Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 37
Текст из файла (страница 37)
схема «классики» 183 необходимости решения системы алгебраических уравнений, так как значения в соседних точках ва (и+1).м слое уже известны в результате расчета при первом обходе, а значение (кгт' можно определить простым исключением: кт~ кт~ Э+' Чч' т 2 2 к»1 ( к + ьгть Г+ ~~-ь г + ьг, Г»1+ ьг,! — ~ / .( =~~',г а~с дуг ) (, дхг Ьу~ )' (3.339) На втором и последующих слоях по времени с четными и роли узлов, отмеченных ромбиками и кружками, меняются.
Кратко это можно резюмировать так: при г'+1+ а четном берется разностное уравнение (3.337), а при г'+/+ а нечетном — уравнение (3.338). Скорость расчета существенно увеличивается при использовании соотношения (3.340), следующего из алгебраической структуры схемы (Гурли [1970а]). Укра»саскии !(оке»ать, что из уравнений (3.337) и (3.338) следует соотношение = 2~;'3 - ~; р г + ! + а четное. (3.340) На тех слоях по времени, где требуется выдавать информацию во всех точках, надо вести расчеты по основным уравнениям схемы.
Формально рассматриваемая схема имеет ошибку аппроксимации Е = 0(ЛЕ Лх', Лу'). Схема примепима и для уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, причем соотношение (3.340) сохраняется. Гурли [1970а] показал безусловную устойчивость этой схемы для уравнения диффузии и для уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, когда конвектнвные члены представляются разностями против потока. Скала и Гордон [1966, 1967] применяли схему «классики» с разностями против потока для расчета течения вязкой сжимаемой жидкости. Однако возможно, что такие схемы могут использоваться и при представлении конвективных членов центральными разностями, как это делается в неявных схемах метода чередующихся направлений. Гурли [1970а] сообщает, что из-за отсутствия обращения трехдиагональных матриц н эффективности соотношения (3.340) расчет одного шага по времени по схеме «классики» производится в три-четыре раза быстрее, чем по неявной схеме метода чередующихся направлений Писмеиа — Ракфорда.
Кроме того, схема «классики» существенно проще для программирования по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений (особенно для областей сложной формы) 3 Л Методы решения уравнения переноса вихря !54 и легко обобщается на случай трех пространственных переменных. Однако при расчетах уравнения переноса вихря эта схема, как и явные и неявные схемы метода чередучощихся направлений, встречается с трудностью, связанной с неявностью граничных условий. Гурли [1970а, 19700) обнаружил тесную связь между схемой «классики», неявной схемой метода чередующихся направлений и схемой Дюфорта — Франкела. «Явность» уравнений (3.338) обусловлена тем фактом, что здесь в обычном цятиточечном аналоге оператора Лапласа используются значения только в точках (8 1), (1, 1,!) и (1,/ + 1).
Гурли [!970а) называет такие конечно-разностные выражения Е-онераторамн. Форма с центральными разностями для конвектнвных членов также является Е-оператором, а разностные формы для членов со смешанными производными и девятиточечиые разностные формулы для оператора Лапласа (см. равд, 3.2.10) таковым не являются и поэтому они требуют неявного разрешения уравнений, соответствующих уравнению (3.338). Гурли и Мак-Ки [1971) прнменнлн схему «классикн» в случае смешанных производных, а Гурлн и Моррис [1971) для гиперболических систем со скачкамв.
В последней работе фактически рассматривалась одномерная ударная волна. Моррис [1971] применял эту схему для расчета уравнения теплопроводности (параболического типа) в трехмерном случае с граничными условиями смешанного типа (условия Роббина), которые возникают при использовании ньютоновских уравнений конвективпой теплопередачи. Для расчета многомерных течений несжимаемой жидкости при некоторых граничных условиях градиентного типа данная схема пока не применялась, но можно предвидеть ее широкое применение в дальнейшем.
3,1.19. Схемы четвертого порядка точности Робертса— Вейса и Кроули В следующих трех разделах мы обратимся к обсуждению таких явных схем, которые оказываются сложнее неявных. Сложность этих схем объясняется тем, что они строятся с целью уменьшения фазовой ошибки, рассмотренной в равд, 3.1.13 на примере схемы Лейта.
Статья Робертса и Вейса [1966) появилась почти одновременно с работой Лейта [1965) Обе работы продемонстрировали важность фазовой ошибки. Робертс и Вейс разработали четыре различных вида явных схем и изучили другие схемы. Читателю„ желающему подробно ознакомиться с фазовыми ошибками, кроме этой работы рекомендуются работы Фромма [1968) и Граммельтведта [1969)е 155 З.ДУУ. Схемы Робертса — Веаса и Кроули В предыдущем разделе уже была рассмотрена схема с разностями по диагонали Робертса и Вейса, имеюшая второй порядок точности.
Здесь будут представлены наиболее интересные и наилучшие (с точки зрения уменыпения фазовой ошибки) схемы этих авторов, имеюшие порядок точности 0(Л)з, Лхч). Эти схемы были построены при помошн интегрального метода (разд. 3.1.1в), что обеспечивало их строгую консервативность. Следуя Робертсу и Вейсу 11966), определим две переплетенные лез ле5/2 л+2 и+5/2 л+1 лм/2 2-2 1-5 2-1 1+2;+5 2+1 Рис. 5.15. Сетка с расположением узлов в шахматном порядке для схемы Робертса и Вейса четвертого порядка в случае одной пространственной пере- менной. сетки с расположением узлов в шахматном порядке '), как показано на рис. 3.16, где узлы одной сетки отмечены ромбиками, а другой — кружками. Взяв для аппроксимации пространственной производной в линеарнзованном уравнении четыре значения с 1гз+ '/з)-го слоя по времени, получим первую схему Робертса — Вейса четвертого порядка, имеюшую следующий внд: я+~ я С ( лтпз отит) + Первый заключенный в скобки член в этом уравнении в точности соответствует схеме ччехарда», а второй представляет ') Эту схему можно также описать на одной двумерной сетке.
Схема Робертса — Вейса с сеткой с расположением узлов в шахматном порядке фактически эквивалентна схеме «чехарда» 1см. равд. 3.1.5). д!. Методм решения уравнения нереноеа вихря !56 собой поправку более высокого порядка. Для этой схемы ]).]= 1 при С (2. (Заметим, что С = и Л//Лх, где б/ = = /н»' — /". Но за один расчетный шаг известное в момент времени /"4ьз решение продвигается до момента времени только на Л//2. Поэтому эффективное число Куранта в действительности будет С' = (и Л//2)/Лх, причем для устойчивости требуется выполнение условия С'( 1.) Для сдвига фазы ЛО/2 за один шаг по времени Робертс и Вейс (1966] получили (в обозначениях, введенных в разд. 3.1.13) выражение ейп ( — ) = — з!п0]6 + (1 — — ) з!и'О].
(3.342) где 1 — С/2 6(1+ С/2) (3.3436) Поскольку в правую часть уравнения (3.343а) входит значение ~н, ",,эта вторая схема является явной схемой метода чередующихся направлений, записанной для обхода точек в направлении возрастающих значений !]'. Подобно другим явным схемам метода чередующихся направлений, рассмотренным в рази. 3.1.17, эта схема неявная по граничному условию, т. е.
для того, чтобы начать расчет в направлении роста 1', необходимо знать ~н+'. ! При С- О имеем М- /, и „- С/2. В этом случае С/г 1 — МС/2 уравнение (3.343а) можно переписать в виде Сдвиг фазы определен в работе Робертса и Вейса [1966]. При С-»О фазовую ошибку можно найти из следующего соотношения: (ЬО), р. С е(ав(4 — ео«О) (ав) „ = ОО (3,345) Вторая схема четвертого порядка точности Робертса — Вейса строится как комбинация предложенных ими двух схем второго порядка точности; явной схемы метода чередующихся направлений с разностями по диагонали (уравнения (3.332) и (3.333) из равд. 3.1.17) и схемы «чехарда», записанной на сетке с расположением узлов в шахматном порядке, и имеет следующий вид: н+~ н С/2 ~ + 2! )( н+Ш н4ЬЗ) — М(ь',+, — ь",~,~/] при ! ]', (3.343а) дд>Э Схелм Робертса — Вейса и Кроуха !57 Вторая схема обладает несколько меньшей фазовой ошибкой, чем первая, но обе эти схемы существенно лучше схем второго порядка точности.
Все эти схемы не оказывают воздействия на компоненту возмущения с длиной волны Л = 2Лх, т. е, для нее имеет место полная фазовая ошибка, как п во всех схемах (за исключением схем с разностями против потока). Как и следовало о>к»дать, рассматриваемая схема обладает некоторыми недостатками. Для ее использования в случае двух пространственных переменных требуется четыре сетки с расположением узлов в шахматном порядке: по две переплетенных сетки для каждой пространственной переменной, построенных на целых и полуцелых слоях по времени (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
