Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это принципиально отличается от требования ограниченности решения, но такое различие практически неважно, поскольку прн анализе устойчивости по 76 3). Методы решения уравнения переноса вихря идентичны. Хан [1958] показал, что критерии фон Неймана, Фридрихса и Куранта — Фридрихса — Леви эквивалентны только для простейших конечно-разностных схем в применении к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. В случае же переменных коэффицяентов условие фон Неймана является только необходимым, а условие Фридрихса только достаточным.
Для конечно-разностных аналогов волнового уравнения, в которых в точке с используются значения не в точках г -~- 1, а в более удаленных точках, условие Куранта — Фридрихса — Леви больше не является достаточным. Митчелл [1969] указывает, что условие фон Неймана является необходимым и достаточным (в случае постоянных коэффициентов) для двухслойных схем только с одной зависимой переменной и любым числом независимых переменных, в противном случае оно является только необходимым.
Кроме того, не ясно, эквивалентны ли эти критерии устойчивости критериям, полученным в методе дискретных возмущений и в методе Херта при переменных коэффициентах, и поэтому не следует ожидать одинаковых результатов во всех случаях. Для ознакомления с другими определениями и критериями устойчивости рекомендуется следующая литература. Хилденбранд [1968, с. 205] обсуждает «пошаговую» устойчивость (рассматривается поведение во времени, когда 1- оо при фиксированном 51, как и в трех изложенных выше методах ')) и сопоставляет ее с «поточечной» устойчивостью (рассматривается поведение конечно-разностных уравнений, когда размер шага пространственной сетки стремится к нулю), Густафсон [1969] вводит критерий Л-устойчивости. Роджерс [1967] исследует устойчивость разностных операторов при помощи переходных функций, используемых в теории управления.
В работах Кузика и Лави [1968] и Лани [1969] обсуждается устойчивость различных методов и предлагается неитерационный метод оценки устойчивости в ходе расчетов. С точки зрения обоснования теории устойчивости важны работы Крейса [1964, 1968] и Ошера [1969б], а также книги Вазова и Форсайта [1960] и Келлера [1968]. Карплюс [1958] предложил подход для исследования устойчивости конечно-разностных уравнений, основанный на теории электрических цепей; несмотря на то что иногда этот подход можно использовать с успехом, его применимость лимитируется фон Нейману делается то же самое. Ограниченность решения является более предпочтвтельиым критерием, так как в нем обращают особое внимание на то, что устойчивость нужно исследовать даже в предельном случае алгебраически точных вычислений при общих начальных условиях (Лаке и Рихтмайер [1956)) ') Свойства устойчивости аналогичны свойствам, полученным при бс-т О при фиксированном интервале времени (Лакс и Рихтмайер [19561).
3 Лб Исследование устойчивости 79 некой присущей ему неопределенностью. Другой концепцией численной неустойчивости является неустойчивость в смысле Адамара (см., например, Вейнбергер ]1965]), т. е. чувствительность решения к начальным данным в задаче с начальными условиями. Один метод для экспериментальной проверки этого типа неустойчивости был предложен Миллером [1967). Чен ]1970] анализирует устойчивость подобно Хсрту, но только в пределе при Ах -+.О, А( -~ О, связанных некоторой заданной зависимостью.
Таким образом, видно, что понятие устойчивости не определяется универсально даже для линейных систем. Франкел ]!956) избегал попыток дать точное определение устойчцвости. Рихтмайер ]1963) показал, что понятие устойчивости зависит от выбора нормы в функциональном пространстве зависимого переменного и что использование анализа Фурье, как в методе фон Неймана, предполагает использование 7.з или среднеквадратичной нормы, которая отчасти произвольна, Для ознакомления с иными определениями устойчивости читатель может обратиться к книге Рихтмайера и Мортона ]1967, с.
104). Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости'), Конечно-разностный аналог аппраксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах - О, Ы - 0 конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя прн выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так; здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А( (см.
равд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах - О, Ы -ь-0 реиление конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностцое уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппраксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. Для линейных систем, таких, как рассмотренное нами модельное уравнение с постоянными коэффициентами, теорема эквивалентности Лакса (Лакс и Рвхтмайер ]1956]) устанавливает эквивалентность устойчивости и сходимостиа) прн выпол- ') Под сходпмостью здесь подразумевается сходимость в смысле убыва. ния ошибки аппроксимация.
Обсуждение сходимасти итерационных процессов можно найти в раза 3 4. ') Первая формулировка теоремы эквивалентности была дана В. С. Рябеньким ())А)! СССР, т. 86, № 6, 1962). Затем эта теорема была сформулирована прн различных подходах Лэнсом. Рихтмайером, А. Ф. Филиппавым-- Уиим. вед. Зд. Метода решения уравнения веренева вихря ненни следуюших условий: задача с начальными данными должна быть корректно поставлена в смысле Адамара (Вейнбергер [1965]), т.
е. решение дифференциального уравнения в частных производных должно непрерывно зависеть от начальных дан. ных; конечно-разностное уравнение должно аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных; устойчивость должна быть определена в норме Ее (как в методе фон Неймана).
При выполнении этих требований необходимое условие устойчивости фон Неймана становится и достаточным. Ф. Джон [1952] показал, что несколько усиленная форма условия фон Неймана является достаточной для устойчивости линейных параболических уравнений даже в случае переменных коэффициентов. Ланс (см. Лаке и Рнхтмайер [!956] ) получил аналогичный результат для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. Теорема эквивалентности Лакса, безусловно, является важной, но, к сожалению, ее значимость слишком переоценивается.
В частности, некоторые авторы заключение о сходимостн нелинейных конечно-разностных уравнений (отчаявшись, по-видимому, доказать ее иначе) основывают на теореме эквивалентности Лакса для линейных систем. Несмотря на то что изучение линейных систем полезно для понимания поведения нелинейных систем, очевидно, что теорему эквивалентности Лакса нельзя непосредственно применять к нелинейным уравнениям. Один факт возможной неединственности решений нелинейных уравнений, рассмотренный в гл. 1, должен был бы предостеречь от такого неправильного использования этой теоремы.
Применение теоремы Лакса некорректно даже для линейных систем, если устойчивость определяется не в норме Ьь Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]).
Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости прн условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными. Ни один из рассмотренных критериев и методов анализа устойчивости не является адекватным для проведения практических расчетов. В действительности в задачах гидродинамикн ограничения, связанные с устойчивостью, применяются локаль- 81 8.дб Исследование устойчивости но. Расчетные точки сетки просматриваются одна за другой, чтобы установить, где имеют место наиболее жесткие ограничения, накладываемые критериями устойчивости, а затем из всех максимально допустимых в каждой точке выбирается наименьший шаг Л! и он принимается для всех точек сетки.
На практике полученное таким образом допустимое значение максимального нага по времени обычно берут с коэффициентом запаса 0.8 —: —: 0.9. На ранней стадии расчета, когда градиенты по времени велики, может потребоваться уменьшение этого коэффициента (см., например, Торранс (1968) ). Недостатки такого подхода очевидны. Многие авторы (Филлипс (1959), Рихтмайер (1963), Херт [1968), Гурди и Моррис (1968а) ) описывают неустойчивость, обт словленную нелинейностью или по крайней мере переменностью коэффициентов уравнений. Другие авторы (Лилля (1965)) сообщают о явлении расчленения решения по временным шагам (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
