Главная » Просмотр файлов » Роуч П. Вычислительная гидродинамика

Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 23

Файл №1185913 Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu) 23 страницаРоуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913) страница 232020-08-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Но при применении только к конвективным членам (т. е. прн а = О) эта схема, называемая схемой со средней точкой (Лилля (!965)) или схемой «чехарда со средней точкой» нли — чаще всего — просто «чехарда> (Курант, Фридрихс, Леви [1928) ), обладает нужными свойствами устойчивости. Таким образом, уравнение дй д (ий) д( дх (3.144) ') Схемы, в которых в правую часть уравнения входят значения Цг+г и ь, и называются неявными, и при этом для вычисления значений лч! лгг на новом временнбм слое, вообще говоря, требуется обращение матрицы. г) Схемы, которые в этой книге именуются однослойными, некоторые авторы называют одношаговыми.

по этой схеме представляется в виде лег л-Г л л (3.145) 2о( 2 ах Данная схема имеет второй порядок точности по пространству и по времени; зто одношаговая явная трехслойная по вре- 8.д Методы решения уравнение переноса вихри мени схема. Значит, для вычисления новых значений на слое п+ 1 в этой схеме необходимы значения на слоях и и и — 1. Заметим, что новые ь на четном временном слое вычисляются как значения ~ на предыдущем четном временном слое плюс некоторое приращение, а предыдущий нечетный временной слой при этом «перепрыгивается» (отсюда и название схемы — «че.

харда»). »та+1 т»п-1 С (ьт» ьтп ) (3.145) где С = пб1/Лх — число Куранта. Подставляя сюда фурье-ком- поненты, получаем связь для амплитуд (ти~-1 ) п+ 1,н-1 (3.147) где а = — 27С з(п О. (3.148) Чтобы получить матричное уравнение, добавим к (3.147) тождество 'е'"=1 ° Рн+ 0 ° )ти '. (3.149) Рассматривая это уравнение совместно с уравнением (3.147), получаем (3.150) где множитель перехода 6 теперь представляет собой матрицу -ИЛ (3.151) Для изученной ранее однослойной схемы множитель перехода 6 был просто числом, а условие устойчивости имело вид ~ 6( ( 1.

В данном случае, когда 6 представляет собой матрицу, условие устойчивости (согласно фон Нейману) имеет следующий вид: (3.152) Метод фон Неймана исследования устойчивости для этой и других многослойных схем применяется следующим образом. Используя те же определения и предположения, что и в предыдуших примерах, уравнение (3.145) можно записать в следующем виде: Зд 6. Одношаговые явнвге схемы вт де Л вЂ” все возможные собственные значения матрицы 6 '). ,Собственное значение Л матрицы определяется как корень характеристического уравнения, которое получается приравниванием нулю определителя матрицы, у которого из каждого диагонального элемента вычитается Л.) Таким образом, характеристическое уравнение для определения матрицы 6 записывается так: — в (3.153) Когда 6 представляет собой просто число, как в предыдущих римерах, оно рассматривается как одномерная матрица.

Тогда равнение для определения собственного значения принимает нд 6 — Л =0 илп Л =- 6, поэтому условие (3.152) сведется , предыдущему условию (3.102), а именно ~ 6! =!.) Раскрывая пределнтель и решая полученное квадратное уравнение для Л, находим два решения: Л = й).а~ 'у'а'+4). (3.154) Учитывая, что а = — 2г'С э!п 0 и ат = — 4С з!па О, имеем в,= — гс ь вь вз."с"~в. (3.155) В тех случаях, когда Ст э!пз 0 ) 1, квадратное подкоренное выражение будет отрицательным, и тогда Ле — — !1 — С з!и 0 ~ тУСз вбп'0 — 1]. (3,156) При этом абсолютная величина )Л!) 1, что означает неустойчивость.

В том же случае, когда Са з)пз 0 = 1, для чего, вообще говоря, требуется выполнение условия С ~~1, (3.157) для абсолютной величины Л получаем )Л !'=С'э)п'О+(1 — С'з!п'О), (3.158) 1 Лм ! = ! при С ~(1. (3. 159) Это, очевидно, удовлетворяет условию устойчивости (3.152) в предельном случае равенства. Аналогичный результат получается также при двух пространственных переменных, но здесь для устойчивости требуется выполнение неравенства С„+ С„= 1, ') Часто для удобства это условие формулируется так: для устойчивости схемы спектральный радиус матрипы 6 не должен превышать единицы, т, е.

р(б) ( К где р(б) = шах)Л,), а Лр есть р-е собственное значение 6. Спектральный радиус, очевидно, есть радиус круга в комплексной плоскости, центр которого находится в точке (ц О) и внутри которого лежат все собстненпые значения. 88 Зд. Методы решения рраенения лереноеа вихря Можно думать, что даваемое (3.159) значение !Х )= 1, отвечающее границе устойчивости, является приемлемым лишь в крайнем случае, но в действительности это значение даже весьма желательно, если решение исходного дифференциального уравнения не является затухающим.

В самом деле, уравнение конвекции (3.144) при отсутствия вязкости и постоянном и выражает тот факт, что произвольное начальное распределение функции ~(х,0) просто сдвигается со скоростью конвекции и; значит, для любого сдвига т по времени решение этого уравнения имеет вид ~ (х, 1+ т) = !", (х — ит, 1). (3.160) Таким образом, метод фон Неймана показывает, что схема «чехарда» правильно моделирует одно пз свойств, присущих решению исходвого дифференциального уравнения при и = = сопз(, а именно отсутствие затухания.

Любая разностная схема для решения уравнения для невязкой жидкости, такая, что ~0)(1, обладает ошибкой, обусловленной искусственным или численным затуханием, В любой сходяшейся разностной схеме эта ошибка должна, конечно, стремиться к нулю при Лх-+-0, Л1-ы0, но применение метода фон Неймана показывает, что схема «чехарда» при и = сопз! и С ~ 1 обладает нулевой ошибкой, обусловленной затуханием, даже при конечных Лх и Лйь Действительно, в частном случае С = 1 рассматриваемая схема дает точные результаты.

Полагая т = Лй имеем х — ит = х — СЛх, поэтому при С = 1 решение (3.160) можно переписать так: »та+1 т»л (3.! 61) Следовательно, точное решение дифференциального уравнения, если его рассматривать в узловых точках конечно-разностной сетки, выражает перенос величины ь нз точки с' — ! на слое и в точку ! на слое п+!. Величина ь за один шаг по времени переносится с конвективной скоростью и на расстояние иЛ(, а при С = 1 расстояние иЛ! равно Лх. Через два временных шага точное решение будет »та+1»тл-! (3.! 62) В результате применения схемы «чехарда» (3.!46) при С=1 получаем ~л~-1 л-1 ~п + ~л (3.! 63) Задав правильные начальные значения согласно уравнению (3.161), а именно ~",.+,— — й",-' и Ц,=~",—,', получаем, что разностное решение (3.163) совпадает с точным решением (3.162).

Таким образом, при и = сопз1 и С = 1 схема «чехарда дает точное решение 89 З.пб. Одношаговые явные схемы Однако при практических гидродинамических расчетах, когда скорость меняется в пространстве, ограничение на шаг Л1 будет определяться (если не учитывать дополнительные усложнения, обусловленные нелинейностью) наибольшим значением и в узловых точках сетки. Значит, вообще говоря, нельзя получить С = 1 во всех точках. Но при С ( 1 разностная схема «чехарда» уже не будет давать точного решения.

Прежде всего вопреки результатам метода фон Неймана рассматриваемой схеме может быть присуще некоторого рода численное затухание, хотя это обычно не допускается. На рис. 3.10 представлены трехмерные графики величины 9(х,(), рассчитанной по схеме «чехарда» при синусондально меняющейся на входной границе потока величине ~(0,1) = з(п й При С = 1, как видно на рис. 3.10,а, получается точное решение с синусоидальным законом на входной границе, которое переносится за счет конвекцни без затухания. На рис.

3.10, 6 построена диаграмма, рассчитанная с вдвое меньшим шагом по времени, т. е. при С = '/а. Ясно видно, что в этом случае максимум амплитуды первого горба уменьшается по мере движения вниз по потоку. Рис. 3.10, и снова соответствует С = '/з, но период изменения ~ на входной границе и величина шага по времени выбраны таким образом, чтобы их отношение (и шаг Лх) были такими же, как и для рис. 10,и; в этом случае затухание очень сильное. Здесь возникает вопрос относительно применения термина «затуханием Метод фон Неймана стал настолько широко известным, что «затухание» обычно понимается в смысле поведения фурье-компонент как случай, когда ~Х~ ( 1, Очевидно, если термин «затухание» означает по определению, что 1Х1 ( 1, то схема «чехарда» по определению не обладает затуханием.

Уменыпение же экстремальных величин амплитуды, которое видно на рис. 3.10, 6 и 3.10, в, правильно связывать с дисперсионной ошибкой '), которая проявляется в методе фон Неймана и будет кратко обсуждаться в дальнейшем. Такая терминология целесообразна, н ее можно даже рекомендовать в тех случаях, когда имеется в виду, что схема в самом деле может вызывать уменьшение экстремальных величин амплитуд волн.

В обычной речи такое свойство называется «затуханием»; что же касается рис. 3,10,в, то лучше было бы говорить, что волна ') Днсперсиовную ошибку мы будем обсуждать на стр. !23 — 124, а пока ограничимся кратким замечанием. Ошибка в волновой скорости различна для различных фурье-компонент, но»тому каждая из них имеет рззличную скорость конвекции. Таким образом, фурье-компоненты исходного распреде. лепна имеют тендениии «размазываться» нли днспергировать в пропсссе решения. Эта ошибка обычно больше для компонент с меньшей длиной волны и, конечно, зависит от чвсла Куравта, причем при С = 1 она не возникает.

90 3.!. Методы решения уравнения переноса вихря Рис. 3.10. Решения уравнения дь/д/ = — идь/дх, полученные при помоши схемы «чехараа». Здесь С вЂ” число Куранта, Ж вЂ” сеточная частота. Диаграммы любезно предоставлены У. Сандбергом из лаборатории Сандиа. а:С = 1, /У = 8; б; С = 0.5, /хх = 16. ДД Гнетодм решения уравнения переноса вихря не затухает, а уменьшает свою амплитуду по мере ее переноса за счет конвекции. Основываясь на рис. 3.!О, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра.

Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота М = = 2п/Л(, т, е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока. Сравнение рис. 3.10,б и 3.10,в приводит к выводу, что для фиксированного С ( 1 затухание (уменьшение экстремальных амплитуд) ослабляется с увеличением сеточной частоты в том случае, когда сеточная частота М представляет собой целое число.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,43 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее