Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Упражнение. При помощи метода фон Неймана убедиться в том, что полностью неявная схема абсолютно устойч«вз для уравнения, включающего конвективный н диффузионный члены. Упражнение. Используя, как в методе Херта, разложения в ряды Тейлора, показать, что в нестационарном случае схемная вязкость полностью неявной схемы имеет впд а, = изб!)2.
(Указание. Для упрощения вычислений разложение проводить в окрестности точки (й и + !).) Лилли [1965] назвал зту схему «модифицнрованной схемой Эйлера» (схема с распгостямн вперед но времени и центральными разностями по пространственным переменным называется схемой Эйлера' )). Данная схема также неявная, но поскольку осредиение центрирует пространственную производную относительно (и + !)з), как и в схеме <чехарда со средней точкой» (см. равд. 3.!.6), ошибка имеет порядок 0(Л(з, Лхз).
Множн- ') Предыдущие примеры могли бы навести на мысль, что разностные схемы, с успехом используемыс для уравнения конвекции, обычно неприме. пимы к уравнению диффузии. Йо это эмпирическое правило неприменимо длв неявных схем. з) Данная схема называется также схемой Кранка — Ннколсона. Как будет указано ниже, это название лучше подходит к схеме для уравнения диффузии, такой, как схема (3.273). Если в уравнении конвекции (3.255) величину б")бх вычислять как среднее значение на и-м н (п + 1)-м слоях, то будем иметь Г бгн бьче! 1" =1" — 2 ( Л()] б' + (3.267) ЗЛ.
Методы решения уравнения переноса вихря 130 тель перехода для этой схемы тождественно равен единице, ) 6(= 1. Действительно, у,ле~ )т» С ( те -те) (~,л+~+ рл) л )т = Кл — 7а()т" + (тл), (3.269) где а=(С/2) з(п О; (3. 270) тогда 1 — а( 1 — за! — ае 6— (3. 271) 1+ а! 1+ а' (3.272) Другие преимущества модифицированной схемы Эйлера заключаются в следующем: в отличие от схемы «чехарда со средней точкой» здесь пе требуется двух наборов начальных данных и не развивается неустойчивость, связанная с расчленением решения по времени.
Такое же усреднение по времени, примененное к уравнению диффузии (3.257), приводит к известной схеме Кранка — Николсона 11947), также имеющей ошибку порядка 0(ЛтЯ,Лхе): (3.273) Анализ устойчивости по методу фон Неймана дает )тлл~ )тл+ т1 ( те+ -!е 2) (),лю + )тл) 2 )т"~'= )т" + а((соз Π— 1) ()т" + )т"~'), 6= 1 — д (1 — сое О) !+д(1 — соев) ' (3. 274) (3.275) (3. 276) Для 1 — сов й = 0 имеем 6 = 1. Рассмотрим теперь случай, когда 1 — сов й ) О, Если е(-е.О, то 6- ! (как это и должно быть при А(- 0).
Если с(-л оо, то 6-» — 1. Таким образом, схема Кранка — Николсона абсолютно устойчива и 16) л. 1 для больших А(; но большие по величине Л( приводят к обусловленным чрезмерно большим шагом по времени осцилляцпям некоторых фурье-компонент. Это наводит на мысль, что схема Кранка — Николсона второго порядка при достаточно больших Ы будет менее точной, чем явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (схема ВВЦП). Действительно, это получается 131 8.!д4 Оеланме схемы просто и сопоставлением членов, дающих ошибку схем: для достаточно малых Л( член порядка 0(Л)а) будет меньше члена порядка 0(ЛГ), а при достаточно больших Л( дело обстоит наоборот. Упражнение.
Исходя нз равенства (3.276), показать, что если шаг Л! в схеме Кранка -- Николсона превышает критическое для явной схемы ВВЦП значение Лй то будут иметь место обусловленныс чрезмерно большим шагом по времени осцнлляцнн фурье-компоненты с длиной волны Л = 2Лх. Модифицированная схема Эйлера для уравнения копвекцип (3.267) и схема Кранка — Николсона для уравнения диффузии (3.273) могут быть скомбинированы для применения к полному уравнению, включающему конвективпый и диффузионный члены; построенная схема также будет абсол!отно устойчивой.
В рассмотренных «частично неявных» схемах значения дэл)дх на и-м и дьч"!/дх на (и+ 1)-м слоях берутся при осреднении с одпнаковымн весовыми множителями, поэтому ошибка здесь имеет порядок 0(Л)а, Лх'). Наиболее точный вариант такого подхода, частично основанный иа ранней работе Брайена 11961], был предложен Стоуном и Брайеном [1963]. В этой работе рассматриваются отдельные весовые множители и делается попытка их оптимизации. Наилучший результат получается в том случае, когда для разных шагов по времени принимаются различные весовые множители.
Другая неявная схема была рассмотрена Ивановым с соавторами ]1970]. Один из недостатков неявных схем, применяемых к уравнению конвекцин в случае невязкой жидкости, заключается в том, что они приводят к бесконечной скорости распространения возмущения. Для модельного уравнения в случае невязкой жидкости возмущение величины г распространяется за время Л! на расстояние 1 = и Лб Для простой явной конечно-разностной схемы возмущение всегда распространяется за любое время Лг в соседнюю узловую точку иа расстояние 1= Лх. Но для неявной схемы, поскольку в ней все ~л"! рассматриваются одновременно, возмущение распространяется на расстояние 1= оо (или до границ расчетной сетки)'). Заметим, однако, что это свойство желательно для уравиепия диффузии, которое в дифференциальной форме ямеет бесконечную скорость распространения возмущения.
Простые явные конечно-разностные аналоги ') Такая бесконечная скорость распространенна возмущения также овна. чает, что хотя бы некоторые фурье-компоненты имеют опережающую фазе. аую ошнбку в противоположность запаздываюшей фазовой ошибке в простых явных схемах. д1 Методы решения уравнения яереноеа вихря 132 для уравнения диффузии не обладают таким свойством. Для того чтобы моделировать правильное качественное поведение уравнения, включающего конвективный и диффузиопяый члены, по скорости распространения возмущения, можно для конвективного члена применять явную схему, а для диффузионного члена — неявную (см.
Прахт (1971а) ). Конечно, такое поведение не существенно, если отыскивается только стационарное решение. Другим очевидным недостатком рассмотренных неявных схем является необходимбсть однонременного решения на новом шаге по времени ту алгебраических уравнений (где йт— число точек т' по пространственной переменной, в которых решение не определяется известными граничными условиями).
Если при решении нелинейной задачи частично неявные схемы должны дейстнительно обеспечить порядок гочности 0 (Л1Я, Лха), то поле скоростей и"'' должно рассчитываться также неявно. В настоящее время решение сисгемы нелинейных уравнений является весьма трудным делом, и на практике неявные расчеты конвективного поля не проводятся. Решить систему из 1у линейных уравнений, конечно, труднее, чем провести расчеты по простой явной схеме, но, как будет показано ниже, такое решение не является исключительно трудным и не требует чрезмерно много времени (в одномерном случае). Конечно-разностное уравнение в каждой точке 1 включает неизвестные значения только в двух соседних точках 1.+ 1.
Для иллюстрации покажем, как можно проводить решение системы таких уравнений. (В действительности описываемый способ решения применяется не часто.) Пусть известны значения ~~ и йл на (и+ 1)-м слое. Уравнение в узловой точке имеет вид ~, ~+а1т+Ь~~ет — — е', (3.277) где верхний индекс п+ 1 опушен для простоты. Прн известном значении ~~ из уравнения (3.2?7), рассматриваемого в точке 1= 2, можно найти ьз = 1 (ьм ы) (3.278) т. е. ~я как функцию значений ~я и ~ь Переходя к точке 1= 3, получаем 1е=((Ь Ы (3.279а) При помощи (3.278) выразим ь, через ~я и ьь что даст (3.279б) ~1=1(1м 1~) 3 д!4. Нелелые схемы !зз Продолжая, получаем в точке ! = 1 — 2 ~( — 1 = ! (»4-м ье-е) = ( (ьл ь1) (3.280) и, наконец, в точке ! = / — 1 11=[(1з, 11) (3.28!) При известных граничных значениях ь1 и ~г отсюда можно найти с» Затем, проводя для решения уравнений вида (3.277) «второй обход» узловых точек, можно найти значения ~ в остальных точках.
Такой способ решения легко приспособить и к граничным условиям другого вида. Данный способ решения, в том виде, как он был описан, используется редко, так как при подобных «двойных обходах» иногда происходит накопление машинных ошибок округления. Этого недостатка лишены некоторые алгоритмы прогонки («трехдиагональиые алгоритмы»), один из которых рассматривается н приложении Л.
Система разностных уравнений называется трехдиагоиальной в том случае, когда в матричной записи этой системы [А] [ь] = [В] (3.282) матрица [А], которая должна быть обращена, имеет трехдиагональную форму, т. е. все ее элементы, отстоящие от диагонали более чем на одну позицию, равны нулю.
Трехдиагопальную матрицу схематически можно представить как 0 (3.283) [А] = 0 Такие трехдиагональные системы разностных уравнений решаются достаточно просто. Однако применение неявных схем для решения двумерных задач приводит к матрице блочнотрехдиагоналгной формы й 4 0 (3.284) [А] = где элементы с( и ! сами являются трехдиагональными матрицами (см. Митчелл [1969, с.
!20]). Уравнения с такой матрицей уже не так просто решить, и наиболее известные методы их решения являются итерационными, 3./, Методьг решения уравнения переноса вихря 134 Поэтому, несмотря па то что при использовании неявных схем допустимы крупные шаги по времени, на каждом шаге, вообше говоря, требуется выполнение большого числа итераций.
При этом неявная схема уже не дает выигрыша по сравнению с многократным применением явной схемы. Вследствие этого такис неявные схемы не находят непосредственного применения для решения многомерных гидродинамических задач '). Единственным исключением является уравнение пограничного слоя (равд. 6А); здесь днффузией в направлении потока пренебрегают, а вдоль другой координатной оси к уравнению диффузии применяется схема Кранка — Николсона '), так что в этом случае получается трехднагональная система уравнений. Неявная формулировка часто используется в неявных схемах чередующихся направлений, основанных на идее дробных шагов по времени (равд. 3.1.13) и приводящих к трехдиагоиальным матрицам даже в случае многомерных задач.
Такие схемы будут обсуждаться в дальнейшем, но сначала рассмотрим некоторые многошаговые явные схемы. 3.1.1б. Многошаговые явные схемы Ранее описанные схемы для одномерного линейного модельного уравнения являются «одношаговыми», поскольку в них для получения значений на новом временнбм слое требуется только один вычислительный шаги). Рассмотрим теперь несколько многошаговых схем. Одной из двухшаговых явных схем для решения уравнения конвекции при отсутствии вязкости является схема Хойпа (Непп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
