Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Оказывается, свойство транспортивностп имеет такой же физический смысл, как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока, обладающие свойством транспортивности, точнее, чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле, а не в смысле порядка ошибки аппроксимации. Чтобы подчеркнуть значение свойства транспортивности в противоположность схеме с разностями против потока, рассмотрим схему с разностями по потоку или наветренные разностные схемы (Франкел [1956)). Такая схема неустойчива, но предполагается, что ее можно сделать устойчивой при помощи некоторого конечно-разностпого представления производной по времени.
С точки зрения точности представления только производных эта схема и схема с разностями против потока одинаково приемлемы. Однако в схеме с разностямн по потоку возмущение будет переноситься за счет конвекции только вверх по потоку, а вовсе не в направлении скорости! Это физический абсурд '), и стоит еще раз напомнить то, что было сказано относительно свойства консервативности: точность конечно-разностного представления производных не эквивалентна точности представления дифференциального уравнения.
') Сполдинг предложил называть схему с разностямн против потока «схемой свинарника». Его мысль. заключается з том, что если Ь рассматривать как конпентранию некоторого вещества, то мы должны почунстзозать запах свинарника, когда находимся на его подаетренной, а не на назсгрен. ной стороне (если исключить влияние диффузии).
а1, !т!етодьт решения уравнения яеренота вихря !!О Робертс и Вейс [1966) называют схему Лелевье с разностями против потока «неадекватной», однако в подстрочном примечании признают: «Тем не менее эта односторонняя схема сохраняет знак положительно определенных величин, так же как и лагранжевы схемы; эйлеровы же схемы с центральными разностями не обладают таким свойством». Интересно отметить, что в рассмотренной конечно-разностной схеме каждая узловая точка сетки аналогична конечному элементу в расчетах конечно-элементной модели реактора, иногда используемой инженерами-химиками (Кридер и Фосс 119661). Поэтому, очевидно, оправдано представление этой схемы как схемы «моделирования».
3.1.10. Транспортнвные н нонсврвативные равностные схемы Первая схема с разностями против потока (3.!76) является консервативной, а также транспортивной до тех пор, пока составляющие скорости не меняют свой знак. Покажем для одномерного течения, когда все ит ) О, что эта схема обладает свойством консервативности. Проводя такие же выкладки, как в равд.
3.1.3, получаем вы итьт — и т!и а! ая (3.199) тт т ! т Л (1= У!) (2'=!!+ Ц 11=7!+2Д = иь 11 ! — и1.1 + + иь 11 — и~1 +и~1л — иь1 „,+ . + + +и~1, — иь" 1,, + +» 11,-2 ь 11,-1 + ит» 11 Г 2 22 ("ю = 1, — 11 [1 = 7,~ (3.200) — иь 1,, или 1т ) — „' = иь 1л, — и~ 1, . (3.201) Правая часть представляет собой вычисленную против потока разность двух величин, а пменно потока, втекающего в об- З.С,СО. Траненартивные и кансервативные схемы 111 пасть ст через ее границу 1с за единицу времени, и потока, вытекающего из области сс через ее границу се за единицу времени.
Таким образом, свойство консервативности здесь имеет место. Однако в области, где скорость меняет знак, направление разностей против потока также меняется, н тогда свойство консервативности утрачивается. Покажем зто для одномерного случая при и, ) О для с ( ( и и, ( 0 для с ) й Применяя схему с разностями против потока, получаем Лй иС),. — иЬ(с — — — при с(~с, где и, > О, (3.202) ЛЬ ит~,ьс — иЬсс — — при с > с, где и; < 0; (3.203) тогда с=с, с-с, =и~ 1 с, )с с — иьу!с Л С усу~с — сс~1сн.с Лх х'. Лх Лх+ Лх= с-с+с + — и~ сс с+ + — и~) +иЛ!, + +иьсс 2 — сто!с с + +и~~с с — ю4!с + + ссь ~с е с — иь!с ьа + +и~)„, — иР„в+ -(- + + и~ 11, — и~ ~с. с + + и~ ~с с — нс".1 + и~1с — се~~с вн (3.204) или + = и~ сс, — ис,'1 +, — ис, 1с + и~ 1с с (3.205) с-с~ Первые два члена представляют собой вычисленную против потока разность потоков в единицу времени на двух границах области )г; третий и четвертый члены представляют собой осинки, обусловленные неконсервативностью.
Поскольку ис ) 0 н ис+, ( О, зги члены можно переписать как — иь ~с + иь ~сн.с = — [) ис ~ьс+ ~ ис,с ~ ~с.н) (3 206) 3.1. !негода! решения уравнения переноса вихря !!2 где 7с = — (ис !сс, !ис с!сс ! при и;,)О, 1~-! 0 при ис с(0 о (3.209) (3. 210) с 0 при и;,)О, с с -!- ! ! ись! (~сь! прн и;е! ( О. (3. 21! ) Это всегда имеет место в том случае, когда в качестве ~ь рассматривается плотность (положительно определенная величина), входящая в уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости.
х) В плоской задаче такая ошибка появляется только при условии, что составляющая скорости меняет знак при движении в напранлении этой составляющей. Таким образом, если о,, ) О, а о! оы ( О, то ошибка, обусловленная неконсервативностью, появляется, но если ос,, ) О, а осс,, с < О, то такой ошибки нет. Первая ситуапия встречается в отрывных течения., вторая — в случае, когда прп обтекании составляющая скорости о меняет знак при переходе от лобовой частя к кормовой без отрыва потока. Таким образом, разностные решевия Скалы и Гордона (1967) консервативны.
з) Такой частный случай в действительности эквввалентен применению схемы (3.!76), когда скорость не меняет знак. Эта схема при расчетах используется вместо схемы (3 !76) не во всех точках только потому, по в ней для вычислений и логических операторов 1Р ири реалнзапии программы на Фортране требуются несколько большие затраты машинного времени, чем в схеме (3.!76). и тогда 1 + = ий 1, — и9 ),, — ( ! и, ( йс + ! и,+, ~~се Д.
(3.207) с=с, Рассмотрим случай, когда и не меняет знака ') при переходе от точки ! к точке !+1. Тогда член, соответствующий ошибке, можно рассматривать как искусственный сток функции с. Если же и, ( О, а ссьм > О, то этот член можно рассматривать как искусственный источник " з). Так как на участке между точками ! и ! + 1 существует точка, где и = О, то и, н ись! обычно малы и при уменьшении шага пространственной сетки ошибка, обусловленная неконсервативностью, стремится к нулю. В двух модификациях схемы с разностями против потока можно устранить появление искусственного источника. Первая модификация основана на первой схеме с разностями против потока (3.176), когда скорость не меняет знак ни между точками ! — 1 и !', нн между точками ! и !+ 1.
Если же скорость меняет здесь знак, то конечно-разностная схема строится при помощи метода контрольного объема, охватывающего точку с'). Итак, мы имеем Л". с. +! + (3. 208) ЛС Лх а!.!!. Вторая схема с разностями против патока !!3 Легко проверить, что такая модификация делает первую схему с разностями против потока консервативной и транспоргивной.
При этой модификации требуется меньше арифметических операций, но по точности она уступает второй схеме с разностями против потока, к обсуждению которой мы теперь приступим. 3.1.11. Вторая схема с разностями против потока Во второй схеме с разностями против потока, называемой также схемой с донорными ячейками (Джентри, Мартин и Дали [1966) ), по каждую сторону от узловой точки пространственной сетки находятся некоторые средние значения скоростей на границах ячейки; знак этих скоростей определяет, из какого именно узла сетки надо взять значения ь для написания разностей против потока.
В одномерном случае будем иметь Вь, аяз — и й (3. 2! 2) Ьх где иа = '!а(и,+! + и), ис = !!а (и! + и! !) (3.213) (возможны и некоторые другие способы осреднения). Значения ь берутся так: при ил~О, 1а= ! ьт+! при ия ( О, при иь) О, при иь < О. Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины ~ определяются направлением потока.
(Замечание. Если величины с на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени н центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортнвности.) По сравнению с первой схемой с разностями против потока в рассматриваемой схеме требуется проведение дополнительных вычислений для скоростей: дополнительное численное дифференцирование функции тока ф для получения и и дополнительные расчеты средних значений (3.213).
Однако эта схема точнее первой схемы при аппроксимации производной д(ив)/дх, так ЗЛ. Методы решения уравнения переноса вихря 114 как сохраняет кое.что от второго порядка точности, которым обладают схемы с центральными разностямн. Рассмотрим случай, когда ~ постоянно, т. е. = ~;е~ = ~, а и является функцией пространственной переменной.
Тогда уравнение (3.212) принимает вид (3 215 ) Ьх (3.215 а) инь — и й бс Ьх или Ль, и,,— и, сн. с бс 2дх (3.215б) би,. Зà — 4Ь,, + Ьш (3. 216) бх 2дх что дает второй порядок точности для члена, описывающего конвекцию. Таким образом, вторая схема с разностями против потока обладает как свойством консервативности, так и свойством транспортивности и сохраняет кое-что от второго порядка точности, присущего схемам с центральными разностями для пространственных производных. Превосходство второй схемы над первой схемой с разностями против потока было фактически продемонстрировано Торрансом 11968) при расчете плоских течений.
Теперь можно объяснить удивительное согласование результатов (при Рее = 100 отклонение менее 5осв) решения задачи о течении вязкой жидкости внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей, полученных прн помощи этой второй схемы и при помощи схемы второго порядка точности, использованной Торрансом. Вдоль средней части стенок, где применимо приближение пограничного слоя, влияние члена со схемной искусственной вязкостью ае мало (см.
обсуждение в разд. 3.1.8). Вблизи же углов скорости малы, поэтому здесь коэффициент физической вязкости сс» ссе. А во вращающейся центральной части области течения вихрь ~ меняется слабо, и поэтому рассматриваемая вторая схема имеет почти второй порядок точности в соответствии с уравнением (3.2!5б), Схема Ранчела с соавторами 11969) алгебрапчески эквивалентна второй схеме с разностями против потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
