Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 29
Текст из файла (страница 29)
За счет некоторых усложнений и увеличения числа арифметических операций в ней удастся избежать связанных с определением знаков и и о логических операторов 1Г Фортрана. Прайс с соавторами (1966) в одномерном случае использовали пеконсервативную схему второго порядка точности с разностями против потока. Конвективная производная при и ) 0 здесь аппроксимировалась следующим образом: !!з 3.!.!2.
Схелль1 Адамса — Бэа1форта и Крокко 3.1.12, Схемы Адамса — Бэшфорта и Нронно Разностная схема Адамса — Бэшфорта, использованная Липли (1965] для уравнения, содержащего только конвективный член, является явной одношаговой трехслойной по времени схемой с разностямп вперед по времени; она имеет ошибку 0(Л!о, Лха), Ее можно интерпретировать как конечно-разностную аппроксимацию второй производной по врел1ени. Запишем разложение Ц+1 в ряд Тейлора по времени; йл ь! = ~л1 + — й ~ Л! + — — ~ ~ Л!' + 0 (Лгз) (3 217) Аппроксимируем вторую производную по времени односто.
ронними конечными разностямп: элл л дй л-1 Подставляя это выражение в (3.2!7), получаем 1 '=1 л — "!'ал — '[" ' " ' ло[лл]ллло1ло ~",.+'=~л.+ ~ — — 1~ — —,— „~ 1Л!+ 0(Л!'). (3.219) Это выражение дает основную форму разностной схемы Адамса — Бэшфорта для конвективных членов. В сочетании с апирокснмацией диффузионного члена центральными разностями для момента времени и в случае плоской задачи получаем 3 вас 1л ! Вас !л-1 З Щ !л 2 Вк !1 2 Зх ]1 2 Ед (3.220) Однако эта схема прн наличии вязких членов имеет только первый порядок точности. Основная форма разностного уравнения (3.219) была предложена Бэшфортом и Адамсом в 1883 г. Томас !1954] использовал аналогичную схему более высокого порядка для приближения к ударному фронту при помощи односторонних разложений по пространственной переменной и назвал эту схему схемой Адамса.
Лилли !1965] применил такое же разложение но времени, как и в (3,219), для уравнения переноса вихря в невязкой 1!6 З.й Методвс решения уравнения переноса вихря жидкости и без каких-либо исторических ссылок назвал эту схему схемой Адамса — Бэшфорта. Уравнение (3.219) в том виде, как оно записано, является безусловно неустойчивым уравнением со слабой расходимостью, обусловленной тем, что здесь множитель перехода имеет впд б = 1+ 0(Д1з); см. Лилли [1965]. Так как неустойчивость слабая, эту схему можно использовать для расчетов нестационар. ных течений невязкой жидкости при условии, что полное время решения невелико.
Лилли [1965] обнаружил, что эта схема точнее схемы Лакса — Вендроффа [1964] (см. равд. 5.5.5). Наличие вязких членов в уравнении (3.220) стабилизирует это уравнение, давая возможность выбрать шаг Д! в зависимости от числа Рейнольдса Ке (см. задачу 3.1!). Крокко [!965] предложил схему для расчета квазиодномерного течения сжимаемой жидкостн, которая будет аппроксимирующей только при достижении стационарного состояния. Эта схема имеет следующий вид: »ел+1 вил и Две + пДзеь л л л-1»л-1 Дй =(1+ Г) '+ ' — Г 1 2дх 2дх (3.221а) (3.221б) (3.221в) Схемы Адамса — Бэшфорта и Крокко (так же, как схема «чехарда со средней точкой» и схема «чехарда» Дюфорта— Франкела) имеют второй порядок точности для конвективных ') Это хорошо известный прием; см.
Риити|азер 1!9671 Крокко исследовал весовой множитель ') Г и в случае течения невязкой жидкости установил, что для устойчивости наименьшим значением Г должно быть Г = Ъ а это в точности соответствует схеме первого порядка Адамса — Бэшфорта (уравнение (3.219)). Алгебраические выкладки при применении метода фон Неймана для анализа устойчивости схемы оказались слишком громоздкими, поэтому Крокко представил численные результаты исследования устойчивости графически, показывая при каких комбинациях Г, (се„ С и Д1 имеет место устойчивость в расчетах для больших значений времени. В действительности расчеты течений были выполнены прн Г = 1. Применение метода Херта для исследования устойчивости (см.
задачу 3.12) дает в нестационарном случае значение а, = изД1(à — 1/з), что также нРиводит к Условию Устойчивости Г ) 11з. 117 ЭЛЛЭ Схема Лейта пространственных производных. Подобно схемам «чвхарда», в них для расчета значений на некотором слое по времени используются значения на двух предшествующих слоях, но в то же время они не являются схемами типа «чехарда», так как в них значение ~",.е' вычисляется как старое значение ь> неп,> средственно в предшествующий момент времени плюс соответствующее приращение. Следовательно, эти схемы не приводят к расчленению решений по временным шагам, как схемы «чехардаю Они не обладают свойством транспортивности и не дают точного решения при С = 1. Схема Миякоды [1962[ (см.
также Лилли [1965[) в некоторых отношениях сходна со схемой Адамса — Бэшфорта. Это четырехслойная схема, и для вычисления значений на слое и+ 1 в ней используются значения на слоях и — 2, и — 1 и и. Схема Миякоды тоже имеет второй порядок точности н не приводит к расчленению решений по временным шагам. Она также является слабо неустойчивой и, по-видимому, не имеет каких- либо преимушеств по сравнению с более простой схемой Адамса — Бэшфорта. 3.1ЛЗ. Схема Лейта; фазовые ошибки, ошибни, обусловленные неразличимостью, расщепление по времени Чрезвычайно интересна одношаговая двухслойная схема Лейта [1965[ второго порядка точности; одномерный вариант этой схемы предложнлн ранее Нох и Проттер [1963[ (см.
также Вендрофф [!961[). Построим сначала схему для одномерного течения, обратившись к лагранжеву описанию движения жидкости, при котором следят за движением частиц. На рнс. 3.12,а стрелкамп изображены траектории (кривые в плоскости (х, 1) ) частиц жидкости для одномерной задачи при постоянной скорости и. При изменении времени от 1 до 1 + Ы частицы перемешаются в направлении х на расстояние ибй По- метим теперь каждую частицу, приписав ей значение ь, причем ь может быть любым естественным свойством, связанным с отдельной частицей жидкости. В случае отсутствия диффузии каждая частица жидкости будет сохранять свое значение Ь. Таким образом, траектории, изображенные на рис. 3.12,а, представляют собой линии постоянного ь. Уравнение конвекции для невязкой жидкости дЬ/дг = = — идь/дх как раз и означает, что ь есть некоторое свойство жидкости, которое не меняется в процессе течения.
Это является определением субстанциональной производной, которая в обозначениях Лагранжа записывается как Рь/Р( = дЬ/д! + 8.!. Методы решения уравнения переноса вихря 118 + ид~/дх. Производная Р~/Р1 связана с частицей жидкости, а уравнение конвекцнн для невязкой жидкости как раз означает, что Рс/Р1 = О, т. е. значение ~ любой частицы остается неизменным '). Как показывает рнс. 3.12, б, уравнение конвекцин без учета вязких членов означает, что ~иг' = г.*, Построение конечно-разностных уравнений сводится к задаче приближенного определе- Г-1а+1)йг г= йс (1-1) йю и=)ах (се)) Дж Рнс.
3.12. Построенне схемы Лейта в одномерном случае. а — траектории частиц в плоскости (х, 1) прн и = сопз1; б — перенос величины Ь*. ння ~* с помошью какой-либо интерполяции по известным значениям Гн. Заметим сначала, что прн некоторой определенной комбинации параметров траектория проходит через узловую точку с координатами 1 — 1 и н. В атом случае ~" = ~не, т. е. ~" находится точно без внесения ошнбки при интерполяции. Необходимое для ') Тем, кто впервые сталкивается с этим понятнем, может оказаться полезной следующая интерпретация.
Представим себе, что па поверхность плавно текущей воды помещена капля чернил, а будем рассматривать как концентрацню окраска, которая, очевндно, прнпнсывается 1конечной) частице жидкости. Если пренебрегать днффузней, то эйлерово описание нзменення окраски в точке дается уравнением ди)д1 = — идтудх, а лагранжево— уравнением 1)т~))И = О. Рекомендуется также обьясненне, предложенное Бердом, Стьюартом н Лайтфутом 11960).
ДЛЛЗ. Схема Лейта этого условие (см. рис. 3.12,б) имеет вид иЛ1= Лх, или С =1; значит, при числе Куранта, равном единице, получается точное рсшение ~лз'=~л,, (как и в равд. 3.1.6), Рассмотрим теперь более общее условие С Ф 1. Если иЛ) ( ( Лх, то точка со значением ь* находится между точками ( и ! — 1 (см. рис. 3.12, о). Используя для приближенного определения ~л линейную интерполяцию, получаем оценку с первым порядком точности тл' — тлл (тлл ьтл ) л Л1 Полагая Це'=~", будем иметь (3.222) — (1," — 1";, ) ае 'х Ьх (3.223) Другой вывод схемы Лейта получается при рассмотрении разложения в ряд Тейлора вперед по времени до 0(Л!з), как я прн выводе схемы Адамса — Бэшфорта, но вторая производная по времени теперь определяется из исходного уравнения конвекции следующим образом: дй дй Д1 дх ' (3.
225) ДеЬ Дет Д ( Дь х з ДеЬ Д1е дхДГ дх Х Дх т Дх' ' — = — и ' = — и — ( — и — 11 = иа —. (3,226) Тогда разложение в ряд Тейлора дает Дттл ~л"' = ~а+ Л! — + — Л1~ —, + 0(Л1з), (3,227) де 2 д1' что соответствует схеме с разностями против потока, рассмотренной в равд. 3.1.8. Если применить линейную интерполяцию по точкам ! + 1 и 1 — 1, то получится схема с разностями вперед по времени п центральнымп разностями по пространственным переменным. Если же для интерполяции по точкам ! — 1, ! и 1+! использовать квадратичный аппроксимационный полипом (см. разд.
3.1.1), то получится схема Лейта ~аз! — ~л (" )(~л ~л )+ ( ) (~л 2~л+~л ) (3.224) Число Куранта С = иЛ(/Лх теперь можно рассматривать как параметр интерполяции Ограничение С ~ 1, накладываемое условием устойчивости, как можно показать применительно к разностным уравнениям (3.224) и (3.223), теперь можно интерпретировать как требование, что ~* должно определяться интерполяцией, а не экстраполяцией. ДЛ Методы решения уравнения лереноса вихря 120 Используя для производных в уравнениях (3.225) и (3.226) формулы с центральными разностями второго порядка 6"/бх и бЯЬ/бхв и подставляя их в (3.227), будем иметь Ц'+! = Ц' — и Лг' — + — и'ЛГЯ вЂ”, + 0 (Л!Я, Лхв), (3.228) этот результат совпадает с (3.224) и показывает, что данная схема имеет второй порядок точности.
Эти два способа вывода схемы, один из которых основывается на квадратичной интерполяции по пространственной переменной, а другой — иа разложении второй производной по времени, приводят к одинаковым результатам, так как уравнение (3.226) дает связь между производньгмп дЯЬ/дев и дЯЬ/дхи. Однако эта связь справедлива только в случае уравнения для невязкой жидкости при постоянном и. В этом случае схема Лейта совпадает со схемой Лакса — Вендроффа и другими двухшаговыми схемами Лакса — Вендроффа, основанными на разложении по времени (см.
гл. 6). Наиболее интересный аспект, важный н при обсуждении других схем, связан с искусственным затуханием в схеме Лейта. Есл>! все члены, входящие в уравнение (3.224), разложить в ряды Тейлора в окрестности точки (г', и), как это делается в методе Херта при исследовании устойчивости, то получится — Лг+ — д, Лг +0(Л )= ий! дь ! ий! дть 1 нейсе Г деь = — — — Лх — — — — Лхв + — —. ~ ~—, Лхв + 0 (Лхч)1, Ьх дх 6 Ьх дх' 2 Ьхе ( дхе (3.229) или дт д + 2 Лг! д~' + и дх' 1+ 0(Лс', Лх'). (3.230) В уравнении (3.230) член, стоящий в квадратных скобках, при постоянном и равен нулю в силу связи (3.226).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
