Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Определяющими оказались две последние причины, и в свете работы Брили [1970] возникающие здесь затруднения могут быть разрешены. Затруднения, описанные Уилксом и Черчиллем [1966], связаны как с отставанием ", по времени (т. е. с тем, что его значение берется с предшествующего слоя), так и с частным видом разностного уравнения второго порядка точности, используемого для ~ . Результаты Брили, относящиеся к граничным условиям для ~, будут приведены в разд.
3.3.2. Сэмюелс и Черчилл [1967] вернулись к уравнению первого порядка точности для ~, которое не приводит к неустойчивости, благодаря чему нм удалось продолжить расчеты авторов предшествующей работы для больших чисел Грасгофа до тех пор, пока отставание ~„ на Л! не приводило к неустойчивости. Степень сходнмости ~, требуемая для получения устойчивого решения, зависит прежде всего от самой задачи.
Прн больших Л! сходимость может нарушаться из-за нелинейности. Очевидно, что при фиксированном числе итераций требуется !44 8.1 Методы решения уравнения переноса вихря меньший шаг И для достижения одной и той же точности сходимости итераций, т.
е. одной и той же величины в в критерии сходимости (,'"+') =(1„",+') + е. Торранс [1968[ (см. также Брили [1970], Брили и Уоллс [1971]) обнаружил, что условие сходимости для значения вихря на стенке в действительности накладывает ограничение на величину шага по времени вида Ы = а(Лхя, где а — некоторое число, зависящее от задачи и от требований сходпмости. Несмотря на то что метод фон Неймана указывает на безусловную устойчивость рассматриваемой схемы, оказывается, что неявное определение значений ~ на стенке фактически приводит к ограничению на величину шага по времени, которое аналогично ограничению, имеющему место для простейшей явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным.
Такое поведение присуще пе только неявшмм схемам метода чередующихся направлений, но и всем неявным схемам. Хотя преимущества неявных схем метода чередующихся направлений над явными схемами практически не таковы, как это следует из анализа при помощи метода фон Неймана, опыт многих исследователей показывает, что неявные схемы метода чередующихся направлений допускают ббльшпе по величине размеры шагов по времени, ускоряют расчет в целом (вдвое и более) и, кроме того, дают возможность получить второй порядок точности ио времени.
Можно быть уверенным в том, что для простых прямоугольных областей такие схемы будут широко применяться и в дальнейшем. В случае же областей неправильной формы программирование для этих схем может усложниться и более практичными могут оказаться явные схемы. Для успешного распространения основной неявнои схемы метода чередующихся направлений (3.308) на случай трех пространственных переменных нужно принять во внимание некоторыс тонкости. В наиболее очевидной схеме в этом случае надо выполнить три вычислительных шага с двумя промежуточными шагами при 1+ Лс/3 и 1+ 2Л(/3.
Эта схема уже пе обладает пи вторым порядком точности по времени, ни безусловной устойчивостью (Рихтмайер и Мортон [1967]) и неустойчива при с() я/, (Карнахан с соавторами [1969]). Продемонстрируем такое распространение схемы иа случай трехмерного уравнения диффузии (3.311) Дуглас [! 962] предложил следу ощую трехшаговую схему (верхние индексы я и «.- относятся к промежуточным значе- д.!.И Неясные схемы ллетода нередующахса наораелений 145 ниям, вычисленным с помощью алгоритма прогонки): (3.3126) + а о, [ — (ь"+'+ ~~")~. (3.3!2в) Схема имеет порядок точности 0(Л1а, Лха, Лу~, Лг') и безусловно устойчива. Эта процедура может быть обобщена н на случай большего числа переменных.
Дуглас н Ракфорд [1956), Дуглас н Ганн [1964) н Брайен [1961] предложили другие неявные схемы метода чередующихся направлений в случае трех пространственных переменных (см. также Карнахан с соавторами [1969) ). Еще раз отметим, что казалось бы правдоподобные обобщения здесь часто оказываются неверными. Если в члене б'!бха в уравнении (3.312в) вместо ь* использовать последнее приближенное значение Г", то, как показали Рихтмайер и Мортон [1967), безусловная устойчивость схемы будет утрачена.
Лзиз н Хеллумс [!967] с успехом использовали трехмерные неявные схемы метода чередующихся направлений для полного уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены. Мак-Ки и Митчелл [!970) рассмотрели неявные схемы чередую~цнхся направлений для задач со смешаннымн производными по координатам д-'с/дхдд. Келлог [!969] исследовал неявную схему метода чередующихся направлений для нелинейного уравненпя диффузии с нелинейным граничным условием.
Применение неявных схем метода чередую1цихся направлений для уравнения диффузии в случае переменного шага пространственной сетки и граничных условий общего вида рассмотрел Спеньер [1967[. Общее обсуждение метода проводится в работе Видлунда [!967]. Густафсон [1971) предложил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнений мелкой воды.
Гурли и Митчелл [1969а] установили эквивалентность некоторых неявных схем метода чередующихся направлений и «локально одномерных» схем (см. также Митчелл [1969[). Ричарде [1970) использовал неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения переноса вихря в цилиндрической системе координат. См. также работы Пиачека [1968, 1969б). 146 ад Методьс решения уравнения леренаса вихря 3.1.17. Явные схемы метода чередующихся направлений В основном из методических соображений рассмотрим теперь явные схемы метода чередующихся направлений (схемы А!хЕ). Это целый класс схем, которые впервые были рассмотрены Саульевым [1957] (см.
также Саульев [1964], Рихтмайер и Мортон [!967] и Карнахан с соавторами [1969]). В применении к одномерному уравнению диффузии простейшая схема Саульева соответствует следующей одношаговой схеме. Для большей ясности запишем уравнение диффузии в виде д~ дей д /д~к — =а — =а — ~ — ); (3.313) дГ дх' дх ~де)' тогда конечно-разностная схема Саульева будет выглядеть так: дй !и 61 [л+ ' — дх [е -1н дх ~~-не их! л йс Лх или, если с( = сей!/Лх, то так: 1,.
=~",+с((~",~, — ~",. — ~, +~",,) при ! ['. (3.315) Заметим, что если обход точек при расчете проводится в направлении роста ( (на что указывает запись !Т в уравнении (3.315)), то значение ~л,+', на рассчитываемом слое уже известно. Несмотря на то что зта схема является двухслойной, требуется только один массив для хранения неизвестной величины с, поскольку в программе ~лы и ~л, входящие в уравнение (З.З!5), можно идентифицировать одинаково. Так как уравнение (З.З! 5) можно разрешить относительно ьль1, данная схема будет явной.
Если на каждом шаге по времени направление обхода точек при расчете чередовать от увеличения ! к уменьшению й то такая явная схема метода чередующихся направлений будет близка к симметричной и может быть записана в виде При исследовании устойчивости уравнений (3.316) метод фон Неймана применяется на двух шагах. Для первого шага из уравнения (3.316а) получаем У"~' = У"~ + с([У"(е'е — 1) + У"+'(е ~ — 1 Д, (3.317) и+д ге ~А -гв (3,318) З.Д!7, меные схемы метода чередующихся направлений 147 Для второго шага из уравнения (3.316б) получаем ~лт! л+! )~)те+!( те ) [ )тл+!( -м 1д 1 — д+ де 1+ д — дете (3.319) (3.320) Тогда для полной двухшаговой схемы будем иметь =ыВ)' =~В(~А)т ) ч! С)7л ~А~В' (3.321) или (3.322) где (3.323) Учитывая, что е-"'е = сов 6-~-70(пО, из (3.323) находим 1 — а + с! со! 0 — та Мп 0 ! — а+ д сох 0+ И е!п 0 1-1-с! — дсоие — )де!па 1-~-д-дсоее-~-)де1пе' (3324) Используя для упрощения числителя и знаменателя тождество (а+)Ь) (а — !Ь) = ах-)-Ь', получаем 1! — и (1 — сох 0)1' + с!' Мп! 0 11 + д (1 — сои О)]'+ д! е!п' 0 что показывает безусловную устойчивость схемы, Доказательства безусловной устойчивости схемы (3.315) с одним направлением обхода точек можно найти у Саульева [1964[.
Явная схема метода чередующихся направлений, примененная к уравнению диффузии, безусловно устойчива, как и неявная схема метода чередующихся направлений, имеет формальную ошибку аппроксимации Е = 0(ЛР,бх') (см. Саульев [!964[) и аналогично обобщается на случай большего числа пространственных переменных, например л+! л л л лЧ! л+! ! ! -~! ! .~~'м -'ь— а! ах! тчл чтл тчл+! 1 тчли! -[-а ' ' „' при ! [ 1'[ (3326) чу! (О различных циклических перестановках направлений обходов точек при расчете см. Ларкин [1964).) Важное преимущество этой явной схемы по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений заключается в том, что здесь не требуется использовать неявный трехдиагональный алгоритм. Другие варианты явных схем метода чередующихся направлений предложили Саульев [1964), Ларкин [1964], Баракат 148 3.!.
Методы реииения уравнения переноса вихря и Кларк [1966[; см. также книгу Карнахана с соавторами [1969[. Применение явной схемы метода чередующихся направлений к нелинейному уравнению диффузии (3.327) проводится очень просто (см. Квон с соавторами [1966[). Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечноразностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
