Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ьх' При помощи метода фон Неймана для анализа устойчивости можно убедиться в том, что единственным условием устойчивости для уравнения (3.167) является условие С ( 1, как в случае невязкой жидкости. В многомерном случае при больших Ке возможно ослабление этого условия более чем на 50% (см. Шуман [1975) ).
Эта схема обладает интересным свойством. Если функции, входящие в уравнение (3.167), разложить в ряды Тейлора (как в разд. 3.1.5, в), то получится уравнение гиперболического типа: I Ы «е дег дС дй д«С и[ — ) — + — = — и — +а —. [, Лх ) д~е дт дх дхе (3.! 68) Устойчивость схемы Дюфорта — Фраикела «можно считать обусловленной наличием гиперболического члена в уравнении дифференциального приближения» (Дюфорт и Фраикел [1953) ). Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.167) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (т. е. при Лх- О, Л1- 0 стремится к модельному уравнению (2.18), содержащему конвективный н диффузионный члены) только в том случае, когда Лх — «-О, Л1- 0 так, что Л(/Лх- О. Если же Лх- О, М- О, но Лг/Лх Ф О, то коиечио-разностиое уравнение (3.16?) будет аппроксимировать уравнение (3.168) гиперболического типа.
На практике характер стремления Лх- 0 и Л( — ~0 не выбирается и понятие аппроксимации становится нечетким. Но уравнение (3.168) даег практическое руководство для расчетов. Если сходимость нестационарного решения проверяется (как это обычно делается па практике для обыкновенных дифференциальных уравнений) численно путем пересчета решения с вдвое меньшим шагом Лх, то М следует уменьшать более чем в 4 раза (Рихтмайер [1957) ).
Если к тому же перенести вторую производную по времени в правую часть уравнения (3.168), то получится — т — — — и д +а д, + 0[ЛИ, Лх', а(Лг/Лх) ). (3.169) Отсюда видно, что рассматриваемая схема имеет второй порядок точности только в том случае, когда а(Л(/Лх)е мало. Действительно, для первого порядка точности по времени получаем йа 3.! Мегодьг решения уравнения ггереноса оихря условие 0[а(Л(/Лх)з] = 0(Л1), или аЛг/Лхз = О(1). Это совпадает с условием устойчивости (3.72) д «=' '/з для простой схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным (ВВЦП), имеющей первый порядок точности по времени. Мы уже указывали выше, что конечно-разностные аналоги могут воспроизводить некоторые свойства дифференциальных уравнений даже без перехода к пределу при Лх- О, Лу- О.
Таковыми свойствами являются свойство независимости порядка дифференцирования бз[/бхбу = ба[/бубх, свойство консервативности, равенство единице множителя перехода для схемы «чехарда» и свойство транспортивности, которое будет кратко рассмотрено ниже. Уравнение диффузии, рассмотренное выше, обладает свойством ограниченности, которос заключается в том, что Ь(х,1) никогда не превосходит максимальных значений начальных и граничных условий' ), поставленных для уравнения дь/д1 = адзь/дхз. Это справедливо и для конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной цри условии, что расчет устойчив. (Как указывалось в равд. 3.1.5.
а, это свойство можно вывести из условия отсутствгия осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени.) Гордон [1968] показал, что схема Дюфорта — Франкела не отражает такого поведения нз-за наличия членов порядка 0(Л1, Лх) и это является ее дополнительным недостатком. Тейлор [1970] показал, что граничные условия типа Неймана (задание величины градиента ь) могут привести к неустойчивости численного решения уравнения диффузии по схеме Дюфорта — Франкела, если представление разностей в граничных точках плохо согласовано со схемой расчета во внутренних точках.
По-видимому, такое согласование не столь важно для течений с большими Ке, но существенно для течений с малыми це и в задачах диффузии. Аллен [1968] столкнулся с некоторымн трудностями решения у границы при применении этой схемы к уравнениям, описывающим течения сжимаемой жидкости. Несмотря на то что схема Дюфорта — Франкела обладает некоторыми недостатками, она имеет те преимущества, что является явной и абсолютно устойчивой. В практических расчетах с фиксированными Лх и малым а, как отмечено выше, разностное уравнение может иметь «второй порядок» точности в смысле малости величины ошибок, а не в смысле действительного по- '1 В применении к уравнению теплопроводности зто свойство связано со вторым законом термодинамика, Температура замкнутого объема вещества, определяемая только диффузией, не может превышать своего иаиболь. щего начального значения и своего наибольшего зизчения нз гранаде объема.
Я.Л7. Схема ечехардае 77юфорта — Фраккела 99 рядка точности. Пирсон [1965а, б] показал, что в некоторых практических расчетах схема Дюфорта — Франкела является более точной, чем схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (см. также Фромм [!964]). Конечно-разноствое представление Дюфорта — Франкела, рассмотренное для диффузионных членов, можно использовать и в сочетании с другими трехслойнымп схемами для конвективных членов, но при этом каждый раз необходимо исследовать устойчивость полного уравнения.
Единственной другой одношаговой явной абсолютно устойчивой схемой для ураннения диффузии является одна пз схем Саульева (Саульев [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Карнахан и др. [1969]; см. также равд. 3.1.17). Как показывает неопубликованное исследование автора, этот подход оказался неприменимым к полному уравнению, включающему конвективный н диффузионный члены, Прн применении любой из этих схем к конвективным членам для любого числа Куранта С ) О получается то же ограничение на шаг по времени, которое определяется диффузионным членом для простой схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной. Кроме того, схема Саульева в действительности оказывается неявной по граничным условиям, которые требуют особого рассмотрения при гидродинамических расчетах.
Поучительно рассмотреть двухслойную схему, аналогичную схеме Дюфорта — Франкела, Аллен [1968] заметил коварную ловушку, имеющуюся при этом подходе. Рассматривая схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) для уравнения диф- фузии ~а!! еа йа + ~а зеа а! Лх' (3. 170) заменим, как и в схеме Дюфорта — Франкела, значение в сред- ней точке га! в диффузионном члене на са,."!", это даст еа+! еа «а + е» яеа-~-! (3. 171) Еа !-! еа йа + ~л зьа Ьх' (3.172) Отсюда можно в явном виде найти значение га!!.
Метод фон Неймана исследования устойчивости показывает, что (как и можно надеяться) такая схема абсолютно устойчива. Но после простых алгебраических преобразований эту схему можно переписать так; 8.!, Методы решения кривления перелови вихря !00 где Лг Л! 1 + 2п Л!/Лет (3. 173) Теперь условие устогшивостн для уравнения (3.172) имеет вид ЛР ( '/збх'/а; в то же вРемЯ из Равенства (3.!73) пРи Л/- оо следует, что Л/'- '/збх'/а. Иначе говоря, схема (3.!71) представляет собой всего лишь завуалированную простую схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной с ошибочно предполагаемой величиной шага по времени (ошибочно предполагаемой, так как пользователь думает, что результат, полученный после п шагов по времени, соответствует моменту времени пЛ/, в действительности же он соответствует времени пЛ/') '), Полезно рассмотреть схему Дюфорта — Франкела в применении к стационарному течению.
В этом случае ~л (~ля-1 + ~л-1) 2 (3.174) Ьл — (Ьлт 1 + ~л-1) + Е (3. 175) где ег — произвольно малые, но не все тождественно равные нулю числа, то расчеты конечно-разностных уравнений по схеме Ричардсона расходятся, а по схеме Дюфорта — Франкела устойчивы. Заметим, что в любой реальной задаче гидродинамики е; не равны тождественно нулю. Заметим также, что при пг = аЛ//Лхз = 1/з схема Дюфорта — Франкела, примененная к уравнению диффузии без конвективного члена, алгебраически эквивалентна схеме с разностямн вперед по времени и центральными разностями по про- Данная схема содержиг ошибку аппроксимвпия, связанную с отбрасыванием членов. Строго говоря, эта схема может быть математически аппроксимирующей, если, например, устремить Лх н Лг к нулю таким образом, чтобы отношение Л!/Лх' было постоянным — это даст в пределе Р-я Л и легко видеть, что схема Дюфорта — Франкела алгебраически эквивалентна схеме Ричардсона (схеме «чехарда» как для конвективных, так и для диффузионных членов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
