Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Робертс и Вейс [1966[). Объем вычислений при этом существенно увеличивается. Моленкамп [1968[ отмечает, что при использовании схемы с расположением узлов в шахматном порядке требуется в 45 раз больше машинного времени и в 4 раза больший объем памяти, чем при использовании схемы с разностями против потока. Формальная ошибка аппроксимации Е = 0(Л1е, Лх') не выдерживается глобально во всех точках, если граничные условия тоже нс будут иметь ошибку порядка 0(Лх4), чзо, как правило, не выполняется (см.
равд, 3.3.2). Неустойчивость, связанная с расчленением решения по временным шагам в схеме «чехарда» (равд. 3.1.6), приводит к появлению двух расчлененных решений; данная схема допускает появление четырех расчлененных решений. Для объединения этих решении, очевидно, требуется наличие диффузионных членов и (если считать, что опыт применения схемы «чехарда» может служить некоторым руководством) требуются малые числа 1(е при условии вероятного достижения стационарного решения. Шахматная сетка приводит также к некоторым затруднениям при постановке граничных условий; постановка граничных условий, предложенная Робертсом н Вейсом, приводит к тому, что интерпретация значений в узлах границы прн помощи метода контрольного объема оказывается несогласованной с интерпрстацпей значений во внутренних узлах сетки, а это приводит к снижению точности вблизи границ.
Другая схема четвертого порядка точности с меньшей фазовой ошибкой предложена У. Кроули [1967[, Здесь на первом шаге по схеме Лейта (3.224) с М/2 вычисляются предварительные значения 7«+'м в точках й 1~ 1. На втором шаге используется схема «чехарда»: ~о+! ~а ~ (~а-';Ш ~«+17>) (3.346) Фазовая ошибка данной схемы обсуждается в работах У.
Кроули [1967[ н Фромма [1968[. 158 Ю.д Методы решеная уравнения аереноеа вихря 3.1.20. Схема Фромма с нулевой средней фааовой ошибкой Большинство явных схем обладает только запаздывающей фазовой ошибкой, т. е. рассчитанная скорость конвекции 0-компоненты составляет иг(0), где г(0) ( 1. Фромм (!968) построил комбинацию схем с опережающей и запаздыва1ощей фазовыми ошибками для получения схемы, которая 1) была бы безусловно устойчива и 2) имела бы нулевую среднюю фазовую ошибку. Идея такой схемы заключается в определении точного решения (для линеаризованного уравнения с постоянным и) в новый момент времени при С = 1.
Из этого то(ного решения прн помощи схемы Лейта с разностями назад по времени получается искомое решение при С ( 1. Для простоты продемонстрируем эту идею сначала на схеме с разностями вперед по времени п с центральными разностями по пространственной переменной, а не на схеме Лейта. Для точного решения при числе Куранта, равном единице, имеем б(' = лх/и. Тогда перенос сеточных значений от точки к точке в случае точного решения происходит таким образом: (3.347а) (3.347б) (3.347 в) Искомое решение находится переходом по времени в обратном направлении от 1+Я' до 1+ ог, где Лг < Лг', тогда 41н-лп 4г-наг л4г+лн лн — ле лх лх (~ьн ~е-~ ) (3 348) Разрешая это уравнение относительно ц+л' и замечая, что " (л' '1 1 С (3.349) получаем Члены в правой части определяются точным решением (3.347), и, учитывая обозначение Ц~-" = — Цн,+', имеем , + (С вЂ” 1) (ь", — с",,)).
(3.351) Уравнение (3,351) показывает построение одномерной схемы с опережающей фазовой ошибкой. Вместо цеитральио-разностного представления второго порядка точности для б~'+л'~бх, принятого в уравнении (3.348), Фромм берет схему Лейта а.!.20. Схема Фромма 159 дробных шагов по времени (3.254) для двух пространственных переменных. Схема с опережающей фазовой ошибкой комбинируется (в смысле осреднения) со схемой Лейта (3.254), которая имеет запаздывающую фазовую ошибку.
В результате получается схема Фромма, названная «схемой с нулевой средней фазовой ошибкой». Отметим значения, вычисленные на полушаге и+ '!з и не имеющие физического смысла, знаком гильда и положим С„= иб!!тзх и С„= об!!Лу. Тогда схема Фромма с нулевой средней фазовой ошибкой будет иметь следующий вид: гс,!=!с,!+ 4" (г"-и! гн" !,!+а!-и! '", )+ + 4 хь!-, ! — 2ьс,!+ь!+ь!)+ тСз 2С +~, 4 )(1! е ! — 2~! . т+ь! !). (3.352а) 4 хьс, !-! ьт, /+!+и!, у-2 ~с,!)+ ! Сз — 2С„'з + 4 (ьс,1-< — 2»с, !+»с,!+!) + ~, 4 у (»с, 1-з — 2»с,! ! +»! !).
(3.352б) Эта схема устойчива при С + Се ( 1. Фромм ]1968] построил изолинии модуля ]6] и фазовой ошибки в зависимости от параметров С, С, и 6. Несмотря на то что схема формально имеет второй порядок точности, ее фазовые свойства существенно лучше соответствующих свойств схем четвертого порядка точности Робертса — Вейса [1966] и Кроули ]1967], рассмотренных в предыдущем разделе. Как и для этих схем, затраты машинного времени для схемы Фромма значительно больше затрат для более простых схем. Как н в схеме Лейта и во всех схемах дробных шагов здесь имеется трудность, связанная с постановкой граничных условий на первом полушаге (3.352а).
Эти трудности можно преодолеть, выбирая в качестве значений !. на стенке значения ~ с первого полушага или получая их итерационным путем (см. равд. 3.1.16). Фромм ') рекомендует вблизи границы переходить к болсе простым разностным схемам с центральными разностями или с разностями против потока. Разностные схемы типа (3.352) с учетом диффу.
зионных членов пока еще не появлялись в открытой литературе. Упражнение, Построить схему с нулевой средней фазовой ошибкой иа основе разностей против потока. ') Личное сообщение. в /. Методы ретиения уравнения иереноеа вихря /60 В одной из последующих работ Фромм [1971[ использовал разности против потока и центральные разпости на чередующихся шагах по времени, а не в двухшаговой схеме, уменьшая тем самым время вычислений, по разности против потока брались при числах Куранта С - !/,, С, ( !/м Расчет точек вблизи границ здесь также требует специального рассмотрения (см. Фромм [!97!) ). 3.1.21. Схема Аранавы Схема Аракавы [1966[ часто применяется для решения метеорологических задач, в которых рассматривается уравнение переноса вихря в невязкой жидкости, Это существенно двумерная девятиточечная схема с узлами типа (1+ 1,! — 1) и т.
д. В пей составляющие скорости непосредственно выражены через функцию тока, т. е. принято и = д!р/д//, о = — дф/дх. Не приводя вывода схемы, мы просто выпишем ее не в обозначениях автора, а в наших обозначениях: н-! а/ 6ххлу ллт!л!, / 1!-!,/) (~!, !л! ь!, / !) (ф, !)!, . )(7,»! 7. ! )+л!,. ! (7. ! / ! 7...) — Ф-!,/К!-!,/е! — 1!-!,! !) — ф!,/»!(41~!,!л! — ."; !,/7!)+ +ф/,/ !Ы!+!,! ! — 1! !./ !)+16/л!(!р/~-!,/л! — !р! !,!л!)— — 1!./ !Й!+!,/-! — ф!-!,/ !) — 1! 7!,/Й! л!,/+! — ф!л!,/ !)+ +ь!-ь/(ф!-!./+! "ч!!-!,/-!))" (3 353) Несмотря на очевидную сложность, данная схема обладает некоторымп преиму!цествами.
У нее формальная ошибка аппроксимации составляет Е = 0(Л/Я,/Лх!, тл//4). Это одношаговая схема, и поэтому здесь пе возникает проблем, связанных с граничными условиями. Для этой схемы тождественно выполняется равенство [6[= 1 и тождественно сохраняются величины ~, ~' и кинетическая энергия и'+ о', эти свойства схемы делают ее особенно удобной для решения задач гидродинамической устойчивости. Поскольку схема сохраняет величину ~я, она не подвержена нелинейной неустойчивости Филлипса [1959[, возникающей из-за обусловленных неразличимостью ошибок (такие ошибки имеют место, но остаются ограниченными, так как ~Я остается ограниченным).
Хорошие свойства этой схемы, относящиеся к фазовой ошибке и обобщающие ее на случай метео. рологическпх уравнений в приближении «б-плоскости», рассмотрены Граммельтведтом [!969[. Используя подход Дюфорта — Франкела (равд. 3 1.7), Феста [1970[ включил в данную схему диффузионные члены. 8.! 22. Схемы дан расчета стаеианарных течений К сожалению, эта схема обладает недостатками, присущими другим схемам, используюшим разности по времени типа «чехарда» (см. равд. 3.!.6), которые чувствительны к неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам (см. Уильямс [1969[).
Для достижения устойчивого стационарного решения Феста [19?0] время от времени проводил усреднение по временным слоям. 3.1,22, Замечания о схемах дян расчета стационарных течений Многие свойства схем для уравнения переноса вихря, описанные выше, имеют смысл только для нестацпонарпых решений (напрпмер, фазовая ошибка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
