3.235), получаем — Смяв (ЛО)крэ = ! севу~а (3.242) или, поскольку (1 — е)-' 1+ а при а « 1, (ЛО), р, = — С з!п 0(1+ СтОе/8). (3.243) Для удобства сравнения с (3.240) перепишем (3.243) в виде (ЛО)арр —— — СОг, (3.244) где (3.245) Поскольку 9 мало, раскладывая з(п 9 в ряд, получаем  — В'/31 + О (В') (3.246) В или тж! — О'/6 < 1.
(3.247) Сравнивая равенства (3.244) и (3.240), мы видим, что в конечно-разностном решении каждая фурье-компонента переносится вдоль оси х медленнее нз-за наличия множителя т(0) ( 1. В точном решении дифференциального уравнения в частных производных (ДУ) все компоненты переносятся за счет конвекции со скоростью и; в решении же конечно-разностных уравнений остаются все фурье-компоненты точного решения, но различные компоненты переносятся с различными скоростями. Эта ошибка больше для больших О, т. е. для более коротких длин волн Л.
Таким образом, в процессе численного решения различные фурье-компоненты будут отклоняться одна от другой или диспергнровать; это явление часто называется дисперсионной ошибкой. (Одно из первых исследований дисперсионной ошибки было дано в работе Стоуна и Брайена (!963).) Фазовая ошибка за один шаг по времени будет Ее= =(ЛО)крр — (ЛО)дю Из формул (3.240) и (3.243) находим, что Еа — С з!п Π— ( — СО) = — С(0 — Ое/3! + ...
— 01, или Еа СОз/6. (3.248) Таким образом, фазовая ошибка имеет третий порядок по О, а следовательно, третий порядок и по Лх. Предельный случай коротких длин волн можно рассмотреть без дополнительных приближенных допушений, При С 1 из уравнения (3.232) следует, что !6!'( 1, за исключением случая, когда 0 = О. Из равенства (3.23! ) имеем ! п| 6 = — С з!п О ЗЛ Методе~ решения уравнения переноси вихря 124 В пределе при В- и 1т(6)- 0 и из равенства (3.241) получаем, что з(п(ЛВ)- 0 или (М)кри-пО.
Таким образом, фазовая ошибка будет полной, причем трурье-компонента с наименьшей длиной волньв становится полностью стаиионарной. Этот эффект также имеет место в схеме «чехарда со средней точкой» (см. равд. 3.1.6) и типичен для всех схем, использующих центральные разности для члена бь/бх (Фромм [1968]). Прн С = 1 из равенства (3.232) следует, что ) 0[Я = 1. Здесь фазовая ошибка также исчезает, поскольку равенство (3.241) принимает вид [з(п (ЛВ)] 1 (3.
249) или (58)к„ж — В, (3.250) что соответствует равенству (3.240) для точного решения при С = 1. Это легко проверить, полагая С = 1 в конечно-разност- ном уравнении (3.224): ~и+~ ~п (~п ~п ) + (~п + ~п 2~п) (3 251) Упратинение. Определите фввовую и дпсперспопиую ошибки для схемы с ревпостямя против потопе. Другой тип ошибки, которая оказывает влияние на точность нестационарных и стационарных расчетов при использовании как схемы Лейта, так и любых других схем, называется ошибкой, обусловленной неразличимостью. Ошибка, обусловленная неразличимостью, впервые была описана и проанализирована Филлипсом [1959]. В качестве других важных работ на эту откуда Ц'+'=Ц", и что соответствует точному решению.
В работе Фромма [1968] приведены изолинии фазовой и амплитудной ошибок схемы Лейта в зависимости от параметров С и В. Отмечается хорошее повеление этих линий в предельных случаях при С-и1 и В-пО, 2п. В качестве фундаментальной работы по фазовым ошибкам можно рекомендовать статью Кроули [1968а]. Если интересуются только стационарным решением, то фазовые ошибки не представляют интереса.
Однако в нестационарном решении они могут играть важнейшую роль. Основываясь на формуле (3.248), Лейт [1965] нашел, что число й1 шагов по времени, при котором получается фазовая ошибка в один радиан, равно й( = 6/(СВв). Лейт считает, что при численных расчетах фазовые ошибки оказываются важнее амплитудных ошибок. З.Л18. Схема Лепта тему можно указать статьи Граммельтведта [1969[ и Роберта с соавторами [1970]. Здесь мы только опишем это явление. Неразличимость связана с обменом энергией между фурье- компонентами (термин «энергия» здесь используется в общем смысле первого момента переносимой функции сх). Как уже было указано выше, наименьшая длина волн компонент, которые можно различить при данной разностной сетке, равна Л = = 2Лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
