Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Но когда Х не является целым числом (случай, изображенный на рис. 3.10,г), то происходит «недозатухаиие» амплитуды; как показано на рис. 3.10,г, амплитуды «недозатухают» на 15% от амплитуды пика иа входной границе, что обусловлено фазовыми ошибками. Данный эффект нельзя полностью отнести за счет условия на выходной границе потока; уже до того, как почувствуется какое-либо влияние этих условий, наблюдается недозатухание амплитуды на 8% . Схеме «чехарда» присуши также другие ошибки и аномалии.
Дифференциальное уравнение (3.144) является уравнением первого порядка по пространственным переменным и по времени; для всех х ) О, с ) 0 решение полностью определяется заданием начальных условий ь(х, О) и граничных условий ~(0,(). Но для начала вычислений при помощи дискретного аналога (3.145) требуется два набора начальных условий, так как для расчета значений на (и + 1)-м слое необходимы значения на и-м и (п — 1)-м слоях. Таким образом, конечно-разностное уравнение фактически является уравнением второго порядка по времени и требует начальных условий ц и Ьз1 это аналогично заданию начальных дй ~ значений ь(х, 0) и — '~ для дифференциального уравнения, дг и-о что делает задачу для дифференциального уравнения переопределенной. Для получения ~', должна быть использована другая «разгонная» конечно-разностная схема, после чего можно применять схему «чехарда».
Если такая «разгонная» схема дает точные результаты, как это предполагалось после обсуждения уравнения (3.163), то последующее решение по схеме «чехарда» при С = 1 будет точным. Если же «разгонная» схема вносит 8.16, Одношаговые явные схемы ошибку в значения Ьа, то эта ошибка будет сохраняться при последующих расчетах по схеме «чехарда». Таким образом, правильнее говорить, что схема «чехарда» при С = 1 сохраняет, а ие дает точное решение, заданное на первом временнбм слое, для всех времен.
Другим типом ошибки схемы «чехарда» (и всех других схем) при С ( 1 является фазовая ошибка. При решении дифференциального уравнения все начальное распределение Ь(х, 0) распространяется со скоростью конвекции и. При конечно-разиостных расчетах различные фурье-компоненты имеют разные цп -1 Рис. 3.!1. Фурье-компонента с длиной волны Д =2йх на пространственной сетке бесконечной протяженности. скорости конвекции, причем скорость компонент с наибольшей длиной волны Л приближается к правильному значению и, а компоненты с меньшими длинами воли распространяются с меньшими скоростями. Фазовая ошибка будет подробно обсуждаться в равд. 3.1.13, но это явление легко продемонстрировать, рассматривая (см. рис.
3.11) наименьшую возможную длину волны Л = 2Лх на пространственной сетке бесконечной протяженности. Для общности возмущения на (и — 1)-м и и-ы временных слоях взяты с различными амплитудамн, что соответствует использованию «разгонной» схемы, для которой не выполняется условие 6 = 1. Из рис. 3.11 ясно, что (3. 164) дЛя ВСЕХ г. ТаКИМ ОбраЗОМ, ~а+1=йп-1 Ьн+'=Р Н т. д, Зиачит, здесь имеет место чередование двух искусственно заданных начальных распределений с произвольной амплитудой, фурье- компонента с длиной волны а = 2Лх является полностью стационарной, причем имеет место полная ошибка фазовой скорости. 8.1.
Методы решения уравнения переноса вихря Это странное поведение совместимо с тем, казалось бы, противоречащим ему фактом, что схема «чехарда» при С = 1 сохраняет точное решение. Если начать расчет с точного решения ~п,=Ц и то для компоненты с Л=2Ах следующее правильное решение в самом деле будет Ц»1=оп,— а'=г.пг '. Ясно, что, хотя схема «чехарда» имеет второй порядок точности, в действительности точность определяется точностью «раэгонной» схемьг, используемой на начальной стадии расчета '). Опыт расчетов показывает, что явления, продемонстрированные иа этой модельной задаче с постоянной скоростью конвекции, возникают также и в нелинейных задачах.
Таким образом, в практических расчетах всегда имеется возможность расчленения ре1иения по временным шагам (Лилли 11965]), когда развиваются два несвязанных расчлененных решения, чередующихся на каждом шаге. Заметим, что, поскольку дс/д1 = О, изменение временного шага не приведет к изменению двух расчлененных решений! Лилли [1965] указал, что такая «неустойчивость», связанная с расчленением решения по временным шагам, по всей видимости, развивается при приближении к стационарному состоянию. Автор настоящей книги также сталкивался с этим явлением в случае уравнений для плоского течения даже при наличии вязкости.
При решении задачи об обтекании обратного уступа за счет вязких членов (которые не могут быть рассмотрены с помощью схемы «чехарда», см. равд. 3.1.7) возникла тенденция свести воедино два расчлененных решения, но прн приближении к стационарному состоянию расчлененные решения развивались даже при столь малом значении числа Рейиольдса, как Ке = 100 з). Схема «чехарда», рассмотренная для конвективных членов, применима также для течений с малыми Ке (Хыь| и Макапо (1966]) и для течений невязкой жидкости при условии, что точное начальное решение рассчитывается отдельно и что стационарное состояние не достигается. ') Для того чтобы получить хорошее начальное решепве, можно брать меньшие величины а1 для первых 1Π— 90 шагов по временя, вспользуя какую-лвбо двухслойную схему. Одвако вопрос о начальном решении яетрявяален.
Например, Полджер (19711 показал, что в случае использования схемы «чехарда» для проязводяых по времени в уравнениях для вевязкой жидкости начальное решеяяе оказывает существенное влияние ва пеляяейную яеустойчявость прк больших зпачевяях времени. ') Фромм (19б71 сообщил, что уляяпу (!9бб1 удалось избавиться от такого расчлевевпя решения по временным шагам (которое оя назвал Фазовой веустойчявоетью), периодически полагая решение па (и — 1)-м слое разным решевяю яа п-м слое.
Но ве яспо, как часто зто кадо делать, когда пачвпать я как зто повлияет на пестапяонарное я стапяоваркое решения. Вопрос о свойствах решеввй, расчлененных по временным шагам, остается открытым, 8.Д7, Схема «чекарда» Дюфорта — Франкела В схеме «чехарда» (и во всех схемах второго порядка точности с центральными разностями по пространственным переменным) имеют место и дополнительные ошибки. Рассмотрим конечно-разностную схему, у которой наибольшее значение равно Ы.
Применение схемы «чехарда» (3.145) для вычисления :",+' потребовало бы значения величины ~,", , в точке, которая находится вне расчетной сетки. Поэтому в точке Ы нельзя провести расчеты и для определения Ц+! требуется задать численное граничное условие в П., Подобные условия будут рассматриваться в равд. 3.3, а здесь мы лишь укажем, что такое требование аналогично необходимости задания двух наборов начальных условий и ведет к переопределенности задачи для дифференциального уравнения. Заметим также, что обычно используемое условие равенства нулю градиента для задания условия на входной границе потока (см.
равд. 3.3.7), когда полагают ~а+! = ц'+'„ приводит к д!ижению стационарной (в прочих отношениях) фурье-компоненты с длиной волны Л = 2Лх, но это движение не имеет ничего общего с тем, что происходит при конвекции. С ростом времени эта фурье-компонента с А = 2Лх затухает по сетке справа (от выходной границы потока) налево, тогда как настоящая конвекция развивается слева направо. Такое неправильное требование, состоя!цее в задании дополнигельного условия на выходной границе потока, является следствием ошибки еще одного вида, а именно обусловленной нарушением свойства транспортиввости, которая будет обсуждаться ниже.
Улражнение. При помощи вычислений вручную и геометрических соображений проверить, что схема «чехарда» дает правильное поведение реше. ння на левой границе (входная граница потока). Задав начальное условие, включающее только компоненту с Х = 2Лх, и зафиксировав граничное усло. вие иа вхолной границе потока для всех моментов времени, начать расчеты по схемс «чехарда» при С = ! при точном решении на втором времеинбм слое. Показать, что при С ! начальный профиль правильно распространяется по сетке.
Следует также заметить, что название «чехарда» применяется для многих схем, отличающихся видом аппроксимации пространственных производных, по все они являются трехслойными и используют центральные разности по времени, как и голько что рассмотренная схема. ЗЛ.7. Схема «чехарда» Дюфорта — Франиела Как было показано, при использовании центральных разнотей как по времени, так и по пространственным переменным для аппроксимации модельного уравнения, описывающего тече. а П Методы решения уравнения переноса вихря ние невязкой жидкости, схема «чехарда» обладает некоторыми желательными свойствами, включая второй порядок точности по пространственным переменным и по времени и тот факт, что множитель перехода [0[=1. К сожалению, эта разностная схема, примененная к уравнению диффузии, приводит к безусловно неустойчивой схеме Ричардсона.
Так как [0[=1 для уравнения, содержащего только конвективный член, а для уравнения диффузии [О[ 1, то неудивительно, что разностное уравнение (3.17), включающее конвективный и диффузионный члены, также безусловно неустойчиво. Некоторые авторы комбинировали схему «чехарда», имеющую ошибку порядка 0(Л!и, Лх'), для конвектинных членов со схемой, использующей разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным (на интервале 2Л() и имеющей ошибку порядка 0(ЛО Лх'), для диффузионных членов: йпт1 ьп-1 с ю 2ЛС Формально порядок ошибки аппроксимации соответствует величине ошибки при Лх- О, Л1- О, поэтому общая ошибка аппроксимации для конечно-разностного уравнения (3.165) будет величиной порядка 0(Л1, Лх').
На практике величина такой ошибки может быть меньше. При малых, но отличных от нуля Л! можно считать, что сс = 1/Бе = 0(Л!). В этом случае первый отбрасываемый член в ряде Тейлора диффузионного члена будет иметь порядок 0[се(ЛА Лх')], а величина суммарной ошибки для уравнения (3.165) — порядок 0(Л!и, Лх').
Условие устойчивости для уравнения (3.165) будет определяться наиболее жестким из условий, связанных с конвективным членом, С = = иЛ!/Лх ( 1, и с диффузионным членом, д = аЛ!/Лх' ~ '/ь (Устойчивость для конвективного и диффузионного членов во многих случаях, но не всегда, можно исследовать раздельно; см., например, Касахара [!965].) Известной явной схемой, устраняющей ограничение, обусловленное диффузионным членом, является схема Дюфорта и Франкела [1953].
Эту схему для решения многих задач гидродинамики с успехом использовали разные авторы, например, Пейн [1958], Фромм и Харлоу [!963], Фромм [1963, 1965, !967], Амсден и Харлоу [1964], Хын и Макано [!966], Торранс [1968]. В диффузионном члене уравнения (3.!7) значение Ц' в центральной узловой точке заменяется средним по времени значением для (и + 1)-го и (н — !)-го слоев, что дает — и '+' ' х ' ° (3166) 2Л! 2Ьх Лхх Д!.т. Схема *нехарда» Дюфарта — Франке»а Несмотря на то что здесь в правую часть входят значения на (и + 1)-м слое, эти значения относятся к точке й Следовательно, уравнение (3.166) можно явно разрешить относительно ~",+'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
