Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Используя метод дискретных возмущений, исследовать устойчивость схемы с разностями против потока (см. раэд. 3.1,7 — 3.1.9) (л+1 4» 4» 4» — и)о, Ы Ьх (3.92) соответствующей модельному уравнению течения левизной жидкости. Показать, что условие устойчивости накладывает на число Куранта ограничение С = ибиах ( 1 и что оно включает критерий отсутствия осцилляций, обус.
ловленных чрезмерно большим шагом по времени. 3.1.6. б. Анализ устойчивости по фон Нойману Наиболее распространенный метод анализа устойчивости был предложен Дж. фон Нейманом в Лос-Аламосе в 1944 г. В то время с этим методом был частным образом ознакомлен сравнительно узкий круг заинтересованных в нем сотрудников (Эдди [1949]). Краткое описание метода впервые появилось в работе Кранка и Николсона ]!947], а затем в работе Чарни, Фьертофта и фон Неймана ]1950].
Наиболее раннее полное обсуждение метода было дано в работе ОчБрайеиа, Хаймена и ') Это ограничение на гсе, не следует путать с ограничением устойчи. ности в работе Тома и Апсльта (1961, с. 1Зб), В этом случае нтернрование стационарных уравнений выполнялось без «нижвей релаксапиим Это аналогично интегрированию нестацнонарных уравнений с фиксированным д( (см, равд, 3.1.2), и ограничение на Ве, у указанных авторов фактически соог. ветствует ограничению, накладываемому на йб 3.!.5. Исследование устойчивости Каплана [1950).
Как мы покажем ниже, в этом методе решение модельного уравнения представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость (или неустойчивость) определяется тем, что каждое отдельное колебание затухает (нли нарастает). Рассмотрим сначала линейное модельное уравнение с одним только диффузионным членом, снова используя схему (3.18) с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной: или глч! йл + С( (~л +»Гл 9Г»л) (3.93) где с( = аЛ(/Лхз. Каждая фурье-компонента решения записывается в виде й," = Ь'" ехР1И„(! Лх)1, (3.94) ') При таком подходе возникают некоторые вопросы, которые лучше игнорировать при первом чтении и которые выясняются после ознакомления с соответствующей литературой, Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уран. пения (3.93) при нулевых граничных условиях.
Общее решение получается заменой в (3.94) Ул на Аь", где л интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностиой схемы (3.93) (см. Рихтмайер и Мортон (1967)). Хотя (3.94) не являешься решением уравнения с конвектпвиым и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фои Нейману. Для рассматриваемой здесь бесконечаой пространствевной области й, принимает все целые значения, й, = 1, 2, ....
Если желательно исследовать влияние граничных условий, то максимальное й, должно быть конечным и должно зависеть от шах ! = !. Некоторан путаница может возникнуть из-эа того, что в литературе используются две различные «нормирующие» системы для длин. В одной систе»1е шах й, = 1 — 1 выбирается как п)Лю При этом требуется, чтобы Х( = шах х сетки) было задано как Х = и.
Если фазовый угол определен как 0 = й»Лх и й еэ (1, à — 1), то это дает ппп 0 = Лх = = и)(! — 1) и шах 0 = (! — 1)Лх = и. Во второй системе шэт х сетки задается более естественной нормированной величиной Х = 1. Тогда Лх = = 1)(! — 1) и фазовый угол определяется как 0 = пй„Лх. Отсюда снова получается соответственно ппп 8 = пЛх = п((1 — 1) и шах 0 = п(!— — 1)Лх = п Понятно» где Ул — амплитуда отдельной компоненты с волновым числом й„ (длина волны Л = йя/а,) на и-м временном слое и 1 = ~/ — 1. Пространственная область считается бесконечной '). 8.П Методы решения уравнения переноса вихря 70 Если ввести фазовый угол 0 = )е„бх, то (3.94) примет вид ~, = 'тт"е (3.95) Аналогично, +1 )т»+~ ыеьив (3.96) ся! Подставляя в уравнение (3.93) выражения (3.95) и (3.96), получаем 17»+' пв )т» пв+ н()т» си+ив+ )т» ти-ов 2)т» пв( (397) или, после деления на общий множитель впе, )г"~' = )т"(1 + с(( ' + е гв — 2)) (3.98) Используем тождество е" +е 'в=2созО (3.99) и определим множитель перехода 6 равенством (3.100) (3.101) 16)(1.
(3. 102) Это условие является критерием устойчивости для уравнения (3.93) с диффузионным членом. Из (3.101) и (3.102) получаем условия — ! (1 — 2с((1 — созО)-='1, (3.103) которые должны выполняться для всех возможных О, т. е. всех возможных фурье-компонент. Правое неравенство выполняется для всех О. Левое неравенство становится критическим при шах(1 — сов О) = 2, что накладывает на с( условие устойчивости д ~~ '/я илн А(» — —" е а (3. 104) Это условие совпадает с критерием (3.73), полученным при по' Мощи метода дискретных возмущений.
Из (3.98) для 6 имеем 6 = 1 — 2сХ (1 — соз О). Заметим, что 6 = 6(0), т. е. в этом случае множители перехода для различных фурье-компонент различны. Равенство (3.100) ясно показывает, что для того, чтобы решение оставалось ограниченным, для всех О должно выполняться условие 3.!.д. Исследование устойчивости Используя тождество (3.99) и тождество е'е — и — 'в=21 з!пО, получаем (3, 10?) 6 = 1 — 2с((1 — соз О) — 1С з1и О. (3.108) В отличие от предыдущего случая уравнение, включающее коивективный и диффузионный члены, приводит к комплексному множителю перехода (3.108). Этот комплексный множитель 6 сводится к действительному множителю 6, определенному равенством (3.100), при С -н О, т. е.
когда уравнение, йеа1 иеа! Рис. 3.8. Голограф множителя перехода О, записанного в виде 13.110). При С < 1, и < '/з и С' < 2й эллипс лезкит внутри единичного круга, что соответствует устойчивости. включающее конвеитивный и диффузионный члены, сводится к уравнению, содержащему только диффузионный член. Условие устойчивости в рассматриваемом случае имеет вид 16 ~<1, (ЗЛ 09) где теперь 16) — модуль комплексного множителя перехода 6, годограф которого построен на рис.
3.8. Уравнение (3.108) мож- Теперь рассмотрим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для уравнения (ЗЛ8), включающего конвективиый и диффузионный члены; зто даст С глы ~л 1 ~ (~л ~л )+су(~л 1 ~л 2~л)1 (3 105) Подставляя (3.95) и (3.96) и сокращая на епе, снова получаем (3.100), но с множителем перехода 6, имеющим вид 6 = 1 — — (е'е — е са) + сК(все+ е-та 2) (3 108) С 2 72 а!. Методы решения уравнения переноса вихря но переписать в виде 6= 1 — 2г/+ 2Ысоз0 — /С з!и О, (3.110) что соответствует уравнению эллипса с центром в точке 1 — 24! на действительной оси и с полуосями С н 2с(.
Устойчивость ([6[( 1) имеет место в том случае, когда этот эллипс целиком лежит внутри единичного круга. Для устойчивости, очевидно, необходимо, чтобы С ( 1 и й ( '/,. Более общее условие можно найти, используя для модуля 6 следующее выражение; [6 !т = 66 = — (1+ Ы (соз 0 — 1)]э+ С'(1 — соз'О) (3.111) (здесь через 6 обозначена величина, комплексно-сопряженная 6). Используя элементарные методы определения максимума !6[а в зависимости от соз9, можно убедиться') в том, что при С' ~ ~24! (3. 112) внутри интервала — 1 ( соз О ( 1 максимума [6[ не существует. Этот максимум достигается при сон О = — 1 и просто дает условие г(( Ча, которое было получено для уравнения с одним диффузионным членом.
При [се, ) 2 максимум имеет место в интервале — 1 ( сов 0 ( 1 и всегда 6'г',„> 1. Следова. тельно, двойное неравенство С' ( 2с( ( 1 является необходимым и достаточным условием для устойчивости. Условие (3.112) можно записать в видех) с(/ ~( 2а/из, (3. 113) откуда сразу следует, что при отсутствии вязкости (а = 0) схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной неустойчива при всех М.
Два условия с( ( '/я и тсе, ( 2 являются достаточными для устойчивости в случае линейного уравнения в бесконечной области при постоянном и. Случай, когда и является функцией пространственной переменной, также можно исследовать при помощи данного метода, но это трудно. В случае более общих конечно-разностных схем, использующих не менее трех временных слоев, уравнение, соответствующее ') Этп методы элементарны, но выкладки несколько громоздка. Резуль.
таты для двумерного случая, приведенные Фроммом [!984! н в первом англяйском язааянн настоящей книги, были неверны в том отношении, что в качестве необходнмого условня накладывалось ограннченне на сеточное число Рейнольдса; см по этому поводу равд. 3,3.8. ') Это ограанченне может быть получено также нэ условия, что крнвнзна !дту/дхт! эллипса 6 (8) а точке (1,0) должна быть больше кривизны еднннчной окружности (У.
Д. Сандберг, лнчное сообщение). 73 Дг.б. Исследование устойчивости (3.101), становится матричным уравнением. Для устойчивости при этом требуется, чтобы ~)с ~ ( 1, где Х вЂ” все собственные значения') матрицы сл. Когда Π— просто число, это условие эквивалентно условию (3.102). Пример такого случая будет приведен в равд. 3.1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
